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例题精讲
考点1 反比例函数与全等三角形综合问题
【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在
反比例函数y＝ 的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点
A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D恰好落在反比例函数
的图象上，则k的值为（ ）
A． B．﹣2 C．4 D．﹣4【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝ 图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在
点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关
系）
考点2 反比例函数与相似三角形综合问题
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，
对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝ 的图象恰好
经过点M，则k的值为（ ）
A． B． C． D．12变式训练
【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 上，第二象限的点B在反比例函数y＝ 上，
且OA⊥OB， ＝ ，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣3
【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负
半轴于E，双曲线 的图象经过点A，若S△BEC ＝8，则k等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．28
【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点B在
x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝ 的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若
△BCD的面积为2，则k的值为（ ）A．18 B．20 C．22 D．21
1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝ （x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，
OC＝ CA，且△ABC的面积为3，则k等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，
OC＝ OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）A．3 B．2 C． D．4
3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝﹣ （x＜
0）的图象上，则tan∠BAO的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，函数y＝﹣ （x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接
AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（ ）
A．12 B．6+ C．6+2 D．6+25．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE ＝1，则k的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝ 的图象在第一象限交于点P，若OP＝ ，则k的值为
．
7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函
数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为 ．8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝
x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为 ．
9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点
A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝ 图象上，且
y轴平分∠ACB，求k＝ ．11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝ 的图象在第一象限的分支过AB的中点D交
OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y ＝ 的图象经过点A，反比例
1
函数y ＝﹣ 的图象经过点B，则m的值为 ．
2
13．如图，线段OA与函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y＝ （x＞0）图
象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的
值为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，
与函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则
点B的横坐标为 ．
15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝ （x＞0）的图象恰好经过
点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC ＝6，则k＝ ．
16．如图，A为反比例函数 （其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接
OA，AB，且OA＝AB＝2 ．过点B作BC⊥OB，交反比例函数 （其中x＞0）的图象于点C，连
接OC交AB于点D，则 的值为 ．17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝ 和y＝ （k＜0）上，
＝ ，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为
．
18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线 （k＞0，x＞0）与直线l不相
交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且
∠COD＝45°，则k＝ ．19．如图，平行四边形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴正半轴上，CD 平行于 x 轴，直线 AC 交 x 轴于点 E，
BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE ＝2，则k的值是 ．
20．如图，A为反比例函数y＝ （其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接
OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝ （其中x＞0）的图象于点C，连接OC
交AB于点D，则 的值为 ．
21．如图，点A在反比例函数 第一象限内图象上，点B在反比例函数 第三象限内图象上，
AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D， 交于点E，若BO＝CE，则k的值为 ．22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于
M点，反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为 ．
23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若 ＝ （m＞1），且双曲线y＝ 也过E、F两点，记S△CEF ＝S
1
，S△OEF ＝S
2
，用含m的代数式表示 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝ （x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点
A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为
S ，△QAB的面积为S ．
1 2
（1）当m＝2，n＝3时，求S 、S 的值；
1 2
（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．
25．如图，一次函数y＝k x+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．
1（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k x+b＞ 的x的取值范围；
1
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP ：S△BOP ＝1：4，求点P的坐标．
26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标
系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D且与边
BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．27．如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝ （x＜
0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）求k；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．
（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝ （k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝ （k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：
对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
