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例题精讲
考点1 方程新定义问题
【例1】．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m★ n＝ ，若关于x的方程a（x★ x）＝（x★
12）+1无解，则a的值是 3 ．
解：根据新运算，原方程可化为a× ＝ +1，
ax＝12+3x﹣9，
∴（a﹣3）x＝3．
∵关于x的方程无解，
∴a﹣3＝0．
∴a＝3．
故答案为：3．
变式训练
【变1-1】．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}
＝2．按照这个规定，方程 （x≠0）的解为（ ）
A．4 B．2 C．4或2 D．无解
解：当 ＜﹣ 时，
∵ （x≠0），
∴ ＝ ﹣1．
∴x＝2．
经检验，x＝2是方程的根．∵ ＞﹣ ，故x＝2不符合min的规定，
所以x＝2不是方程的解．
当 ＞﹣ 时，
∵ （x≠0），
∴﹣ ＝ ﹣1．
∴x＝4．
经检验，x＝4是方程的根．
∵ ＞﹣ ，故x＝4符合min的规定．
所以x＝4是方程的解．
故选：A．
【变1-2】．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方
程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣
1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式 ax2+bx+2022能取得最大值是
2023 ．
解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，
∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，
∴ ，
解得： ，
∴ax2+bx+2022
＝﹣x2+2x+2022
＝﹣（x﹣1）2+2023，
∴当x＝1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023．
故答案为：2023．
考点2 不等式新定义问题
【例2】．规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，则x的取值范围为 2 ≤ x＜ 3 ．
解：∵规定[x]为不大于x的最大整数，
∴x的取值范围为：2≤x＜3，
故答案为：2≤x＜3．
变式训练
【变 2-1】．已知对于任意两组正实数：a ，a ，…，a ；b ，b ，…，b 总有（a 2+a 2+…+a 2）
1 2 n 1 2 n 1 2 n
（b 2+b 2+…+b 2）≥（a b +a b +…+a b ）2．当且仅当 ＝ ＝…＝ 时取等号，据此我们可以得
1 2 n 1 1 2 2 n n
到，正数a，b，c满足a+b+c＝1，则 + + 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
解：根据题意所给的不等式可得：
+ + ＝（a+b+c）（ + + ）
＝[ ][ ]≥（1+1+1）2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝ 时，取得等号，
∴ + + 的最小值为9．
故选：C．
【变2-2】．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣
≤x≤n+ ，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣ ≤x≤n+ ．例如，＜0
＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：
①如果＜x﹣2＞＝3，则实数x的取值范围是 4. 5 ≤ x ＜ 5. 5 ．
②若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的取值范围是 1.25 ≤ a ＜ 1.75
．解：①∵＜x﹣2＞＝3，
∴2.5≤x﹣2＜3.5，
∴4.5≤x＜5.5，
故答案为4.5≤x＜5.5；
②解不等式组 得：﹣1≤x＜＜2a﹣1＞，
∵不等式组有3个整数解
∴1＜＜2a﹣1＞≤2，
∴1.5≤2a﹣1＜2.5，
解得1.25≤a＜1.75，
故答案为1.25≤a＜1.75．
1．定义[x]表示不大于x的最大整数，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，则方程[x]+2＝2x所有解的和为
（ ）
A． B． C． D．
解：令[x]＝n，代入原方程得n+2﹣2x＝0，即x＝ ，
又∵[x]≤x＜[x]+1，
∴n≤ ＜n+1，
整理得2n≤n+2＜2n+2，
即0＜n≤2，
∴n＝1或n＝2，
将n＝1代入原方程得：1+2﹣2x＝0，解得x＝ ，将n＝2代入原方程得：2+2﹣2x＝0，解得x＝2，
故2+ ＝ ．
故选：C．
2．定义新运算：对于任意实数a、b都有：a b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法
⊕
运算，如：3 6＝（3+6）÷6＝ ，那么方程（x+2） （2x﹣1）＝4的解为（ ）
A．x＝3 ⊕ B．x＝2 C．x＝1⊕ D．x＝0
解：（x+2） （2x﹣1）＝4，
则（x+2+2x﹣⊕1）÷（2x﹣1）＝4，
＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，
故x＝1是原方程的根．
故选：C．
3．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．
例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于 x 的方程 x*（kx+2）＝0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围是
（ ）
A．k B．k C．k ，且k≠0 D．k ，且k≠0
解：∵x*（kx+2）＝0，
∴x（kx+2）+3＝0，
整理可得kx2+2x+3＝0，
又∵关于x的方程x*（kx+2）＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠0，
故选：D．
4．对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣1
C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣
解：∵min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
∴min{x，﹣x}＝x或﹣x．
∴﹣2x﹣1＝x或﹣x，
（1）﹣2x﹣1＝x时，
解得x＝﹣ ，
此时﹣x＝ ，
∵x＜﹣x，
∴x＝﹣ 符合题意．
（2）﹣2x﹣1＝﹣x时，
解得x＝﹣1，
此时﹣x＝1，
∵﹣x＞x，
∴x＝﹣1不符合题意．
综上，可得：按照这个规定，方程方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为：x＝﹣ ．
故选：A．
5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若 ，则[x]＝n，
如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝3 B．3≤x＜3.5 C．2.5＜x＜3.5 D．2.5≤x＜3.5
解：∵[x]＝3，
∴n＝3，
∴3﹣ ≤x＜3+ ，
∴2.5≤x＜3.5，故选：D．
6．对于任意实数a、b，定义一种运算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的
定义解决问题，若不等式2*x＜6，则该不等式的正整数解有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意得，2x﹣2+x﹣2＜6，
解得x＜3 ，
∴该不等式的正整数解有1，2，3共3个，
故选：C．
7．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而
达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值
为（ ）
A． B． C． D．
解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3﹣2x2+2x+1
＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1
＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1
＝x2+x﹣1
＝（x+1）+x﹣1
＝2x，
∵x2﹣x﹣1＝0的根为x＝ 或x＝ ，
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴x3﹣2x2+2x+1＝1+ ，
故选：B．
8．阅读理解：a、b、c、d是实数，我们把符号 称为2×2阶行列式，并且规定： ，例如， ．二元一次方程组 的解可以利用2×2
阶行列式表示为 ，其中 ， ， ．用上面的方法解二元一次方
程组 时，下面的说法错误的是（ ）
A．D＝8 B．D ＝10
x
C．方程组的解为 D．D ＝20
y
解：由题意可知， ＝ ＝3×3﹣1×（﹣1）＝10，
＝ ＝1×3﹣7×（﹣1）＝10，
＝ ＝3×7﹣1×1＝20，
∵方程组的解为 ，即 ，
故选：A．
9．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝
x3，y′＝12，则x的值是 ± 2 ．
解：∵y＝x3，y′＝12，
∴3x2＝12，
x2＝4，
x＝±2，故答案为：±2．
10．定义一种新运算：a*b＝ a﹣ b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，则根据定义的运算求出x的值为 5
．
解：根据题意，
得 ，
去分母，得3（x+3）﹣2（2x﹣1）＝6，
去括号，得3x+9﹣4x+2＝6，
移项，得3x﹣4x＝6﹣2﹣9，
合并同类项，得﹣x＝﹣5，
系数化为1，得x＝5．
故答案为：5．
11．对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为a b＝ ，这等式右边是实数运算．例如：1 2＝
⊗ ⊗ ⊗
＝1．则方程2 （﹣x）＝ 的解是 ﹣ ．
⊗
解：根据题意可知：
2 （﹣x）＝ ，
⊗
∴ ＝ ，
﹣3x＝x+5，
﹣4x＝5，
x＝﹣ ．
经检验x＝﹣ 是原方程的解．
故答案为：﹣ ．
12．m、n 为正整数，1＝ + + + + + + + + + + + + ，1≤x≤m，1≤y≤n，m≤n，则代数式 的最小值为 ．
解 ： ∵ ＝ ＝ 1﹣
，
∴1＝（ ）+ ，又m≤n，
∴m＝13，n＝20，
∴1≤x≤13，1≤y≤20，
∴2≤x+1≤14，2≤y+1≤21，
∴ ，
∴ ，
∴
即 ，
∴代数式 的最小值为 ．
故答案为： ．
13．新定义，若关于x，y的二元一次方程组① 的解是 ，关于x，y的二元一次方
程组② 的解是 ，且满足| |≤0.1，| |≤0.1，则称方程组②的解是
方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，
则m的取值范围是 4. 5 ≤ m ≤ 5 ．解：解方程组 得， ，
解方程组 得， ，
∵二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，
∴| |≤0.1，| |≤0.1，
解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，
所以4.5≤m≤5．
故答案为4.5≤m≤5．
14．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若 ，
则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列结论：
①（2.493）＝2；
②（3x）＝3（x）；
③若 ，则x的取值范围是6≤x＜10；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）；
其中正确的是 ①③④ （填写所有正确的序号）．
解：①（2.493）＝2，故①符合题意；
②（3x）≠3（x），例如当x＝0.3时，（3x）＝1，3（x）＝0，故②不符合题意；
③若（ x﹣1）＝1，则 ，解得：6≤x＜10，故③符合题意；
④m为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合题意；
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
15．自然数1到n的连乘积，用n！表示，这是我们还没有学过的新运算（高中称为阶乘），这种运算规
定：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问
题：
（1）计算5！＝ 12 0 ；
（2）已知x为自然数，求出满足该等式的x： ；（3）分解因式 ．
解：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120（2分）（只写出5×4×3×2×1得1分）
（2） ＝1，
解得x＝6（2分）；
（3）原式＝x2﹣x﹣
＝x2﹣x﹣9900
＝（x﹣100）（x+99）．（如结论不对，过程有 ＝100×99可得2分）
16．（1）解方程组： ．
（2）对于实数a，b规定一种新的运算“☆”：a☆b＝ ．
例如：4☆3＝ ＝5，2☆3＝2×3＝6．
若x，y满足方程组 ，求y☆（x☆y）的值．
解：（1） ，
①×4得，8x﹣4y＝20③，
②+③得，11x＝22，
解得x＝2，
将x＝2代入①得，y＝﹣1，
∴方程组的解为 ；
（2） ，
①×2得，2x﹣8y＝﹣16③，
②﹣③得，9y＝45，解得y＝5，
将y＝5代入①得，x＝12，
∴方程组的解为 ，
∴y☆（x☆y）
＝5☆（12☆5）
＝5☆（ ）
＝5☆13
＝5×13
＝65．
17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，
则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）．
①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m+n＝0；
③若p、q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；
④若2b2﹣9ac＝0时，则方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．
解：①解方程x2﹣4x+4＝0得：
x ＝2，x ＝2，
1 2
∵x ≠2x ，
1 2
∴方程x2﹣4x+4＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x ＝2，
1
因此x ＝1或x ＝4，
2 2
当x ＝1时，m+n＝0，
2
当x ＝4时，4m+n＝0，
2
故②正确；
③∵pq＝8，
∴q＝ ．
∴方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）变为：px2﹣6x+ ＝0，即p2x2﹣6px+8＝0，
∴（px﹣2）（px﹣4）＝0，
∴px＝2或px＝4．
∴ ，x ＝ ，
2
∵x ＝2x ，
2 1
∴关于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：
x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∵2b2﹣9ac＝0，
∴ac＝ ，
∴ ＝ ＝﹣ ， ＝ ＝﹣ ，
∴x ＝2x ，
2 1
∴若2b2﹣9ac＝0时，则方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，
故④正确，
故答案为：②③④．
18．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正
数），则称方程 x+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解
是x＝2，方程y﹣α4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方
程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程 ﹣b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5
＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
解：（1）x﹣2＝3﹣x的解为x＝ ，y+2＝3（y+1）的解为y＝﹣ ，
∵| ﹣（﹣ ）|＝3，
∴方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”；
（2）3y+5＝y﹣1的解为y＝﹣3，
∵关于x的方程 ﹣b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5＝y﹣1都是“差1方程”，
∴|x+3|＝1，
解得x＝﹣2或x＝﹣4，
当x＝﹣2时，﹣3+ ﹣b＝2k﹣1，
∴（a﹣4）k＝4+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣2，
∴a+b＝2；
当x＝﹣4时，﹣6+ ﹣b＝2k﹣1，
∴（a﹣4）k＝10+2b，
∵k取任何有理数，
∴a＝4，b＝﹣5，
∴a+b＝﹣1；
综上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1．
19．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给
出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程的解，y 是关于y的方程的一个解，且x ，y 满足x +y ＝
0 0 0 0 0 0
424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程 4x＝5x﹣400的解
是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，当y＝24时，满足x +y ＝400+24＝424，所以关于y
0 0
的方程|y|＝24是关于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．
（1）试判断关于y的方程|y﹣1|＝20是否是关于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并说明
理由；
（2）若关于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是关于x的一元一次方程x﹣ ＝2a+1的“航天方程”，求a
的值．解：（1）是，理由如下：
x+403＝2x，
解得：x＝403，
|y﹣1|＝20，
解得：y＝21或y＝﹣19，
∵403+21＝424，
∴关于y的方程|y﹣1|＝20是关于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”；
（2）x﹣ ＝2a+1，
解得：x＝4a+3，
|y﹣1|﹣3＝13，
解得：y＝17或y＝﹣15，
∵关于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是关于x的一元一次方程x﹣ ＝2a+1的“航天方程”，
①当4a+3+17＝424时，
解得：a＝101；
②当4a+3﹣15＝424时，
解得：a＝109，
综上，a的值为101或109．
20．对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常数．如：当a＝1，b
＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．
（1）当a，b满足 时，计算E（x）；
（2）已知 ，请求出 的值；
（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组 恰好有5个整数解，求k的
取值范围．
解：（1）∵ ， 0，|b+6|≥0，
∴a﹣ ＝0，b+6＝0，∴ ，
∴
＝﹣6x2﹣ x﹣24x﹣6
＝ ；
（2）∵E（2﹣3x）＝[a（2﹣3x）+2][2b（2﹣3x）﹣3]
＝18abx2﹣[3a（4b﹣3）+6b（2+2a）]x+（2+2a）（4b﹣3）
＝18abx2﹣（24ab﹣9a+12b）x+（8ab﹣6a+8b﹣6），
∴18ab＝ ，﹣（24ab﹣9a+12b）＝﹣2，8ab﹣6a+8b﹣6＝﹣ ，
∴ab＝ ，
∴2﹣9a+12b＝2，
∴﹣9a+12b＝0，
∴3a＝4b．
∴ ．
（3）∵当a＝3，b＝2时，E（x）＝（3x+2）（4x﹣3）＝12x2﹣x﹣6，
∴E（x）﹣2x（6x+3）＝﹣7x﹣6．
∵当a＝3，b＝2时，4E（2+x）﹣E（2x﹣1）＝238x+153，
∴原不等式组可化为： ，
解得： ，
∵不等式组恰好有5个整数解，
∴ ，
∴11≤k＜14.5．
21．规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1的“刹那
又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，则称6与5是关于1的“刹那又一年”，请你尝试运用上述规定，解答下列问题：
（1）填空：（在横线上填“是”或“不是”）
①已知：P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，那么x与y是否关于1的“刹那又一年” 是 ；
②已知不等式组 的整数解为a，b，那么a与b是否关于1的“刹那又一年” 是 ；
（2）已知方程组： 的解x和y是关于1的“刹那又一年”，求t的值；
（3）已知：x＞y且 中的x和y是关于1的“刹那又一年”，当m为正整数时，S ＝
1
m2+8m+7，S ＝m2+6m+8满足条件0＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有8个，令t＝m+b2，化简 ．
2 1 2
解：（1）①∵P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，
∴2x+12＝0，2y+10＝0，
∴x＝﹣6，y＝﹣5，
∵y﹣x＝﹣5﹣（﹣6）＝1，
∴x与y是关于1的“刹那又一年”，
故答案为：是；
② ，
由①得x≥1；
由②得x≤2，
∴原不等式的解集为1≤x≤2，
∴整数解为a＝1，b＝2，或a＝2，b＝1，
∵a﹣b＝2﹣1＝1或|b﹣a|＝|1﹣2|＝1，
∴a与b是关于1的“刹那又一年”，
故答案为：是；
（2） ，
①+②得6x＝6t+6，∴x＝t+1，
把x＝t+1代入①，2t+2﹣y＝6，
解得y＝2t﹣4，
∴这个方程组的解为 ，
∵方程组 的解x和y是关于1的“刹那又一年”，
∴（t+1）﹣（2t﹣4）＝1或（2t﹣4）﹣（t+1）＝1，
解得t＝4或t＝6；
（3）∵ 中的x和y是关于1的“刹那又一年”，且x＞y，
∴x﹣y＝（n﹣10）2﹣（b2+4）＝1，
（b2+4）+1＝（n﹣10）2，
即b2+5＝（n﹣10）2，
∵S ＝m2+8m+7，S ＝m2+6m+8，
1 2
∴|S ﹣S |＝|（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）|＝|m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8|＝|2m﹣1|，
1 2
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴|S ﹣S |＝2m﹣1，且2m﹣1是整数，
1 2
∵0＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有8个，
1 2
即0＜n＜2m﹣1的整数n有且只有8个，
∴2m﹣1＝9，
解得m＝5，
∵t＝m+b2，
∴t＝5+b2，
∵b2+5＝（n﹣10）2，
∴t＝（n﹣10）2，
∴ ＝ ＝|（n﹣10）|
∵0＜n＜9，
∴（n﹣10）＜0，∴|（n﹣10）|＝10﹣n，
即 ＝10﹣n．
22．我们把关于x，y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元
一次方程组 叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x，y的二元一次方程组为 共轭二元一次方程组，则a＝ ﹣ 1 ，b＝ 1
．
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值满足下列表格：
x 2 0
y 0 1
则这个方程的共轭二元一次方程是 2 x + y ＝ 2 ．
（3）直接写出方程组的解： 的解为 ； 的解为 ；
的解为 ．
（4）发现：若共轭二元一次方程组 的解是 ，则m，n之间的数量关系是 m ＝ n ．
（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
解：（1）∵ 是共轭二元一次方程组，
∴1﹣a＝2，b+2＝3，
解得a＝﹣1，b＝1，
故答案为：﹣1，1；
（2）将x＝2，y＝0；x＝0，y＝1代入方程x+ky＝b中，
∴2＝b，k＝b，
∴k＝b＝2，
∴二元一次方程是x+2y＝2，
∴共轭二元一次方程是2x+y＝2，故答案为：2x+y＝2；
（3） ，
①×2得，2x+4y＝6③，
②﹣③得，y＝1，
将y＝1代入①，得x＝1，
∴方程组的解为 ；
，
①×2得，6x+4y＝﹣20③，
②×3得，6x+9y＝﹣30④，
④﹣③得，y＝﹣2，
将y＝﹣2代入①，得x＝﹣2，
∴方程组的解为 ；
，
①×2得，4x﹣2y＝8③，
②+③得，x＝4，
将x＝4代入①得，y＝4，
∴方程组的解为 ；
故答案为： ， ， ；
（4） 的解为 ，
∴ ，
①﹣②，得（1﹣k）m+（k﹣1）n＝0，
∴（1﹣k）（m﹣n）＝0，
∵k≠1，∴m＝n，
故答案为：m＝n；
（5） ，
①×2，得2x﹣4y＝2③，
②+③得，y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得，x＝﹣1，
∴方程组的解为 ．
23．阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子
方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2， 的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4
的范围内，所以2x﹣1＝3是 的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①3x﹣1＝0，② ，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组 的“子
方程”是 ③ ．（填序号）
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0， ＝﹣1都是关于x的不等式组 的“子方程”，试求m的取值
范围．
解：（1）①3x﹣1＝0，
解得：x＝ ，② ，
解得：x＝ ，
③2x+3（x+2）＝21，
解得：x＝3，
，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤5，
∴不等式组 的“子方程”是：③，
故答案为：③；
（2） ，
解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集为： ＜x≤3，
2x﹣k＝2，
解得：x＝ ，
∵方程2x﹣k＝2是不等式组 的“子方程”，
∴ ＜ ≤3，
解得：3＜k≤4；
（3）2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，＝﹣1，
解得：x＝﹣1，
，
解不等式①得：x≥m﹣5，
解不等式②得：x＜m﹣3，
∴原不等式组的解集为：m﹣5≤x＜m﹣3，
∵方程2x+4＝0， ＝﹣1都是关于x的不等式组 的“子方程”，
∴ ，
解得：2＜m≤3．
24．定义一种新运算：对于实数 x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得
到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，
称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝ ﹣ 8 ，L（ ，﹣ ）＝ ﹣ ；
（2）已知L（5， ）＝ ，L（2， ）＝8．
①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有哪些？
②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；
若没有，请说明理由．
解：（1）∵L（x，y）＝2x+7y，
∴L（3，﹣2）＝2×3+7×（﹣2）＝﹣8，
L（ ，﹣ ）＝2× +7×（﹣ ）＝﹣ ，
故答案为：﹣8，﹣ ；
（2）∵L（5， ）＝ ，L（2， ）＝8，∴ ，
∴ ，
∴L（x，y）＝3x+5y，
①∵L（m﹣1，m+2）为正格线性数，
∴m＞1，
∵66＜L（m﹣1，m+2）＜99，
∴66＜3（m﹣1）+5（m+2）＜99，
∴7 ＜m＜11 ，
∴m＝8，9，10，11，
∴满足条件的正格数对有L（7，10），L（8，11），L（9，12），L（10，13）共4对；
②∵L（x，y）＝55，
∴3x+5y＝55，
∴y＝11﹣ x，
∵y＞0的整数，
∴x＝5或x＝10或x＝15，
∴y＝8或y＝5或y＝2，
∴没有满足问题①的数对．
25．阅读下列材料解答问题：
新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+
，
则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣ ≤x＜n+ ．例如：
＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
（1）①＜ +2.4＞＝ 6 （ 为圆周率）；
②如果＜x﹣π 1＞＝2，则数x的π取值范围为 2. 5 ≤ x ＜ 3. 5 ；（2）求出满足＜x＞＝ x﹣1的x的取值范围．
解：（1）由题意可得：＜ +2.4＞＝6；
故答案为：6， π
②∵＜x﹣1＞＝2，
∴1.5≤x﹣1＜2.5，
∴2.5≤x＜3.5；
故答案为：2.5≤x＜3.5；
（2）∵x≥0， x﹣1为整数，设 x＝k，k为整数，
则x＝ k，
∴＜ k＞＝k﹣1，
∴k﹣1﹣ ≤ k＜k﹣1+ ，k≥0，
∴ ＜k≤ ，
∴k的值为3、4、5、6，
∴＜x＞＝2、3、4、5，
∴1.5≤x＜5.5．
26．【情境呈现】：
在解方程组 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比
较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：令m＝2x+3y、n
＝4x﹣3y，可以将原方程组化为 ，解得 ，把 代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得 ，所以原方程组解为 ．
【灵活运用】：
（1）若方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ；
（2）若方程组 的解为 ，其中k为常数．
①求方程组 的解：
②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x＞y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理
由．
解：（1）根据题意得
，
解得 ；
故答案为： ；
（2）①由题意可得：
解得 ，
②由①得： ，
∵x＞y，
∴3k﹣1＞2k﹣2，
∴k＞﹣1，
又∵k为负整数，
∴不存在负整数k使得①中方程组的解满足x＞y．27．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程
0
ax+b＝0（a≠0）的解，y 是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x ，y 满足x +y ＝100，则称关于
0 0 0 0 0
y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x﹣2x﹣99＝0的解是x ＝
0
99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y ＝1时，x +y ＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程
0 0 0
3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ② ．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣ ＝a+1的“友好方程”，请求出a
的值．
（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+ ＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方
程”，请直接写出 的值．
解：（1）3x﹣2x﹣102＝0的解为x ＝102，
0
方程2y﹣2＝4的解是y＝3，x +y ≠100；故不是“友好方程”；
0 0
方程|y|＝2的解是y＝2或y＝﹣2，当y ＝﹣2时，x +y ＝100，故是“友好方程”，
0 0 0
故答案是：②
（2）方程|2y﹣2|+3＝5的解是y＝2或y＝0，一元一次方程x﹣ ＝a+1的解是x＝a+3，
若y ＝0，x +y ＝100，则a+3+0＝100，解得a＝97；
0 0 0
若y ＝2，x +y ＝100，则a+3+2＝100，解得a＝95；
0 0 0
答：a的值为97或95．
（3）mx+45n＝54m，解得 ＝ ，
∵x +y ＝100，
0 0
∴y ＝100﹣x＝ ；
0
∵2m|y﹣49|+ ＝m+n∴2m|46+ ﹣49| ＝m+n；
∴2m| |+m+n＝m+n；
即2m| |＝0．
∵分母m不能为0；
∴ ＝0，即m＝15n；
∴ ＝ ＝16；
答： 的值为16．
