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例题精讲
考点1 一次函数新定义问题
【例1】．定义：我们把一次函数 y＝kx+b（k≠0）与正比例函数 y＝x的交点称为一次函数 y＝kx+b
（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程 ，解得 ，则y＝2x﹣
1的“不动点”为（1，1）．
（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 ；
（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；
（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，
若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP ＝3S△ABO ，求满足条件的P点坐标．变式训练
【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一
一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图
象．同时，我们也学习了绝对值的意义 ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性
质；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集．
（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．考点2 反比例函数新定义问题
【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性
质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣
（x﹣2）2+8的解集为 ．
变式训练
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图
形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M
与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l ，线段AB的长度称为点A与直线l 之间的距离，当l ∥l 时，线段AB的长度也是l
1 1 2 1 1
与l 之间的距离．
2【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC
于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l ：y＝﹣x+4与双曲线C ：y＝ （x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B
3 1
之间的距离是 ，点O与双曲线C 之间的距离是 ；
1
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过 80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的
隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形
状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图 5所示的直角坐标系，
此时高速路所在直线l 的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C 的函数表达式为y＝ （x＞
4 2
0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？考点3 二次函数新定义问题
【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤
后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y ＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过
1
程，并直接写出当1＜y ≤2时，自变量x的取值范围．
1变式训练
【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小
丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5
B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大
C．若a＜0，则8a+c＞0
D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）
【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；
（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后
抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是 ；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是 ．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝
b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+ ）（其中k为常数且
k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝ 的图象上运动，且点A是点
B的“ 关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为 ．
3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y
＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝
ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是 y ＝﹣ 2 x
﹣ 1 ．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣
3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线 ．
（1）下列说法不正确的是 ．
A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”
B．函数 的图象上没有“不动点”
C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线 上的“不动点”；
（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a＝1，过双曲线 图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点
到l的距离为m，直接写出m的取值范围．5．在并联电路中，电源电压为U总 ＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总 ＝I
1
+I
2
（I
1
＝
，I
2
＝ ），已知R
1
为定值电阻，当R变化时，干路电流I总 也会发生变化，且干路电流I总 与R之
间满足如下关系：I总 ＝1+ ．
（1）定值电阻R 的阻值为 ；
1
Ω
（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I
2
＝ 来探究函数I总 ＝
1+ 的图象与性质．
①列表：如表列出I总 与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
I ＝
2
… 3 m 2.2 n …
I总 ＝1+
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总 相对应的值为纵坐标，描
出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①I总 随R的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数I总 ＝1+ 的图象是由I
2
＝ 的图象向 平移 个单位而得到．6．小欣研究了函数 的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 …
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
y … ﹣1 ﹣2 ﹣3 3 2 m …
﹣ ﹣
②描点：根据表中的数值描点（x，y）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质：下列说法不正确的是
A．函数值y随x的增大而减小
B．函数图象不经过第四象限
C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点
D．函数图象对称中心（﹣1，0）
（3）如果点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数图象上，如果x +x ＝﹣2，则y +y ＝ ．
1 1 2 2 1 2 1 27．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质，
其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 1 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；② 关于y轴对称；③ 关于原点对称；
（3）在上图中，若直线y＝2交函数 的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作
BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC ＝ ．8．【定义】
从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点
对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．
【应用】
（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2， ），B（2，2 ），C（3， ），则原点O对三
角形ABC的视角为 ；
（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O ，以原点O，半径为4画圆O ，证明：圆
1 2
O 上任意一点P对圆O 的视角是定值；
2 1
【拓展应用】
（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志
性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为 45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建
立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直
线上满足条件的位置坐标．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣
1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝ ；n＝ ；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 1 m 0 0 n …
②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描
出相应的点并连线，作出函数图象；
（2）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（3）若函数值y＝8，则x＝ ；
（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是
．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，
拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中， d 是自变量， h 是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公
园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C
处距桥墩的距离CE至少为 米．（精确到0.1米）11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运
用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 …
表格中，a＝ ；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝ 时，y有最大值为 ；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y ），Q（m+1，y ）两点在函数M的图象上，当y ＜y 时，请直接写出m的取值范
1 2 1 2
围．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为
函数图象W的“直旋点”．例如，点 是函数y＝x图象的“直旋点”．
（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数 图象的“直旋点”的
有 （填序号）；
（2）若点N（3，1）为反比例函数 图象的“直旋点”，求k的值；
（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函
数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．
13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个
函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有
界函数，其边界是1．
（1）直接判断函数y＝ （x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写
出其边界值；
（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解
析式；
（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，
当m在什么范围时，满足 ≤n≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线
称为“月牙线”．如图所示，抛物线C 与抛物线C ：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分图象组成一个
1 2
“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的
坐标为（0，﹣1）．
（1）求M，N两点的坐标及抛物线C 的解析式；
1
（2）若抛物线C 的顶点为D，当m＝ 时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；
2
（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣ ）是抛物线C 上一点，抛物线C 第三象限上是否存在一点Q，
1 2
使得S△APM ＝ S△ONQ ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，
那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝
（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．
（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当 x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1
所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．
（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，
﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的
取值范围．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直
线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”
与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），
半圆半径为3．
（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y ，自变量的取值范围是 ；
（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；
（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．
17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函
数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组
“XC点”．
（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣ 互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；
（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如
图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x ，0），B（x ，0）其中0＜x ＜x ，AB＝ ，
1 2 1 2
过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣ ，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝
∠OBP，求t的最小值．
18．如果三角形的两个内角 与 满足2 + ＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
α β α β（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应
横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 ；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 ；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 ；
（2）如图1，点A在双曲线y＝ （k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负
半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是
“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，
且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝ ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝
ax2+bx+c的解析式．
