文档内容
模型介绍
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
（一）、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A
A
m
P
m
B
B
（2）点A、B在直线同侧： A
A
B
B
m
P
m
A'
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：
A
m
A
m P' P
n
Q' Q
n
B
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
A m
m
P
B
B
n
n
Q
B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m
A A
P
B B
Q
n n
B'
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，
使得围成的四边形ADEB周长最短.
n
n A' A
B
A
B D
m
E
m
B'
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点
PA+PQ+QA周长最短. n
A'
n
A
A Q
m
m
P
A"
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m P P'
解：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，
而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
m m
P' P
B
B
解：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
例题精讲
考点一、两定一动模型
【例1】.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝
3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
变式训练【变式1-1】．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使
PA+PE最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB ＝ S矩形ABCD ，则点P到A、B
两点距离之和PA+PB的最小值为 ．
【变式1-3】．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上
的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．
考点二、一定两动模型【例2】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，
E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________.
变式训练
【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的
动点，则AE+EF的最小值为 ．
【变式2-2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE
上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．
【变式2-3】．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、
N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 ．
考点三、线段差最大值模型【例3】.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，
△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
变式训练
【变式3-1】．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，
当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________.
【变式3-2】．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，
CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 ．【变式3-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD
上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
模型四、造桥选址模型（即动线段类型）
【例4】.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满
足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
变式训练
【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐
标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最
小，则点P的坐标应为 ．
【变式4-2】．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且 EF＝ ，连接CE、CF，则△CEF周长的最小值为 ．
【变式4-3】．在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴
上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF＝2，当四边形CDEF的周
长最小时，求点E，F的坐标．
实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和
AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A． B．4 C．5 D．
2．如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一
点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A． B． C．12 D．
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C
的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝
6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（ ）A．2 B．3 C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足
PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
6．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|
BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 ．
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角
形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为 ．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，点D，E分别是边AB，BC上的动点，则
DC+DE的最小值为 ．
9．如图，在 ABCD中，点M、N分别是AC和BC上的动点，AB＝3，BC＝6，∠D＝60°，在点M、N运
▱动的过程中，BM+MN的最小值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，长为 2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B
（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 ．
11．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE
的最大值是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2的等腰直角三角形ABC在x
轴上滑动时，AQ+PC的最小值为 ．13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，EG＝EF，且
∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为 ．
14．如图，正方形ABCD内接于 O，线段MN在对角线BD上运动，若 O的面积为2 ，MN＝1，则
△AMN周长的最小值为 ⊙ ． ⊙ π
15．如图抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，
若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
16．如图，正方形ABCD边长为4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四边形AMNE周长的最小值．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/1 9:58:15；用户：初中数学；邮箱：lsjycs@xyh.com；学号：30145887
17．（1）如图1，OC平分∠AOB，点D是射线OA边上一点，点P、Q分别在射线OC、OB上运动，已知
OD＝10，∠AOC＝30°，则DP+PQ的最小值是 ；
（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，点E是AB边上的动点，点F是对角线AC上的
动点，求EF+BF的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点M是AB上一动点，点N是对角线AC上一动点，
请直接写出MN+BN的最小值．18．（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．
若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为 ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝
2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，
求PF﹣PE的最大值．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．
若PA＝2，求PB﹣PC的最大值.19．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的
坐标．20．如图，已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线 与直线交于A、E
两点，与x轴交于B、C两点，且线段OA＝OB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣CM|的值最大，求点M的坐标．
（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 ）
