文档内容
模型介绍
【模型总结】
在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与
kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题．
当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为 1的特殊情况，只
需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.
需要注意的是这里的 QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或
全等三角形得到kPA的等线段．
【解题方法】
利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，
利用“两点之间线段最短”从而解出答案.
例题精讲
考点一:直角三角形中的加权逆等线模型
【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且
CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF
过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G
CF CE
∵ = =2 ，
CB BD
∴△FCE∽△CBD，EF=2CD
∴AE+2CD=AE+EF
当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF
易知：四边形ABCG为正方形 AG=3,CG=3
FG=9 在Rt△FAG中，由勾股定理得 AF=3√10
AE+2CD的最小值为3√10
变式训练
【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点，
，求 的最小值.解：作BF⊥BC 并且使得BF=2，连接EF
BE BF 2
∵ = = =√2 ∴△BEF∽△ADC
AD AC √2
∴EF=√2 CD ∴AE+√2CD=AE+EF
当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF
反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H
在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=√10
∴AE+√2CD的最小值为√10【变式1-2】.如图, 在Rt△ABC中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上
1
的动点, 且 , 求 CE+AF的最小值.
2
解：过点A作AD⊥AB，并且使得AD=12，连接DE，CD
过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥AD延长线与点G
AD AE
∵ = =2 ,∠DAE=∠ACF
CF CF
∴△DAE∽△ACF ，DE=2AF, CE+2AF=CE+DE
当C、E、D三点共线时，取到最小值，此时CE+2AF=CE+DE=CD
24 24 84
由等面积法可得：CH= 四边形AGCH为矩形， AG=CH= ，DG=AD+AG=
5 5 5
18
在Rt△CAH中 由勾股定理得：AH=
5
18
CG=AH=
5
在Rt△DCG中， 由勾股定理得：CD=6√2051 1 1
CE+AF= （CE+2AF）； CE+AF的最小值为3√205
2 2 2
考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型
【例 2】.如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 CB、DC 上的动点，且 BE=2DF,求
DE+2AF的最小值.
解：如图，延长BA至点D' ,使得AD'
=1;作点D
关于BC的对称点D'' 连接D' E，D''
E
易知BD'
=2
DE=D''
E
BD' BE 2
∵ = =
AD DF 1
∴ΔBD'E与ΔDAF相似
D' D'' D'' D'
∴ E=2AF ∵DE= E ∴DE+2AF= E+ E
D' D'' D'' D'
当 、E、 三点一线时， E+ E取到最小值.
D'' D'
此时 E+ E=√10 ∴ DE+2AF最小值为√10
变式训练
【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4√3，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？
解: 连接 D F, 延长D C至点 , 使 , 连接A G, 易证
的最小值是
.
【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，
满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、
BE、NF，当△CFN面积最小时， BE+AE的最小值为 ．
解：如图，连接MN、AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），
∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，
∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S ＝ S ，
△CFN △CMN
∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，
∵S ＝ ，
△CMN
∴当CN和CM长度最短时，S 的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，
△CMN
取BE的中点为点G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，
∴AE＝BE，∴MG＝ AE＝ BE，∴ BE+AE＝ AE+AE＝ AE，
∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，
∵CD＝4，∴AM＝ AB＝2，∴（ BE+AE） ＝ ×2＝3，故答案为：3．
最小值实战演练
1.如图,等腰 ，D、E分别是 AB、BC边上的动点,且满足 ,
求 的最小值.
A
D
B C
E
解：首先需要构建出 ,其次需要将AE和 放到同一直线上.
如图所示，构建 ，且相似比为 ，则
此时 即最小值为M N；
如图所示，当A、 E 、F三点共线时，取得最小值为AF;
接下来，我们求解AF的长度.
∴ CD的最小值为 .
G
A
D
B C
E
F
2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
方法一
解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝ +2 ＝ + ，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K
（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝ ＝ ，
∴ME+2AF的最小值为 ， 故答案为 ．
方法二
延长AB至点G，使得BG=4，连接GE
作点G关于直线BC的对称点N，连接EN，MN
∴GE=NE
易证△BGE∽△DAF，∴GE=2AF
故 ME+2AF=ME+GE=ME+NE
当M 、E、 N三点共线时，ME+NE取到最小值
此时ME+NE=MN
在Rt△MNA中，由勾股定理可得：MN=√26
AP 2
3．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且 = ，E、F分别为CD、BC上的动点，且
PD 1BF＝3DE，若AD=3，求PF+3AE的最小值．
解：延长BA到点G，使得BG=3AD=9，作点G关于直线BC的对称点H
连接GF，FH，由对称原理可知：FH=GF
易证△GBF∽△ADE ∴GF=3AE 故PF+3AE=PF+GF=PF+FH
当P、F、H三点共线时，PF+FH取到最小值
此时PF+FH=PH
在Rt△ABP中，由勾股定理可得：PH=2√37
∴PF+3AE最小值为2√37
4．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，点D在线段AB上，点E在线段
AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是 ．解：如图所示，作点C关于AB的对称点G，连接CG，DG，AG，
则CD＝GD，AC＝AG，∠CAG＝2∠CAB＝60°，CG⊥AB，
∴△ACG是等边三角形，
∴CG＝AC＝ ，
如图，以DE，DG为边作平行四边形DEHG，则DG＝EH，HG∥DE，
∴EH＝CD，CG⊥GH，
∴CD+CE＝HE+CE，
∴当C，E，H在同一直线上时，连接CH，CE+CD的最小值等于CH的长，
∵Rt△ACB中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，
∴BC＝tan30°×AC＝1，AB＝2BC＝2，
∵DA＝BE，
∴AB＝DE＝2，
∴平行四边形DEHG中，HG＝2，
∴Rt△CGH中，CH＝ ＝ ＝ ，
∴CE+CD的最小值等于 ，
故答案为： ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连
接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 1 0 ．解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE＝ ＝ ＝10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故答案为：10．
6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，
DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 ．解：如图，在直线DB的上方作∠BDT＝60°，且使得DT＝2BC．过点T作TH⊥AD交AD的延长
线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC＝4，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠CBF＝∠TDE，
BC BF 1
∵ = = ，
DT DE 2
∴△CBF∽△TDE，
CF BC 1
∴ = = ，
ET DT 2
∴ET＝2CF，
∵∠TDH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠H＝90°，DT＝2BC＝8，
∴DH＝DT•cos60°＝4，HT=√3DH＝4√3，
∴AH＝AD+DH＝8，
∴AT=√AH2+HT2=√82+(4√3) 2=4√7，
∵AE+2CF＝AE+ET，AE+ET≥AT，
∴AE+2CF≥4√7，
∴AE+2CF的最小值为4√7． 故答案为：4√7．
7．问题提出：（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，
过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE ＝ AF；
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段
EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形
ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；
问题解决：
（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且 ，E、F分别为BC、CD上的动点
且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．
解：（1）如图1，
DE＝AF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AFB＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，
故答案是“＝”；（2）如图2，
连接AC，交EF于O，
∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，∴O是矩形的对称中心，∴BE＝DF＝1，
作DI∥EF，AJ∥GH，
∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥IE，
∴四边形DIEF是平行四边形，∴EI＝DF＝1，∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2，
同理可得，
AJ＝GH，
∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，
由（1）得，
∠AID＝∠AJB，
∴△ADI∽△BAJ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BJ＝ ，
在Rt△ABJ中由勾股定理得，
AJ＝ ＝ ＝ ，∴GH＝ ；（3）如图3，
作EG⊥AD于G，∵ ，AD＝4，∴AM＝3，
设DF＝a，则BE＝2a，∴GM＝AM﹣AG＝3﹣2a，
在Rt△ADF中，AF＝ ＝ ，
在Rt△EGM中，
ME＝ ＝ ，
∴ME+2AF＝ +
＝ +
ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，
点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，
如图4，
作J的对称点K，连接KI，
则KI与x轴的交点是H点，此时ME最小，作IK⊥y轴于T，∴（ME+2AF） ＝KI＝ ＝ ＝3 ．
最小
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．
（1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长；
ⅰ）求AE﹣BE的值；
ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值；
（2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值．
解：（1）ⅰ）∵AC＝8，D为AC中点，∴AD＝CD＝4，
∵BC＝6，DE平分△ABC的周长，∴AD+AE＝CD+BC+BE，
∴4+AE＝4+6+BE，∴AE﹣BE＝6；
ⅱ）如图1，取AB的中点F，连接DF，
∵D为AC中点，∴DF∥BC，DF＝ BC＝ ×6＝3，∴∠AFD＝∠B＝60°，
∵∠AFD＝∠AED+∠FDE，∠AED＝30°，∴∠FDE＝30°，
∴∠AED＝∠FDE，∴EF＝DF＝3，
过F作FH⊥DE于H，∴FH＝ EF＝ ，EH＝DH，
∴EH＝ ＝ ，∴DE＝2EH＝3 ；（2）证明：过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接BM，
过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵CM∥AB，∴∠A＝∠ACM，
在△EAC和△DCM中， ，
∴△EAC≌△DCM（SAS），∴CE＝MD，
当点B，D，M三点在同一条直线上时，BD+MD的值最小为线段BM的长，
即BD+CE的最小值为BM的长，
∵CM∥AB，∴∠MCN＝∠ABC＝60°，
∵∠N＝90°，CM＝AC＝8，∴∠CMN＝30°，
∴CN＝ CM＝4，∴MN＝4 ，
∵BC＝6，∴BN＝BC+CN＝6+4＝10，
∴BM＝ ＝ ＝2 ，∴BD+CE的最小值为2 ．9．如图 1，在 ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点
▱
（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋
转a得到AP，连接PE，BE，BF．
（1）求证：△APE≌△CBF：
（2）如图2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；
（3）当OB＝OC，∠ACD＝60°时，BE+BF长的最小值是 ．
解：（1）∵∠ACD＝∠PAD，∠DAC＝∠ACB ∴∠PAE＝∠BCF
∵AP＝BC，AE＝CF∴△APE≌△CBF（SAS）
（2）由（1）可知△APE≌△CBF
∴EP＝BF ∴BP＝BE+PF＝BE+BF
∵∠BOA＝90° ∴平行四边形ABCD为菱形 ∴AP＝AD＝AB
∵∠PAD＝40° ∴∠PAB＝120° ∴∠P＝30°
如图，作AH⊥PB，垂足为H
在Rt△AHP中 AP＝6 ∴HP＝3 ∴BP＝6 ∴BE+BF＝6
（3）如图，PH垂直BA的延长线于H
∵OB＝OC ∴ ABCD为矩形
▱
由（1）可知△APE≌△CBF ∴BE+BF的最小值即为BP长
在Rt△AHP中，AP＝6 ，∠PAH＝30° ∴HP＝3 ，AH＝9在Rt△BHP中，BH＝15，HP＝3
∴BP＝ ＝6 ∴BE+BF的最小值6
10．平行四边形ABCD中，N为线段CD上一动点．
（1）如图1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求证：四边形DRBN为平行四边形；
（2）如图2，已知∠ABC＝60°．若BN为∠ABC的角平分线，T为线段BN上一点，DT的延
长线交线段BC于点M，满足：tan∠BTM＝ 且DN＝BM．请认真思考（1）中图形，探究
的值．
（3）如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在线段BD上，Q在线段
CD上，满足：BP＝2CQ．直接写出（2QA+AP）的最小值为 2 ．
（1）证明：如图 1中，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BF⊥DC交DC的延
长线于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴DE＝BF，AE＝CF，
∵DR＝BN， ∴Rt△DER≌Rt△BFN（HL）， ∴ER＝FN， ∴AR＝CN，∵AB＝CD， ∴BR＝DN，
∵DR＝BN， ∴四边形DRBN为平行四边形．
（2）解：如图2中，作DR∥BN交AB于R，连RM交BN于点P，
∵BR∥DN，RD∥BN，
∴四边形RBND是平行四边形， ∴BR＝DN，
∵DN＝BM， ∴BR＝BM，
∵∠ABC＝60°，BN为∠ABC的角平分线， ∴∠RBP＝∠PBM＝30°，
∴∠BPR＝90°，
∵RD∥BN， ∴∠PRD＝∠BPR＝90°，
∵RD∥BN， ∴∠BTM＝∠RDM，
∵tan∠BTM＝ ， ∴tan∠RDM＝ ，
设BM＝a，则RM＝a，
，
过点A作AK⊥RD于点K，
∵∠BRM＝60°， ∴∠ARD＝30°＝∠ADR，
∴DK＝RK＝a， ∴AD＝ ＝ ＝ a，
在Rt△RDM中，RM2+RD2＝MD2，
∴MD＝ a， ∴ ＝ ＝ ．（3）解：如图3中，连接AC，作CM∥BD，使得CM＝ AB，连接MQ，AM．
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°， ∴四边形ABCD是菱形，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠DBC＝∠BDC＝ ∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵CM∥BD， ∴∠DCM＝∠BDC＝30°， ∴∠ABP＝∠MCQ，
∵ ＝ ＝2， ∴△ABP∽△MCQ， ∴ ＝ ＝2， ∴QM＝ PA，
∴2QA+PA＝2（AQ+ AP）＝2（AQ+QM），
∵AQ+QM≥AM，AM＝ ＝ ＝ ，
∴AQ+QM的最小值为 ， ∴2AQ+PA的最小值为2 ． 故答案为： ．11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝ DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF
的最小值；如果不是，请说明理由．
解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°， ∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中， DH＝AD•sin∠DAH＝6× ＝3 ，
AH＝AD•cos∠DAH＝6× ＝3， ∴BD＝ ＝ ＝6 ；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6× ＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3× ＝ ，
BE＝ ＝ ＝2 ，
∵BE＝ DF， ∴DF＝2， ∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中， ∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴FN＝AF•sin∠FAN＝4× ＝2 ，
AN＝AF•cos∠FAN＝4× ＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S ＝S +S ﹣S
四边形ABEF △BEM 梯形EMNF △AFN
＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN
＝ 3+ （ +2 ）×5﹣ 2×2
＝ + ﹣2 ＝7 ；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝ DF＝ x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝ BE＝ x，
BM＝ BE＝ x，
AN＝ AF＝ （AD﹣DF）＝3﹣ x，
FN＝ AF＝ ，
CH＝ BC＝3 ，BH＝ BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣ x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝ x，
GH＝FN＝ ，
EY＝MH＝BM﹣BH＝ x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3 ﹣ x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣ ，CG＝CH﹣GH＝3 ﹣ ＝ x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣ x﹣ x＝9﹣2x，
∴S ＝S +S ﹣S
四边形ABEF △BEM 梯形EMNF △AFN
＝ EM•BM+ （EM+FN）•MN﹣ AN•FN
＝ x× x+ （ x+ ）•（9﹣2x）﹣ （3﹣ x）•
＝ x2﹣ x+9＝ （x﹣3）2+ ，
∵ ＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，方法一：CE+ CF＝ + •
＝ +
＝ + ×
＝ + ×
＝ + ，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+ CF＝ + ≥12，
当且仅当x＝3时，CE+ CF＝12，即当x＝3时，CE+ CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵ ＝ ＝ ，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴ ＝＝ ＝ ，即GE＝ CF，
∴CE+ CF＝CE+GE≥CG＝12，即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+ CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3 ，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+ CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在 BD上截取 DM，使得 DM＝2 ，在 DA上取点 F，连接 DF，使得
△DFM∽△BEC．
则有CE＝ FM，作点M关于AD阿德对称点M′，
∴CE+ CF＝ FM+ CF＝ （CF+FM）＝ （CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+ CF的值也最小，最小值为12．
