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模型介绍
【模型总结】
R在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出
与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问
题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为 1的特殊情况，
只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.
R需要注意：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全
等三角形得到kPA的等线段．
【解题方法】
R利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，
利用“两点之间线段最短”从而解出答案.例题精讲
考点一:直角三角形中的加权逆等线模型
【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且
CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少.
变式训练
【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点，
，求 的最小值.
【变式1-2】.如图, 在Rt△ABC中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上的
1
动点, 且 , 求 CE+AF的最小值.
2考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型
【例 2】.如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 CB、DC 上的动点，且 BE=2DF,求
DE+2AF
的最小值.
变式训练
【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4√3，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且
BF=2DE，则AF+2AE的最小值为多少？
【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，
满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、
BE、NF，当△CFN面积最小时， BE+AE的最小值为 ．
实战演练1.如图,等腰 ，D、E分别是 AB、BC边上的动点,且满足 ,
求 的最小值.
A
D
B C
E
2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，
BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．AP 2
3．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且 = ，E、F分别为CD、BC上的动点，且
PD 1
BF＝3DE，若AD=3，求PF+3AE的最小值．
4．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，点D在线段AB上，点E在线段
AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是 ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 ．
6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，
DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 ．7．问题提出：
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，
过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE AF；
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段
EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形
ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；
问题解决：
（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且 ，E、F分别为BC、CD上的动点
且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．
（1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长；
ⅰ）求AE﹣BE的值；
ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值；
（2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值．9．如图 1，在 ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点
▱
（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋
转a得到AP，连接PE，BE，BF．
（1）求证：△APE≌△CBF：
（2）如图2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；
（3）当OB＝OC，∠ACD＝60°时，BE+BF长的最小值是 ．10．平行四边形ABCD中，N为线段CD上一动点．
（1）如图1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求证：四边形DRBN为平行四边形；
（2）如图2，已知∠ABC＝60°．若BN为∠ABC的角平分线，T为线段BN上一点，DT的延
长线交线段BC于点M，满足：tan∠BTM＝ 且DN＝BM．请认真思考（1）中图形，探究
的值．
（3）如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在线段BD上，Q在线段
CD上，满足：BP＝2CQ．直接写出（2QA+AP）的最小值为 ．11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝ DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF
的最小值；如果不是，请说明理由．
