文档内容
模型介绍
全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在
重复.
模型一、截长补短模型
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型
模型四、旋转全等模型
模型五、手拉手全等模型
例题精讲
模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝ ．
变式训练
【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接 AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且
CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，
∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型
【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB＝6时，求CD的长．
变式训练
【变式 2-1】．如图 1，A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且 DE＝AF，求证：
△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？
如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型
【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点
P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
变式训练
【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．
求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方
形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．
【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角
边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型
【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位
置关系，并证明你的猜想．
变式训练
【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是 3+ 4
．模型五、手拉手全等模型
【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且 AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝
∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．
（1）求证：△AEC≌△ADB．
（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．
变式训练
【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，
若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．
（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知 ， ，且 ， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD
交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4 ，
则BC2＝ ．
4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC
于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②S△FGC ＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝
GC．其中正确的有 （填序号）．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求AF的长度．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边
作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝3cm，则BE＝ cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的
延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且
DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足 +|b﹣5|＝ + ，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰
△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE
于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为 ；请直接写出∠APD＝ ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C
＞∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，
据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间
的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，
①求证：∠B+∠D＝180°；
②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角
形ABC的边长．
（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明
△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．
（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝ ，BP＝ ，PC＝1：类比第一小题的方法求
∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线
BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为 ．
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍
成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．
