文档内容
1．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
2、相交弦定理
【结论1】如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则
①AP·BP＝CP·DP,
②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
3、切割线定理【结论 2】如图 ，PBC 是⊙O 的一条割线，PA 是⊙O 的一条切线，切点为 A，半
径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
4、割线定理
【结论3】如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则
①PA·PB＝PC·PD
②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2
口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲
考点一：相交弦定理
【例1】．已知：如图弦 AB经过 O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是 O的半径等于
（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
变式训练
【变式1-1】．如图， O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝ ．
⊙
【变式1-2】．如图，在 O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延
⊙
长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝ ，则 的值为 ．考点二：弦切角定理
【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切 O于D，C是 上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是
⊙
度．
变式训练
【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与 O相切于A点，另一边交 O于B、C两点， O的半
径为 ，AC＝ ，则AB的长度为（ ）⊙ ⊙ ⊙
A． B．6 C． D．5
【变式2-2】．如图，BP是 O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点
⊙
P，连接AD，BC．若DE＝DA＝ ，BC＝2，则线段CP的长为 ．
考点三：切割线定理
【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为 ．
变式训练
【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相
切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则 O的直径为（ ）
⊙
A．10 B． C．5 D．12
【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，
CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2 ．则BO的长是 ．
【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若 ，求BD的长．考点四：割线定理
【例4】．如图，过点P作 O的两条割线分别交 O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，
则PD的长是（ ） ⊙ ⊙
A．3 B．7.5 C．5 D．5.5
变式训练
【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝
4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝ ．
【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，
与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为 ．1．如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，CM切 O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值
是（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A． B． C． D．
2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交 O于点D、B．已知PA＝12，PD＝
8，则S△ABP ：S△DAP ＝ ． ⊙
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°， O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若
BC＝ ﹣1，则AC＝ ． ⊙4．如图， O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为 ．
⊙
5．如图， O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交 O于点E，若BD＝4，CD
＝1，则⊙DE的长是 ． ⊙
6．如图，已知AC＝AB，AD＝5，DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝ ．
7．如图：BE切 O于点B，CE交 O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连
接BC、OD，⊙且BC＝BE，∠C＝⊙40°，劣弧BD的长是 ．8．如图，在平面直角坐标系中， O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且
AB＝AC，AC与 O交于点D，⊙延长AO与 O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则
tan∠DFO＝ ⊙，tan∠A＝ ． ⊙
9．如图，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，CD是 O的切线，C为切点，且CD＝CB，连
接AD，与 O交于点E． ⊙ ⊙
（1）求证⊙AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求 O的半径．
⊙10．如图，△ABC是 O的内接三角形，CD是 O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作 O的切线交CD
的延长线于点F，连⊙接FB． ⊙ ⊙
（1）求证：FB是 O的切线．
⊙
（2）若AC＝4 ，tan∠ACD＝ ，求 O的半径．
⊙
11．如图，正方形ABCD内接于 O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交 O于点G，
连接BG． ⊙ ⊙
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．12．如图， O的割线PBA交 O于A、B，PE切 O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，
PE＝4 ⊙，PB＝4，∠AEB＝⊙60°． ⊙
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求 O的面积．（答案保留 ）
⊙ π
13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是 的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延
长线上，且FC＝FE．
（1）求证：CF是圆O的切线；
（2）若 ，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．14．如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，点C在 O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC⊙是 O的切线； ⊙
（2）已知PC＝20⊙，PB＝10，点D是 的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
15．已知：如图，PF是 O的切线，PE＝PF，A是 O上一点，直线AE、AP分别交 O于B、D，直线
DE交 O于C，连接⊙BC， ⊙ ⊙
（1）求⊙证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在 O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在
图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证⊙明你的结论．16．已知△ABC是 O的内接三角形，∠BAC的平分线与 O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，⊙设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求⊙证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是 O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交 O外一点F，⊙过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G
作 O的切线GH（切点为H），求证：⊙FG＝HG．
⊙17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）
的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是 、 ，那么圆内角的度
数与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：
解：连接BC，OA，OC，OB，OD．
如图2，在△BCE中，∠AEC＝∠EBC+∠ECB
∵∠EBC＝ ∠AOC，∠ECB＝ ∠BOD
∴∠AEC＝ ∠AOC+ ∠BOD＝ （∠AOC+∠BOD）
即：∠AEC的度数＝ （ 的度数+ 的度数）
（1）如图1，在 O中，弦AB、CD相交于点E，若弧 的度数是65°，弧 的度数是40°，则∠AED
⊙
的度数是 ．
【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．
（2）如图3，在 O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧
⊙
、 的度数之间的关系．
【灵活运用】
（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（ ，1）在 O上， O与y轴正半轴交于点B，点C，点D
是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延⊙长线分别⊙交 O于点E、F．延长FE交y轴于点
G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变⊙化，请说明理由．
