第01讲中考热点实数（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料

第 01 讲 中考热点实数（知识精讲） 【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有 45个 考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位 为准。 但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模 块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运 用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到 基础概 念的准确深入的理解 ，而不是死记硬背知识点。 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开 方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本 性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识导图】 【考点梳理】考点一：实数的分类 1.按定义分类：   正整数      自然数   整数 零        有理数  负整数 有限小数或无限循环小数    实数   正分数  分数    负分数       正无理数 无理数 无限不循环小数      负无理数 2.按性质符号分类：   正整数   正有理数   正实数  正分数   正无理数    实数 零    负整数  负有理数   负实数  负分数      负无理数 m 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 n （m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式：   、 2 4 （1）字母型：如π是无理数， 等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； 2、 5、3 6， （3）根式型： …都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二:实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；  （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． a (a0)  a 0 (a0)  可用式子表示为： a (a0) （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对 值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 要点诠释： a  a, a 0； a  -a, a 0； a-b 若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离. 3.倒数 1 a(a  0) a （1)实数 的倒数是 ；0没有倒数；  ab 1 （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 . 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有  a 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 ． a （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 考点三:实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四:实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0ab，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b  a  b ； 174 4 15 或利用倒数转化：如比较 与 . 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五；实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的 符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同0相加，仍得这个 数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时， 积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 n （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．1 a0 1(a≠0)， ap  (a≠0). ap （3)零指数与负指数 要点诠释： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果 有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 考点六：有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是 0的数 字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1） 精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10n（其中1≤ ＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： a n （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为正整数，其值 等于原数中整数部分的数位减去1； a n （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为负整数，其值 等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【典型例题】 题型一、实数的有关概念 1  【例1-1】（1）a的相反数是 5，则a的倒数是_______． (a＋b)2 （2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 =______． b 0 a （3）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________． 2  3 3 2 4 【例1-2】．在实数－ ，0， ，－3.14， ， ，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个 0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到 8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ） A．8.55×106 B．8.55×107 C．8.55×108 D．8.55×109【变式2】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______， 绝对值等于它本身的数是______． 题型二：实数的分类与计算 22   0  2 2  7 7 3 9 8 【例2-1】下列实数 、sin60°、 、 、3.14159、- 、 、 中无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 π 12 3.14, 8, 4,( 32)0, ,cos30, , 【变式】在 2 tan45, 7 0.1010010001,51, 3%,0.31 中， 哪些是有理数? 哪些是无理数? 1 (－1)2001 ( )－2( 3)0－|－2| 【例2-2】．计算：计算： 2 ． 22  (3)2 (π3.14)0  8sin45. 【变式1】计算： 20012002200320041 【变式2】计算： 1 2 3 4  , , , 【例2-3】 (1)有一列数 2 5 10 17 ，…，那么依此规律，第7个数是______； 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 a    ,a    ,a    ,   ,, （2）已知 1 123 2 3 2 234 3 8 3 345 4 15 a 4  456 5 24a  依据上述规律，则 99 ． 1 1 1 【变式】a是不为1的有理数，我们把1a称为a的差倒数．如：2的差倒数是12 ，1的差倒数 1 1 1  a  是 1(1) 2 ．已知 1 3， a 2是 a 1的差倒数， a 3是 a 2的差倒数， a 4是 a 3的差倒数，…，依此类 a  推，则 2009 ． 题型三：实数大小的比较 【例3-1】比较下列每组数的大小： 1 （1） 174 与 4 15 （2）a与a （a≠0） 【变式】比较下列每组数的大小： 17 11   （1） 8 和 5 （2） 2 5 和 32 2007 2008 a b 【例3-2】若 2008， 2009 ，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． b0 【变式】当 时，比较1＋b与1的大小. 题型四：平方根的应用 3x4  y2 6y9 0 【例4-1】已知：x ，y是实数， ，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.1 a  2b1(c2)2  0 3 abc 【例4-2】已知 ，求 的值. 3x4 【变式】已知x、y是实数，且 +（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（ ） 1 1 7 7 4 4 4 4 A． B．－ C． D．－ 题型五：实数运算中的规律探索 【例6-1】细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题  2 1 1 12,S  1 2 A 4 1 A  2 2 A 1 3 2 13,S  5 1 2 2 S A A 1 S 4 3 S 2  2 3 6 S 5 2 1 3 14,S  S 3 2 1 A 1 O  （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 的长； 10 （3）求出S2+ S2+ S2+…+ S 2的值. 1 2 3 10 【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8 个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【例6-2】在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是 一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算 8×9 和 6×7 的两个示例． （ 1 ） 用 法 国 “ 小 九 九 ” 计 算 7×8 ， 左 、 右 手 依 次 伸 出 手 指 的 个 数 是 多 少 ？ （2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？ 【例6-3】探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物 体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过 一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个 3的倍数的数，先把这个数的 每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…， 重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过 认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（ ） A．363 B．153 C．159 D．456n n 【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第 个图形是由 个正方形组成的，通过观察可以发现： n 1 n  2 n 3 n  4 （1）第四个图形中火柴棒的根数是 ； n （2）第 个图形中火柴棒的根数是 . 【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当 m n m n 按顺序从第 个数到第 个数（ ＜ ）时，共数了 个数。