第01讲中考热点实数（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料

第 01 讲 中考热点实数（知识精讲） 【宋老师温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计 有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到 位 为准。但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综 合实数模块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点 的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注 到基础概念的准确深入的理解 ，而不是死记硬背知识点。 【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开 方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本 性质； 3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识导图】 【考点梳理】考点一：实数的分类 1.按定义分类：   正整数      自然数   整数 零        有理数  负整数 有限小数或无限循环小数    实数   正分数  分数    负分数       正无理数 无理数 无限不循环小数      负无理数 2.按性质符号分类：   正整数   正有理数   正实数  正分数   正无理数    实数 零    负整数  负有理数   负实数  负分数      负无理数 m 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 n （m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释： 常见的无理数有以下几种形式：   、 2 4 （1）字母型：如π是无理数， 等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数； 2、 5、3 6， （3）根式型： …都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等. 考点二:实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；  （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0. 2.绝对值 （1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． a (a0)  a 0 (a0)  可用式子表示为： a (a0) （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对 值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 要点诠释： a  a, a 0； a  -a, a 0； a-b 若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离. 3.倒数 1 a(a  0) a （1)实数 的倒数是 ；0没有倒数；  ab 1 （2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 . 4.平方根 （1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有  a 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 ． a （2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 考点三:实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四:实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0ab，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b  a  b ； 174 4 15 或利用倒数转化：如比较 与 . 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五；实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的 符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同0相加，仍得这个 数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时， 积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 n （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．1 a0 1(a≠0)， ap  (a≠0). ap （3)零指数与负指数 要点诠释： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果 有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． 考点六：有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是 0的数 字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1） 精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10n（其中1≤ ＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： a n （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为正整数，其值 等于原数中整数部分的数位减去1； a n （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为负整数，其值 等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【典型例题】 题型一、实数的有关概念 1  【例1-1】（1）a的相反数是 5，则a的倒数是_______． (a＋b)2 （2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 =______． b 0 a （3）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________． 【答案】（1）5 ； （2）-a-b； （3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个 数 要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算. （2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的 数的性质符号. a 0， b 0， |a||b|， ab0，  (ab)2 |ab| (ab)  ab. 由图知：3）考查科学记数法的概念. 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 2  3 3 2 4 【例1-2】．在实数－ ，0， ，－3.14， ， ，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个 0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C；  3 2 【解析】在上面所给的实数中，只有 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有 理数，故选C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无 4 限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 =2是有理数，关键在 于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无 理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理  数． 2 是无理数，而不是分数． 【变式1】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到 8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ） A．8.55×106 B．8.55×107 C．8.55×108 D．8.55×109 【答案】C. 【变式2】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______， 绝对值等于它本身的数是______． 【答案】±1；0；非负数. 题型二：实数的分类与计算 22   0  2 2  7 7 3 9 8 【例2-1】下列实数 、sin60°、 、 、3.14159、- 、 、 中无理数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C.  3 8 【解析】无理数有sin60°、 、 .【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断． π 12 3.14, 8, 4,( 32)0, ,cos30, , 【变式】在 2 tan45, 7 0.1010010001,51, 3%,0.31 中， 哪些是有理数? 哪些是无理数? 12 , 3.14, 4,( 32)0, tan45, 7 51, 3%,0.31 【答案】 都是有理数； π 8, ,cos30, 2 0.1010010001, 都是无理数. 1 (－1)2001 ( )－2( 3)0－|－2| 【例2-2】．计算：计算： 2 ． 【答案与解析】 1 (－1)2001 ( )－2 ( 3)0－|－2| 2  1412 1 【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握 各自的意义，就能正确的进行运算． 22  (3)2 (π3.14)0  8sin45. 【变式1】计算： 17 － 4 【答案】 ； 20012002200320041 【变式2】计算： n(n1)(n2)(n3)1 【答案】设n=2001，则原式= 2 2  (n 3n)(n 3n2)1 （把n2+3n看作一个整体） 2 2 2 (n 3n) 2(n 3n)1 = =n2+3n+1 =n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.1 2 3 4  , , , 【例2-3】 (1)有一列数 2 5 10 17 ，…，那么依此规律，第7个数是______； 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 a    ,a    ,a    ,   ,, （2）已知 1 123 2 3 2 234 3 8 3 345 4 15 a 4  456 5 24 a  依据上述规律，则 99 ． 7 100 － 【答案】(1) 50 ； （2）9999. 【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分 7 － 50 子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是 . 1 1 100   . a  99100101 100 9999 （2） 99 n (－1)n  【点评】(1) 规律： n2 1（n为正整数）； 1 1 n1   n(n1)(n2) n1 n(n2) （2）规律： （n为正整数）. 1 1 1 【变式】a是不为1的有理数，我们把1a称为a的差倒数．如：2的差倒数是12 ，1的差倒数 1 1 1  a  是 1(1) 2 ．已知 1 3， a 2是 a 1的差倒数， a 3是 a 2的差倒数， a 4是 a 3的差倒数，…，依此类 a  推，则 2009 ． 1 3 1 a  . , a  . 4, 1 2 1 4 3 3 1 1 a  1( ) 1 a  .  , 【答案】因为 1 3 3 4 4 14 3 ， 1 3 1 1 3 a  . , a  . 4, a   . 5 1 4 6 3 2 1 4 1( ) 1 1( ) 3 4 ……..三个一循环，因此 a 2009  3题型三：实数大小的比较 【例3-1】比较下列每组数的大小： 1 （1） 174 与 4 15 （2）a与a （a≠0） 1 1 17 4  0 4 15  0 17 4 4 15 【答案与解析】（1） ， ， 17 4 4 15 而 与 可以很容易进行比较得到： 17 4  4 15 0 ， 17 4 4 15 所以 ； 1 （2）当a<-1或O1时，a>a ； 1 当a=1时，a=a . 【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比 较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有 倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们 1 还可以利用函数图象来解决这个问题，把 a 的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正 比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小. 【变式】比较下列每组数的大小： 17 11   （1） 8 和 5 （2） 2 5 和 32 【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 17 85 11 88 17 11    8 40 5 40 8 5 ， ， ， 17 11    8 5 所以 . 2 2  5 72 10 7 40， （2）  2 32 74 3 7 48， 40  48 因为 ， 2  5  32 所以 . 2007 2008 a b 【例3-2】若 2008， 2009 ，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． 20072009 (20081)(20081) 20082 12 20082    【答案与解析】a=20082009 20082009 20082009，b 20082009， 20082 12 20082 ，∴ a