第01讲中考热点实数（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料

第 01 讲 中考热点实数（知识精讲）
【宋老师温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计
有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到
位 为准。但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综
合实数模块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点
的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注
到基础概念的准确深入的理解 ，而不是死记硬背知识点。
【考纲要求】
1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；
2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开
方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本
性质；
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.
【知识导图】
【考点梳理】考点一：实数的分类
1.按定义分类：
  正整数 
    自然数
  整数 零  
   

有理数

负整数 有限小数或无限循环小数
  
实数   正分数 
分数
   负分数 
   

正无理数
无理数 无限不循环小数
 

 
负无理数
2.按性质符号分类：
  正整数
  正有理数 

正实数

正分数
 
正无理数



实数 零


 负整数

负有理数
 
负实数

负分数


   负无理数
m
有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 n （m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．
无理数：无限不循环小数叫无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
要点诠释：
常见的无理数有以下几种形式：
 
、
2 4
（1）字母型：如π是无理数， 等都是无理数，而不是分数；
（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
2、 5、3 6，
（3）根式型： …都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
考点二:实数的相关概念
1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；
（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；

（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.
2.绝对值
（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
a (a0)

a 0 (a0)

可用式子表示为：
a (a0)
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对
值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．
用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．
要点诠释：
a  a, a 0； a  -a, a 0； a-b
若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
3.倒数
1
a(a  0) a
（1)实数 的倒数是 ；0没有倒数；
 ab 1
（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .
4.平方根
（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有
 a
一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 ．
a
（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ．
5.立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．
考点三:实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
要点诠释：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.
（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四:实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.
4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.
5.无理数的比较大小：
利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b  a  b ；
174 4 15
或利用倒数转化：如比较 与 .
要点诠释：
实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，
绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.
考点五；实数的运算
1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的
符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同0相加，仍得这个
数．
满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．
2.减法
减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，
积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律
a(b+c)=ab+ac．
4.除法
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．
5.乘方与开方
n
（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n个a相乘.
正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．1
a0 1(a≠0)， ap  (a≠0).
ap
（3)零指数与负指数
要点诠释：
加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果
有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．
考点六：有效数字和科学记数法
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是 0的数
字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）
精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.
把一个数用±a×10n（其中1≤ ＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．
要点诠释：
a
n
（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为正整数，其值
等于原数中整数部分的数位减去1；
a
n
（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10 ，其中1≤ ＜10，n为负整数，其值
等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
【典型例题】
题型一、实数的有关概念
1

【例1-1】（1）a的相反数是 5，则a的倒数是_______．
(a＋b)2
（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 =______．
b 0 a
（3）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．
【答案】（1）5 ； （2）-a-b； （3）1.02×107亩.
【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个
数
要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.
（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的
数的性质符号.
a 0， b 0， |a||b|， ab0，  (ab)2 |ab| (ab)  ab.
由图知：3）考查科学记数法的概念.
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．
2 
3 3 2 4
【例1-2】．在实数－ ，0， ，－3.14， ， ，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个
0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C；

3 2
【解析】在上面所给的实数中，只有 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有
理数，故选C.
【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无
4
限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 =2是有理数，关键在
于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无
理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理

数． 2 是无理数，而不是分数．
【变式1】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到
8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.55×106 B．8.55×107 C．8.55×108 D．8.55×109
【答案】C.
【变式2】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，
绝对值等于它本身的数是______．
【答案】±1；0；非负数.
题型二：实数的分类与计算
22 
 0  2
2  7
7 3 9 8
【例2-1】下列实数 、sin60°、 、 、3.14159、- 、 、 中无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.

3 8
【解析】无理数有sin60°、 、 .【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
π 12
3.14, 8, 4,( 32)0, ,cos30, ,
【变式】在 2 tan45, 7 0.1010010001,51, 3%,0.31 中，
哪些是有理数? 哪些是无理数?
12
,
3.14, 4,( 32)0, tan45, 7 51, 3%,0.31
【答案】 都是有理数；
π
8, ,cos30,
2 0.1010010001, 都是无理数.
1
(－1)2001 ( )－2( 3)0－|－2|
【例2-2】．计算：计算： 2 ．
【答案与解析】
1
(－1)2001 ( )－2 ( 3)0－|－2|
2
 1412
1
【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握
各自的意义，就能正确的进行运算．
22  (3)2 (π3.14)0  8sin45.
【变式1】计算：
17
－
4
【答案】 ；
20012002200320041
【变式2】计算：
n(n1)(n2)(n3)1
【答案】设n=2001，则原式=
2 2
 (n 3n)(n 3n2)1
（把n2+3n看作一个整体）
2 2 2
(n 3n) 2(n 3n)1
=
=n2+3n+1
=n(n+3)+1
=2001×2004+1
=4010005.1 2 3 4
 , , ,
【例2-3】 (1)有一列数 2 5 10 17 ，…，那么依此规律，第7个数是______；
1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5
a    ,a    ,a    ,   ,,
（2）已知 1 123 2 3 2 234 3 8 3 345 4 15 a 4  456 5 24
a 
依据上述规律，则 99 ．
7
100
－
【答案】(1) 50 ； （2）9999.
【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分
7
－
50
子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是 .
1 1 100
  .
a  99100101 100 9999
（2） 99
n
(－1)n 
【点评】(1) 规律： n2 1（n为正整数）；
1 1 n1
 
n(n1)(n2) n1 n(n2)
（2）规律： （n为正整数）.
1 1
1
【变式】a是不为1的有理数，我们把1a称为a的差倒数．如：2的差倒数是12 ，1的差倒数
1 1 1
 a 
是 1(1) 2 ．已知 1 3， a 2是 a 1的差倒数， a 3是 a 2的差倒数， a 4是 a 3的差倒数，…，依此类
a 
推，则 2009 ．
1 3 1
a  . , a  . 4,
1 2 1 4 3 3 1 1
a  1( ) 1 a  .  ,
【答案】因为 1 3 3 4 4 14 3
，
1 3 1 1 3
a  . , a  . 4, a   .
5 1 4 6 3 2 1 4
1( ) 1 1( )
3 4 ……..三个一循环，因此 a 2009  3题型三：实数大小的比较
【例3-1】比较下列每组数的大小：
1
（1） 174 与 4 15 （2）a与a （a≠0）
1 1
17 4  0 4 15  0
17 4 4 15
【答案与解析】（1） ， ，
17 4 4 15
而 与 可以很容易进行比较得到：
17 4  4 15 0
，
17 4 4 15
所以 ；
1
（2）当a<-1或O<a<1时，a<a ；
1
当-1<a<0或a>1时，a>a ；
1
当a=1时，a=a .
【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比
较；
（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有
倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们
1
还可以利用函数图象来解决这个问题，把 a 的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正
比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.
【变式】比较下列每组数的大小：
17 11
 
（1） 8 和 5 （2） 2 5 和 32
【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，
17 85 11 88 17 11
  
8 40 5 40 8 5
， ， ，
17 11
  
8 5
所以 . 2
2  5 72 10 7 40，
（2）
 2
32 74 3 7 48，
40  48
因为 ，
2  5  32
所以 .
2007 2008
a b
【例3-2】若 2008， 2009 ，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．
20072009 (20081)(20081) 20082 12 20082
  
【答案与解析】a=20082009 20082009 20082009，b 20082009，
20082 12 20082
，∴ a<b．
【点评】通过通分进行比较.
b0
【变式】当 时，比较1＋b与1的大小.
【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b＜0．
当b＞0时，1＋b＞1，
当b＜0时，1＋b＜1.
题型四：平方根的应用
3x4  y2 6y9 0
【例4-1】已知：x ，y是实数， ，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.
1
4
【答案】 .
3x4  y2 6y9 0 3x4 (y 3)2 0
【解析】 ，即
两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，
4

∴ 3x4 0 ，(y-3)2=0， ∴ x= 3 ， y=3
4
3( )3
3x y 3 1
 
xy 4 4
 3
3
又∵axy-3x=y， ∴ a= .
【点评】此题考查的是非负数的性质.1
a  2b1(c2)2  0
3 abc
【例4-2】已知 ，求 的值.
1 1
a a  2b1(c2)2  0
3 2b1 (c2)2 3
【答案与解析】∵ ≥0， ≥0， ≥0， .
 1
a  
 1  3
a  0 

3  1
 b  
2b10 2


c20 c  2 1
  abc ( )1  3
  3
∴ 解得 则 .
a a a2n n
【点评】利用 ≥0， ≥0， ≥0（ 为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，
a b c
得一个三元一次方程组，解得 、 、 的值，代入后本题得以解决。
3x4
【变式】已知x、y是实数，且 +（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（ ）
1 1 7 7
4 4 4 4
A． B．－ C． D．－
4
【答案】A. ∵ 3x4 +（y－3）2=0， ∴3x+4=0，y－3=0， ∴x=－ 3 ，y=3．
4 4 1
3 3 4
∵axy－3x=y，∴－ ×3a－3×（－ ）=3， ∴a= ∴答案选A.
题型五：实数运算中的规律探索
【例6-1】细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题
 2 1
1 12,S 
1 2 A
4 1 A
 2 2 A 1 3
2 13,S  5 1
2 2 S A
A 1 S 4 3 S 2
 2 3 6 S 5 2 1
3 14,S  S
3 2 1 A
1
O

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA 的长；
10（3）求出S2+ S2+ S2+…+ S 2的值.
1 2 3 10
【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，
 2 n
n 1n1,S 
n
2
（2）因为OA= 1，OA= 2 ，OA= 3 …，
1 2 3
10
所以OA =
10
（3）S2+ S2+ S2+…+ S 2
1 2 3 10
1 2 3 10
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
= 2 2 2 2
1
(12310)
=4
55
= 4 .
【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字
的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认
真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.
【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8
个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．
9
【答案】2 （512）.
【例6-2】在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是
一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算 8×9 和 6×7 的两个示例．（ 1 ） 用 法 国 “ 小 九 九 ” 计 算 7×8 ， 左 、 右 手 依 次 伸 出 手 指 的 个 数 是 多 少 ？
（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？
【答案与解析】
（1）按照题中示例可知：要计算 7×8，左手应伸出 7-5=2 个手指，右手应伸出 8-5=3 个手指；
（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；
右 手 应 伸 出 （ b-5 ） 个 手 指 ， 未 伸 出 的 手 指 数 为 5- （ b-5 ） =10-b
两 手 伸 出 的 手 指 数 的 和 为 （ a-5 ） + （ b-5 ） =a+b-10 ，
未 伸 出 的 手 指 数 的 积 为 （ 10-a ） × （ 10-b ） =100-10a-10b+a×b
根 据 题 中 的 规 则 ， a×b 的 结 果 为 10× （ a+b-10 ） + （ 100-10a-10b+a×b ）
而 10× （ a+b-10 ） + （ 100-10a-10b+a×b ） =10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b
所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．
【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关
系．
【例6-3】探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物
体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过
一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个 3的倍数的数，先把这个数的
每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，
重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过
认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（ ）
A．363 B．153 C．159 D．456
【答案】B；
【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第
五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；
开始重复，则T=153．故选B．【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的
黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到
153；开始重复，则可知T=153．
n n
【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第 个图形是由 个正方形组成的，通过观察可以发现：
n 1 n  2 n 3 n  4
（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；
n
（2）第 个图形中火柴棒的根数是 .
3n1
【答案】（1）13；（2） .
【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当
m n m n
按顺序从第 个数到第 个数（ ＜ ）时，共数了 个数。
(nm1)
【答案】5； .