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第 01 讲 中考热点实数【挑战中考满分模拟练】
【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有 45个
考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位 为准。
但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模
块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运
用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到 基础概
念的准确深入的理解 ，而不是死记硬背知识点。
一．数轴（共4小题）
1．（2022•青县一模）如图，数轴上﹣6，﹣3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分
别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代
表的数可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2.5 D．3
2．（2022•镇海区校级模拟）数轴上某一个点表示的数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022•新河县一模）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点 A和点B刚好
对着直尺上的刻度2和刻度8．
（1）写出点A和点B表示的数；
（2）写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
（3）在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点对称的点表示的数．
4．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点 A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．
（1）如果规定向右为正方向；
①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝ ；
②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明
原点每向右移动1cm，p值将如何变化？
③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向 方向移动 cm；
④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝ ．
（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是 .
二．绝对值（共2小题）
5．（2022•鹤山市一模）下列两个数中，互为相反数的是（ ）
A．+2和﹣2 B．2和 C．2和 D．+2和|﹣2|
6．（2022•零陵区二模）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的
元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不
变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合 ，若
A＝B，则x﹣y的值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
三．倒数（共2小题）
7．（2022•秦淮区二模）﹣ 的相反数是 ，﹣ 的倒数是 ．
8．（2022•市中区二模） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
四．有理数大小比较（共1小题）
9．（2022•市中区校级模拟）若a，b在数轴上表示如图所示，那么（ ）
A．a＜b B．a﹣b＜0 C．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） D．|b﹣a|＝a﹣b五．有理数的加法（共1小题）
10．（2022•丽水二模）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、
每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a﹣b的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
六．有理数的加减混合运算（共1小题）
11．（2022•河北二模）请根据图示的对话解答下列问题．
求：（1）a，b的值；
（2）8﹣a+b﹣c的值．
七．有理数的乘方（共3小题）
12．（2022•江津区一模）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝
log N．例如：因为72＝49，所以log 49＝2；因为53＝125，所以log 125＝3．下列说法正确的序号有（
a 7 5
）
①log 6＝36；②log 81＝4；③若log （a+14）＝2，则a＝2；④log 64＝log 32+log 2
6 3 4 2 2 2
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
13．（2022•景县校级模拟）一根1米长的小棒，第一次截去它的 ，第二次截去剩下的 ，第三次再截去
剩下的 ，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）A．（ ）5米 B．[1﹣（ ）5]米 C．（ ）5米 D．[1﹣（ ）5]米
14．（2022•西城区校级模拟）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为
10100，AB＝BC＝CD＝DE，则数1099所对应的点在线段（ ）上．
A．AB B．BC C．CD D．DE
八．有理数的混合运算（共12小题）
15．（2022•石景山区一模）如图，某建筑公司有 A（1，3），B（3，3），C（5，3）三个建筑工地，三
个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M（1，5），N（3，1）两个原料库供应水泥．使用一
辆载重量大于（a+b+c）吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行
运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有（a+c）吨的
运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原
料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有（a+b+c）吨的运输车向A，B，
C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c＝3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地
运送水泥的顺序 （按运送的先后顺序依次排列即可）．
16．（2022•利州区校级模拟）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．
则下列结论：
①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；
②[x]+[﹣x]＝0；
③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．
其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．17．（2022•路南区二模）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输
入“b”，就可以得到运算a★b＝|2﹣a2|﹣ +1．
（1）按此程序（﹣3）★2＝ ；
（2）若淇淇输入数“﹣1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；
（3）嘉嘉同学运用淇淇设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么
地方出错了吗？
18．（2022•藁城区二模）定义新运算：f（a，b）＝ ，如f（5，3）＝52﹣32＝16，f
（3，5）＝（3﹣5）2＝4，
（1）求： 的值．
（2）计算：f（x，2x）．
19．（2022•路桥区一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年 2000
亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油
菜．
（1）求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
（2）该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁 3
台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理
由．20．（2022•桑植县模拟）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②＝ ；（﹣ ）③＝ ；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方
运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（ ）⑥
＝ ．
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑥﹣（﹣ ）⑥÷33．21．（2022•定远县模拟）探究规律，完成下列题目．
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：
（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；
（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；
0❈（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）❈0＝|﹣6|＝6．
小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也看明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
①两数进行❈（加乘）运算时， ．
②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算， ．
（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣3）]＝ ．（括号的作用同在有理数运算中的作用）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验
证．（举一个例子即可）
22．（2022•东兴区校级二模）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣ ）④＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（ ）⑥
＝ ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ ．
（5）算一算： ＝ ．
23．（2022•广西模拟）计算：（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]．
24．（2022•桥西区校级模拟）对于四个数“﹣6，﹣2，1，4”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：
（1）求这四个数的和；
（2）在这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得：
①“□﹣□”的结果最小；
②“□×□”的结果最大．
（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个
数．25．（2022•镇海区校级模拟）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，
（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为 ．
26．（2022•沙坪坝区校级模拟）对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字
均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数m'，令 ，若F（m）为正整数，则称
m为“三中全会”数．例如：对于 8212，2+1＝3，F（8212）＝ ＝18，∵18是正整数，
∴8212是“三中全会”数；对于3216，2+1＝3，F（3216）＝ ＝﹣9，∵﹣9不是正整数，
∴3216不是“三中全会”数．
（1）请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由；
（2）对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与 m的
百位、十位和个位上的数字之和记为G（m），若 是整数，则称m为“南开全对”数，请求出
所有“南开全对”数．
九．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
27．（2022•瑞金市模拟）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．
去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为 ．
28．（2022•沂源县二模）据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应
为 ．
一十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
29．（2022•莘县二模）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒
一十一．用数字表示事件（共2小题）
30．（2022•阿荣旗二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生
后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
31．（2022•随县一模）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数
的方法：如图，将个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位…的数按横式的
数码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式54﹣23＝31，34
﹣3＝31，则图2所示的图形表示的等式为 ．（写出一个即可）
一十二．平方根（共2小题）
32．（2022•易县二模）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝ ，这个正数是 ．
33．（2022•贵阳模拟）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为 ．
一十三．算术平方根（共2小题）
34．（2022•雨花区模拟）面积为2的正方形的边长为 ．35．（2022•东明县三模）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是16时，则输出的数是 ．
一十四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
36．（2022•佛山二模）已知a、b、c都是实数，若 +|2b+ |+（c+2a）2＝0，则 ＝ ．
一十五．无理数（共1小题）
37．（2022•河南模拟）写一个大于﹣2小于﹣1的无理数 ．
一十六．实数与数轴（共1小题）
38．（2022•城厢区校级一模）实数 a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是
（ ）
A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
一十七．实数大小比较（共1小题）
39．（2022•桂平市二模）在下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
一十八．估算无理数的大小（共2小题）
40．（2022•沙坪坝区校级模拟）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
41 ． （ 2022• 鄂 州 一 模 ） 若 三 个 实 数 x ， y ， z 满 足 xyz≠ 0 ， 且 x+y+z ＝ 0 ， 则 有 ：
（结论不需要证明）．
例如： ．
根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】
（1）求 的值．
【能力提升】
（2）设 ，求S的整数部分．
【拓展升华】
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．当 取得最小
值时，求x的取值范围．
一十九．实数的运算（共12小题）
42．（2022•盐池县二模）计算： ﹣tan60°﹣| ﹣2|＝ ．
43．（2022•秦淮区一模）计算（ ）0＝ ，2﹣1＝ ．
44．（2022•西平县模拟）（﹣2）0+ ＝ ．
45．（2022•定远县二模） + ﹣ ＝ ．
46．（2022•鱼峰区模拟）计算：|﹣2022|+（﹣5）0﹣ ．
47．（2022•沈北新区二模）计算：| ﹣ |+2sin60°+（ ）﹣1﹣ ．48．（2022•北京二模）计算：| ﹣1|﹣2sin45°﹣tan60°+（ ﹣2）0．
π
49．（2022•碑林区校级模拟）计算： ．
50．（2022•灞桥区校级模拟）计算：（ ﹣5）0×（ ）﹣1+tan45°+22×（﹣1）2022．
π
51．（2022•湖里区校级模拟）计算： ．
52．（2022•常熟市模拟）计算： ﹣|1﹣ |﹣3tan30°．
53．（2022•桥西区校级模拟）已知*表示+，﹣，x，÷四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的
实数a，b满足以下关系式：a*b＝b*a，（﹣a）*b≠﹣（a*b）．
（1）﹣5*3＝ ．（2）a的倒数和绝对值都是a本身，求[a*（﹣6）]*（﹣1）的值．
