文档内容
第 01 讲 中考热点实数【挑战中考满分模拟练】
【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有 45个
考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位 为准。
但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模
块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运
用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到 基础概
念的准确深入的理解 ，而不是死记硬背知识点。
一．数轴（共4小题）
1．（2022•青县一模）如图，数轴上﹣6，﹣3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分
别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的
数可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2.5 D．3
【分析】利用两点间的距离，三边关系，推出第三边条的取值范围即可．
【解答】解：可设B表示的数为x，x＞0，
则BN＝6﹣x，AB＝x﹣（﹣3）＝x+3，
∵△ABC中，AC＝AM＝﹣3﹣（﹣6）＝3；BC＝BN＝6﹣x，
∴AC+BC＞AB，
∴3+6﹣x＞x+3，
∴0＜x＜3，
故选：C．
【点评】本题考查的数轴上的点表示的数，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
2．（2022•镇海区校级模拟）数轴上某一个点表示的数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用比a小的数表示为b＝a﹣4，代入式子计算即可．
【解答】解：∵b＝a﹣4，
∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣4|，
表示的是a到0和4的距离的和，所以当a在0和4之间时，有最小值4．
故选：B．
【点评】本题考查的是绝对的和的最小值问题，解题的关键是把原式化成一个数到两个已知数的最小值问
题．
3．（2022•新河县一模）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点 A和点B刚好
对着直尺上的刻度2和刻度8．
（1）写出点A和点B表示的数；
（2）写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
（3）在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点对称的点表示的数．
【分析】（1）利用AB间的距离和A、B互为相反数求值即可；
（2）利用两点间的距离计算即可；
（3）利用两点间的距离计算即可．
【解答】解：（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，
∴AB＝8﹣2＝6，
∵A，B在数轴上互为相反数且A在左，B在右，
∴A表示﹣3，B表示3；
（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，
∴C表示的数为3﹣9.5＝﹣6.5；
（3）因为点D到A的距离为2，
所以点D表示的数为﹣1和﹣5．
因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为﹣1和7．
综上，点D表示的数为﹣1．
所以点D关于原点对称的点表示的数为1．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离是表示两个点的数差的绝
对值，或用右边的数减去左边的数．
4．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点 A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．
以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．
（1）如果规定向右为正方向；①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝ ﹣ 5 ；
②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点
每向右移动1cm，p值将如何变化？
③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向 左 方向移动 2 3 cm；
④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝ ．
（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是 5 .
【分析】（1）①建立数轴，确定原点，找到各点表示的数，相加即可；
②同①，确定原点，找到各数即可；
③同①，先设原点，表示各数，相加和为64，从而确定出原点即可；
④单位长度为ncm，相当于把①中的单位长度除以n即可；
（2）确定原点，表示各数，相加即可．
【解答】解：（1）①BC中点为原点O，
则C表示的数是1，B表示的数为﹣1，A表示的数为﹣5，
∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，
故答案为：﹣5；
②∵CO＝30cm，
∴C表示的数是﹣30，B表示的数是﹣32，A表示的数是﹣36，
∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，
原点出右移1cm，
则各点表示的数就﹣1，
所以和就减少3，
即p值减少3；
③根据②可知，原点向右平移1cm，p就减少3；
原点向左平移1cm，p就增加3，
∵p值是64，相对增加，
∴可设左移xcm，得，
﹣5+3x＝64，
∴x＝23，
故答案为：左；23；④单位长度除以n，则表示的数除以n，
所以和除以n，
即p＝ ；
故答案为： ；
（2）∵A点表示的数为﹣1，
∴A点在原点左侧1cm处，
∵AB＝4cm，BC＝2cm，
∴C点到原点的距离为4﹣1+2＝5，
∴C点表示的数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了数轴上表示实数的方法，解题的关键是确定原点，计算点到原点的距离．
二．绝对值（共2小题）
5．（2022•鹤山市一模）下列两个数中，互为相反数的是（ ）
A．+2和﹣2 B．2和 C．2和 D．+2和|﹣2|
【分析】根据相反数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵+2的相反数是﹣2，故本选项符合题意；
B、∵2的相反数是﹣2，∴﹣2与﹣ 不是互为相反数，故本选项不符合题意；
C、∵2的相反数是﹣2，∴2与 不是互为相反数，故本选项不符合题意；
D、∵+2的相反数是﹣2，|﹣2|＝2，∴2与|﹣2|不互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的性质，熟知相反数的定义、算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键．
6．（2022•零陵区二模）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的
元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．
若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合 ，若A＝B，则
x﹣y的值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有 ＝0，从而得出别两种情况．讨论后即可得解．
【解答】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．
因为B＝{ }，A＝B，
由x≠0，可得|x|≠0， ≠0，
所以 ，即y＝0，
那么就有 或者 ，
当 得x＝ ，
当 无解．
所以当x＝ 时，A＝{2，0， }，B＝{2， ，0}，
此时A＝B符合题意．
所以x﹣y＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．
三．倒数（共2小题）
7．（2022•秦淮区二模）﹣ 的相反数是 ，﹣ 的倒数是 ﹣ 3 ．
【分析】根据相反数和倒数的定义分别进行解答即可得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ；
﹣ 的倒数是﹣3；
故答案为： ，﹣3．
【点评】此题考查了相反数和倒数，掌握相反数和倒数的定义是解题的关键；只有符号不同的两个数互为相反数；乘积是1的两个数互为倒数．
8．（2022•市中区二模） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．倒数的定义：一个数与另一个数相乘，所得的积为 1，那么这两
个数互为倒数．
【解答】解： 的倒数是 ．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．
四．有理数大小比较（共1小题）
9．（2022•市中区校级模拟）若a，b在数轴上表示如图所示，那么（ ）
A．a＜b B．a﹣b＜0 C．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） D．|b﹣a|＝a﹣b
【分析】从数轴可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，再逐个判断即可．
【解答】解：从数轴可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
A、a＞b，故本选项错误；
B、a﹣b＞0，故本选项错误；
C、|a﹣b|＝a﹣b，﹣（a﹣b）＝b﹣a，
故本选项错误；
D、|b﹣a|＝﹣（b﹣a）＝a﹣b，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
五．有理数的加法（共1小题）
10．（2022•丽水二模）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、
每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a﹣b的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：根据幻方的性质，
则a+9＝8+5，
所以a＝4，
而a+8＝5+b，
则b＝7，
故a﹣b＝4﹣7＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得 a、
b，最后是有理数的加法．
六．有理数的加减混合运算（共1小题）
11．（2022•河北二模）请根据图示的对话解答下列问题．
求：（1）a，b的值；
（2）8﹣a+b﹣c的值．
【分析】（1）根据相反数和绝对值求出a、b即可；
（2）求出c的值，分别代入求出即可．
【解答】解：（1）∵a的相反数是3，b的绝对值是7，
∴a＝﹣3，b＝±7；
（2）∵a＝﹣3，b＝±7，c和b的和是﹣8，
∴当b＝7时，c＝﹣15，
当b＝﹣7时，c＝﹣1，
当a＝﹣3，b＝7，c＝﹣15时，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+7﹣（﹣15）＝33；
当a＝﹣3，b＝﹣7，c＝﹣1时，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（﹣1）＝5．
【点评】本题考查了有理数的加减，相反数，绝对值的应用，能求出b、c的值是解此题的关键．
七．有理数的乘方（共3小题）12．（2022•江津区一模）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝
log N．例如：因为72＝49，所以log 49＝2；因为53＝125，所以log 125＝3．下列说法正确的序号有（
a 7 5
）
①log 6＝36；②log 81＝4；③若log （a+14）＝2，则a＝2；④log 64＝log 32+log 2
6 3 4 2 2 2
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【分析】根据对数与幂的关系判断．
【解答】解：∵61＝6．
∴log 6＝1．
6
∴①错误．
∵34＝81．
∴log 81＝4．
3
∴②正确．
∵log （a+14）＝2．
4
∴a+14＝42．
∴a＝2．
∴③正确．
∵log 64＝6，log 32＝5，log 2＝1．
2 2 2
∴④正确．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算，找到对数与幂的关系是求解本题的关键．
13．（2022•景县校级模拟）一根1米长的小棒，第一次截去它的 ，第二次截去剩下的 ，第三次再截去
剩下的 ，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）
A．（ ）5米 B．[1﹣（ ）5]米 C．（ ）5米 D．[1﹣（ ）5]米
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次截去后剩下的木棒长 （ ）2米，以此类推第n次截去后剩
下的木棒长 （ ）n米．
【解答】解：将n＝5代入即可，第5次截去后剩下的木棒长（ ）5米．
故选：C．
【点评】本题考查了乘方的意义．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇
数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；解题还要掌握乘方的运算法则．
14．（2022•西城区校级模拟）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为
10100，AB＝BC＝CD＝DE，则数1099所对应的点在线段（ ）上．
A．AB B．BC C．CD D．DE
【分析】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与1099﹣10进行比较即可．
【解答】解：∵A点表示数为10，E点表示的数为10100，
∴AE＝10100﹣10，
∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴AB＝ AE＝ （10100﹣10），
∴E点表示的数为＝ （10100﹣10）﹣10，
∵＝ （10100﹣10）﹣10﹣1099
＝ ×1099﹣ ＞0，
∴ （10100﹣10）﹣10＞0，
∴数1099所对应的点在B点左侧，
∴数1099所对应的点在AB点之间，
故选：A．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出 1099﹣10的大小
是得出正确答案的关键．
八．有理数的混合运算（共12小题）
15．（2022•石景山区一模）如图，某建筑公司有A（1，3），B（3，3），C（5，3）三个建筑工地，三
个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M（1，5），N（3，1）两个原料库供应水泥．使用一辆
载重量大于（a+b+c）吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车
向A和C工地运送当日所需的水泥，且 a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从 M 原料库（填
“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有（a+b+c）吨的运输车向A，B，C三个工地运
送当日所需的水泥，且a：b：c＝3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序
N ﹣ B ﹣ A ﹣ C （按运送的先后顺序依次排列即可）．
【分析】通过计算，比较MA+AC与NA+AC的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分
别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵MA＝2，NA＝2 ，AC＝4，
∴MA+AC＜NA+ACM
∴若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千
米数”最小，则应从M料库装运，
故答案为：M；
∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1），
∴NA＝NC＝2 ，NB＝AB＝BC＝2，
∵a：b：c＝3：2：1，
a＝3c，b＝2c．
当按N﹣A﹣B﹣C运输时，总的“吨千米数”为：2 ×6c+2×3c+2c＝（8+12 ）c≈24.97c；
当按N﹣B﹣A﹣C线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4c＝24c；
当按N﹣B﹣C﹣A线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4×3c＝32c，
∵24c＜24.97c＜32c，
∴当按N﹣B﹣A﹣C线路运输时，总的“吨千米数”最小．
故答案为：N﹣B﹣A﹣C．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键．
16．（2022•利州区校级模拟）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．
则下列结论：
①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；
②[x]+[﹣x]＝0；
③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．
其中正确的结论有 ①③ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【解答】解：①[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，正确；
②[x]+[﹣x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0；
③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；
④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，
∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2，
当[x+1]＝0时，则﹣1≤x＜0，所以[﹣x+1]＝1或2，则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2；
当[x+1]＝1时，则0≤x＜1，所以[﹣x+1]＝1或0；则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2；
所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．
17．（2022•路南区二模）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输
入“b”，就可以得到运算a★b＝|2﹣a2|﹣ +1．
（1）按此程序（﹣3）★2＝ 7. 5 ；
（2）若淇淇输入数“﹣1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；
（3）嘉嘉同学运用淇淇设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地
方出错了吗？
【分析】（1）根据新定义，代入代数式求值即可；
（2）根据新定义列出方程求解即可；
（3）根据分式有意义的条件解答．
【解答】解：（1）原式＝|2﹣（﹣3）2|﹣ +1＝|2﹣9|﹣ +1
＝7﹣ +1
＝7.5，
故答案为：7.5；
（2）根据题意得：|2﹣（﹣1）2|﹣ +1＝1，
解得：x＝1；
（3）嘉嘉输入的第二个数为0，导致 没有意义，
所以该操作无法进行．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，新定义，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
18．（2022•藁城区二模）定义新运算：f（a，b）＝ ，如f（5，3）＝52﹣32＝16，f
（3，5）＝（3﹣5）2＝4，
（1）求： 的值．
（2）计算：f（x，2x）．
【分析】（1）根据新定义的运算进行求解即可；
（2）分两种情况讨论，再结合新定义的运算，从而可求解．
【解答】解：（1）f（﹣ ，﹣ ）
＝（﹣ ）2﹣（﹣ ）2
＝ ﹣
＝﹣ ；
（2）当x＜0时，f（x，2x）＝x2﹣（2x）2＝x2﹣4x2＝﹣3x2；
当x≥0时，f（x，2x）＝（x﹣2x）2＝x2．
故f（x，2x）＝ ．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，函数自变量的取值范围，解题的关键是理解清楚新定义的运算．
19．（2022•路桥区一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年 2000
亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．
（1）求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
（2）该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油
菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
【分析】（1）用油菜种植面积除以收割机的台数，再除以一台收割机每天大约能收割的面积数，列出算
式计算即可求解；
（2）求出8台收割机每天的工作时间延长10%，收割3天的工作量，与收割任务的右边进行比较即可求解．
【解答】解：（1）2000÷5÷40
＝400÷40
＝10（天）．
答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；
（2）该合作社能完成抢收任务．理由如下：
40×（1+10%）×（5+3）×3
＝44×8×3
＝1056（亩），
2000÷2＝1000（亩），
∵1056＞1000，
∴该合作社能完成抢收任务．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟悉工作量，工作效率和工作时间的关系．
20．（2022•桑植县模拟）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算叫做除方，比如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈 4 次方”，一般地把
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②＝ 1 ；（﹣ ）③＝ 1 ；【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ （﹣ ） 3 ，（ ）
⑥＝ 5 4 ．
（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑥﹣（﹣ ）⑥÷33．
【分析】【初步探究】（1）根据题目中的例子，可以计算出所求式子的值；
【深入思考】（2）仿照给出的算式，可以计算出所求式子的值；
（3）根据（2）中的计算过程和有理数的运算法则，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：【初步探究】
（1）2②＝2÷2＝1，（﹣ ）③＝（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
【深入思考】
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ）×
（﹣ ）＝（﹣ ）3，
（ ）⑥＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ＝ ×5×5×5×5×5＝54，
故答案为：（﹣ ）3，54；
（3）122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑥﹣（﹣ ）⑥÷33
＝144÷（﹣3）2×（﹣ ）4﹣（﹣3）4÷27
＝144÷9× ﹣81÷27＝16× ﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问
题．
21．（2022•定远县模拟）探究规律，完成下列题目．
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：
（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；
（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；
0❈（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）❈0＝|﹣6|＝6．
小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也看明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
①两数进行❈（加乘）运算时， 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 ．
②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算， 等于这个数的绝对值 ．
．
（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣3）]＝ ﹣ 5 ．（括号的作用同在有理数运算中的作用）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．
（举一个例子即可）
【分析】（1）①根据题意，可以写出两数进行❈（加乘）运算时的法则；
②根据题目中的式子，可以写出0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算的法
则；
（2）根据（1）中的结果，可以写出所求式子的值；
（3）先判断，然后举出例子即可．
【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．
故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值．
（2）（﹣2）❈[0❈（﹣3）]
＝（﹣2）❈3＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（3）加法交换律在❈（加乘）运算中适用，
如：（﹣2）❈3＝﹣5，3❈（﹣2）＝﹣5
则（﹣2）❈3＝3❈（﹣2）．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
22．（2022•东兴区校级二模）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算叫做除方，比如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）
写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣ ）④＝ 4 ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： C ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如
何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ （﹣ ） 3 ，（ ）
⑥＝ 5 4 ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ （ ） n ﹣ 2 ． ．
（5）算一算： ＝ ﹣ 2 ．【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可；
（2）根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝ ，
（﹣ ）④＝（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）＝1×2×2＝4；
故答案为： ，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝ ，4③＝4÷4÷4＝ ，
∴3④≠4③．
故选：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ）＝（﹣
）3，
（ ）⑥＝（ ）÷（ ）÷（ ）÷（ ）÷（ ）÷（ ）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣ ）3，54；
（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a× × ×…× ＝（ ）n﹣2．
故答案为：（ ）n﹣2．
（5）原式＝＝122÷32×（ ）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（ ）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．【点评】本题考查了新定义运算，掌握圈n次方的意义是解决本题的关键．
23．（2022•广西模拟）计算：（﹣1）3﹣ ×[2﹣（﹣3）2]．
【分析】先算乘方，再算括号里面的减法，再算乘法，最后算减法．
【解答】解：原式＝﹣1﹣ ×（2﹣9）
＝﹣1+
＝ ．
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算的顺序与符号的判定．
24．（2022•桥西区校级模拟）对于四个数“﹣6，﹣2，1，4”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：
（1）求这四个数的和；
（2）在这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得：
①“□﹣□”的结果最小；
②“□×□”的结果最大．
（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数．
【分析】（1）将题目中的数据相加即可解答本题；
（2）①根据题目中的数字，可以写出结果最小的算式；
②根据题目中的数字，可以写出结果最大的算式；
（3）本题答案不唯一，主要符合题意即可．
【解答】解：（1）（﹣6）+（﹣2）+1+4
＝﹣8+1+4
＝﹣7+4
＝﹣3；
（2）由题目中的数字可得，
①（﹣6）﹣4的结果最小；
②（﹣6）×（﹣2）的结果最大；
（3）答案不唯一，符合要求即可．
如：﹣2﹣1×4＝﹣6；﹣6+4÷1＝﹣2；
4﹣（﹣6）÷（﹣2）＝1；（﹣2）×1﹣（﹣6）＝4．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
25．（2022•镇海区校级模拟）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为 5 6 ．
【分析】根据题目中的新定义和（4，8）+（4，7）＝（4，x），可以求得x的值．
【解答】解：设4m＝8，4n＝7，
∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），
∴m+n＝（4，x），
∴4m+n＝x，
∴4m×4n＝x，
∴8×7＝x，
∴x＝56，
故答案为：56．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
26．（2022•沙坪坝区校级模拟）对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字
均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数m'，令 ，若F（m）为正整数，则称m
为“三中全会”数．例如：对于8212，2+1＝3，F（8212）＝ ＝18，∵18是正整数，∴8212
是“三中全会”数；对于3216，2+1＝3，F（3216）＝ ＝﹣9，∵﹣9不是正整数，∴3216不
是“三中全会”数．
（1）请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由；
（2）对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百
位、十位和个位上的数字之和记为G（m），若 是整数，则称m为“南开全对”数，请求出所有
“南开全对”数．
【分析】（1）根据三中全会”数的定义进行判断即可；
（2）由“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字可得到百位数字、十位数字分别为 1，2，则可求
得a＞b，再结合“南开全对”数的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）F（6214）＝ ＝6，
∵6是正整数，
∴6214是“三中全会”数；F（4127）＝ ＝﹣9，
∵﹣9不是正整数，
∴4127不是“三中全会”数；
答：6214是“三中全会”数，4127不是“三中全会”数；
（2）∵对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，
∴其百位数字、十位数字分别为1，2，
设它的千位数字、个位数字分别为a，b（a，b均不为零且小于9），则有：
F（m）＝ ＝3a﹣3b，
且3a﹣3b是正整数，
∴a＞b，
∵去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为G（m），
∴G（m）＝10a+b+1+2+b＝10a+2b+3，
∴ ，
若 是整数，则称m为“南开全对”数，
∵a＞b，a，b均不为零且小于9的整数，
∴b的可能取值为整数1～7，a的可能取值为整数2～8，
当 是整数时，满足条件的a，b有：
， ， ，
当 时，m＝2121，
当 时，m＝4123，
当 时，m＝7124．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的关系．
九．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
27．（2022•瑞金市模拟）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．
去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为 8.2×1 0 6 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8200000用科学记数法表示为8.2×106．
故答案为：8.2×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
28．（2022•沂源县二模）据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应
为 1.09×1 0 6 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将109万用科学记数法表示为1.09×106．
故答案为：1.09×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
一十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
29．（2022•莘县二模）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000
001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
一十一．用数字表示事件（共2小题）
30．（2022•阿荣旗二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后
的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A．84 B．336 C．510 D．1326
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数
×72+十位上的数×7+个位上的数．
【解答】解：1×73+3×72+2×7+6＝510，
故选：C．
【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，
根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生
的思维能力．
31．（2022•随县一模）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数
的方法：如图，将个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位…的数按横式的数
码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式54﹣23＝31，34﹣3＝
31，则图2所示的图形表示的等式为 38 6 ﹣ 27 3 ＝ 11 3 （答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】根据算筹计数的方法，列出算式计算即可求解．
【解答】解：图2所示的图形表示的等式为386﹣273＝113（答案不唯一）．
故答案为：386﹣273＝113（答案不唯一）．
【点评】本题考查了用数字表示事件，有理数的减法，关键是根据题意正确列出算式计算求解．一十二．平方根（共2小题）
32．（2022•易县二模）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝ ﹣ 3 ，这个正数是 1 ．
【分析】根据平方根的定义构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵一个数的平方根是a+4和2a+5，
∴a+4+2a+5＝0，
∴a＝﹣3，
∴这个数的平方根是±1，
这个数是1，
故答案为﹣3，1．
【点评】本题考查平方根的定义、一元一次方程等知识，解题的关键是记住平方根的定义，学会构建方程
解决问题．
33．（2022•贵阳模拟）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为 8 1 或 9 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3﹣a+2a+3＝0，a＝﹣6，或3﹣a＝2a+3，解得a＝
0，继而得出答案
【解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴3﹣a+2a+3＝0．
解得：a＝﹣6
∴3﹣（﹣6）＝3+6＝9．
∵92＝81，
∴这个数为81．
或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，
∴这个数是9，
故答案为：81或9．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
一十三．算术平方根（共2小题）
34．（2022•雨花区模拟）面积为2的正方形的边长为 ．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：面积为2的正方形的边长为 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根．35．（2022•东明县三模）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是16时，则输出的数是 ．
【分析】把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【解答】解：
∵ ＝4，4是有理数，
∴继续转换，
∵ ＝2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是 ，是无理数，
∴符合题意，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解
题的关键，注意有理数和无理数的区别．
一十四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
36．（2022•佛山二模）已知a、b、c都是实数，若 +|2b+ |+（c+2a）2＝0，则 ＝ 1 ．
【分析】利用非负数的意义求得a，b，c值，将a，b，c值代入运算即可．
【解答】解：∵ +|2b+ |+（c+2a）2＝0， ≥0，|2b+ |≥0，（c+2a）2≥0，
∴a﹣2＝0，2b+ ＝0，c+2a＝0，
∴a＝2，b＝﹣ ，c＝﹣4．
∴
＝＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a，b，c值是解题的关键．
一十五．无理数（共1小题）
37．（2022•河南模拟）写一个大于﹣2小于﹣1的无理数 ﹣ ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：写一个大于﹣2小于﹣1的无理数﹣ （答案不唯一），
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
一十六．实数与数轴（共1小题）
38．（2022•城厢区校级一模）实数 a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是
（ ）
A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
【分析】根据数轴可得：a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，再根据绝对值，有理数加减法逐项判定即可．
【解答】解：由数轴可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，
∴|c|＜|a|，故A选项错误；
∵b≠c，
∴2b≠2c，
∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B选项错误；
∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整数，且不确定，
∴a+b+c的值不能确定为0，故C选项错误；
∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，
∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
一十七．实数大小比较（共1小题）
39．（2022•桂平市二模）在下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】利用实数大小比较的法则解答即可．
【解答】解：∵正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，
∴四个实数中，最小的实数是﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，正确利用实数大小比较的法则是解题的关键．
一十八．估算无理数的大小（共2小题）
40．（2022•沙坪坝区校级模拟）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，并估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：原式＝ +
＝ +2，
∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∴7＜ +2＜8．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼
无理数是解题的关键．
41 ． （ 2022• 鄂 州 一 模 ） 若 三 个 实 数 x ， y ， z 满 足 xyz≠ 0 ， 且 x+y+z ＝ 0 ， 则 有 ：
（结论不需要证明）．
例如： ．
根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】
（1）求 的值．
【能力提升】
（2）设 ，求S的整数部分．
【拓展升华】
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．当 取得最小值
时，求x的取值范围．
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将 进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为| +3|+| ﹣3|，再根据| +3|+| ﹣3|取最小值时，确定x的取值范围．
【解答】解：（1） ＝ ＝|1+ + |＝ ；
（2）
＝ + +…+
＝|1+1﹣ |+|1+ ﹣ |+…+|1+ ﹣ |
＝1+1﹣ +1+ ﹣ +1+ ﹣ +…+1+ ﹣
＝2020﹣
＝2019 ，
故整数部分为2019；（3）由题意得，
＝| + + |+| ﹣ ﹣ |
＝| + |+| ﹣ |，
又y+z＝3yz，
原式＝| +3|+| ﹣3|，
因为| +3|+| ﹣3|取最小值，
所以﹣3≤ ≤3，而x＞0，
因此，x≥ ，
答：x的取值范围为x≥ ．
【点评】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮
点．
一十九．实数的运算（共12小题）
42．（2022•盐池县二模）计算： ﹣tan60°﹣| ﹣2|＝ ﹣ 6 ．
【分析】利用负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：原式＝﹣4﹣ ﹣（2﹣ ）
＝﹣4﹣ ﹣2+
＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确
使用实数法则进行运算是解题的关键．
43．（2022•秦淮区一模）计算（ ）0＝ 1 ，2﹣1＝ ．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝1，原式＝ ，
故答案为：1；
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
44．（2022•西平县模拟）（﹣2）0+ ＝ 3 ．
【分析】首先计算乘方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣2）0+
＝1+2
＝3
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
45．（2022•定远县二模） + ﹣ ＝ 1 ．
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3+3+1＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了实数的运算，平方根、立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
46．（2022•鱼峰区模拟）计算：|﹣2022|+（﹣5）0﹣ ．
【分析】根据实数的运算法则进行运算即可．
【解答】解：原式＝2022+1﹣3
＝2020．
【点评】本题主要考查零指数幂的运算，绝对值的计算，算数平方根的计算，熟练掌握这些基础计算的方
法是解题的关键．
47．（2022•沈北新区二模）计算：| ﹣ |+2sin60°+（ ）﹣1﹣ ．
【分析】先算乘方、化简二次根式和绝对值，再代入特殊角的函数值后算乘法，最后加减．
【解答】解：原式＝ +2× +3﹣2＝ ﹣ + +3﹣2
＝3﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的函数值及绝对值
的意义是解决本题的关键．
48．（2022•北京二模）计算：| ﹣1|﹣2sin45°﹣tan60°+（ ﹣2）0．
π
【分析】先确定运算顺序，再计算．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2× ﹣ +1
＝ ﹣ ﹣
＝﹣ ．
【点评】本题考查实数混合运算，确定运算顺序是求解本题的关键．
49．（2022•碑林区校级模拟）计算： ．
【分析】利用零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和立方根的意义解答即可．
【解答】解：原式＝1+ ﹣|9+（﹣3）|
＝1+ ﹣6
＝﹣4 ．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和立
方根的意义，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
50．（2022•灞桥区校级模拟）计算：（ ﹣5）0×（ ）﹣1+tan45°+22×（﹣1）2022．
【分析】利用零指数幂的意义，负整数指π数幂的意义，特殊角的三角函数值和有理数的乘方法则进行化简
运算即可．
【解答】解：原式＝1×3+1+4×1
＝3+1+4
＝8．
【点评】本题主要考查了实数是运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和有理数的乘方法则，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
51．（2022•湖里区校级模拟）计算： ．
【分析】利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义解答即可．
【解答】解：原式＝3 + ﹣ +1
＝3 +1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零
指数幂的意义，正确 使用上述法则进行运算是解题的关键．
52．（2022•常熟市模拟）计算： ﹣|1﹣ |﹣3tan30°．
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义和特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣ +1﹣3×
＝2 ﹣ +1﹣
1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确利用
上述法则进行解答是解题的关键．
53．（2022•桥西区校级模拟）已知*表示+，﹣，x，÷四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的
实数a，b满足以下关系式：a*b＝b*a，（﹣a）*b≠﹣（a*b）．
（1）﹣5*3＝ ﹣ 2 ．
（2）a的倒数和绝对值都是a本身，求[a*（﹣6）]*（﹣1）的值．
【分析】（1）先判断*表示的运算，再计算．
（2）先求a，再计算．
【解答】解：（1）∵a*b＝b*a，（﹣a）*b≠﹣（a*b）．
∴*表示“+”．
∴﹣5*3＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）∵a的倒数和绝对值都是a本身，
∴a＝1．
∴[a*（﹣6）]*（﹣1）＝1+（﹣6）+（﹣1）＝﹣6．【点评】本题考查用新定义运算计算，将新运算转化为加法运算是求解本题的关键．
