文档内容
模型介绍
【模型解读】 【以下五个条件知一推四】
类型一 中点弧与相似
① 点C是 的中点
点P是优弧AB上一动点，则 ② AC＝BC
P ③ OC⊥AB
④ PC平分∠APB
O
E ⑤ (即 )
A B
C
∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似
P P
2
O O
E E
A B A B
1
C C
【补充】⑥PE•PC＝PA•PB类型二 中点弧与旋转
【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是 的中点
邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.
P P P
O O O
E E E
A B A B A B
C P' C P' C
由于对角互补，即 ，显然 共线，且 ，通过导角不难得出相似.
类型三 中点弧+内心可得等腰
【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰
如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD
A A
A
4
I I
I 1 5
O C O 2 3 C
C
O
B B
B
D D
【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3类型四 弧中点与垂径定理
【模型解读】
知1推5
① AD平分∠CAB
② D是 的中点
③ DO⊥CB
C D
④
E
⑤
A B
O
⑥
例题精讲
考点一： 中点弧与相似三角形的综合
【例1】．如图，A、B、C、D是 O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的
长为_______ ⊙
解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△AEB，
∴ ，
∴AB2＝3×7＝21，
∴AB＝ ．
变式训练【变式1-1】．如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝
3，则BC•CD＝ 4 0 ． ⊙
解：∵AB＝AD＝3，
∴ ＝ ，
∴∠ADP＝∠ACD，
∵∠DAP＝∠CAD，
∴△ADP∽△ACD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，PC＝AC﹣PA＝7﹣ ＝ ，
∵∠CBP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD，
∴△CBP∽△CAD，
∴ ＝ ，
∴BC•CD＝CA•CP＝7× ＝40．
故答案为：40．
【变式1-2】．如图，四边形ABCD内接于 O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接
⊙AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为_______
解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
而∠DCA＝∠ABD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE＝90°，
而∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FD＝FA＝5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝ ＝ ，
∴EF＝3，
∴AE＝ ＝4，DE＝5+3＝8，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝4+16＝20，
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝ ＝ ，∴BC＝20× ＝12．
考点二 中点弧与旋转的综合
【例2】.在 的内接四边形 中， ， ， ，点 为弧 的中点，则
的长是 ．
A
A
O
B B O F
D
D
E
C C
解：如图，过 作 于 ， 于 ，
则 ，
点 为弧 的中点， ，
， ，
， ， ，
、 、 、 四点共圆， ，
在 和 中 ，
， ，在 和 中， ，
， ，
设 ，
， ， ， ，解得： ，即 ，
，故答案为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，已知 是 的弦，点 是弧 的中点， 是弦 上一动点，且不与 、 重
合， 的延长线交于 点 ，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当点 在弦 上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，
请求出其值．
F
A
C
D
O
B E
（1）证明：如图，连接 ， ， ， 交 于 ，
， ，
是等边三角形， ，
点 是弧 的中点， ，
，
，
， ，， ， ，
， ， 是 的切线；
（2）解： ， ，
， ， ， ， ，
；
（3）结论： ， 的值不变．
理由：如图，连接 ， ， 交 于 ，作 交 的延长线于 ，
， ，
由（1）得， ， ，
，
，
， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
， 的值不变．
F
A
C
D
H
O
B
E N考点三：中点弧+内心可得等腰三角形
【例3】．如图，已知 O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交BC于点E，交 O于点
D，连接BD、DC、B⊙I．求证：DB＝DC＝DI． ⊙
证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠IBC，
∵ O是△ABC的外接圆，∠BAD＝∠DAC，
⊙
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∵ ＝ ，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠DBI＝∠IBC+∠CBD，∠BID＝∠ABI+∠BAI，
∴∠DBI＝∠BID，
∴DB＝DI，
∴DB＝DC＝DI．变式训练
【变式3-1】．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆 O交于点D，与AC交于点
E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． ⊙
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝ ∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
【变式3-2】．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点
D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；
（2）如图，连接OA，
∵AB＝AC，∴ ，∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴ ，∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，∴AB＝5，
如图，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．
A
A
B
B F
F E
E
G C
C O
O
D
D
考点四: 弧中点与垂径定理
【例4】．如图， 为 的直径， ， 为圆上的两点， ，弦 ， 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
D
C
E
B
A
O
（1）证明： ， ，
，
， ， ；
（2）连接 ，
， ， ，
， ，， ，
，即 ，解得， ，
是直径， ，
， 的半径为 ．
D
C
E
B
A
O
变式训练
【变式4-1】．如图，AB是 O的直径，点C为 的中点，CF为 O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接
⊙ ⊙
BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
（1）证明：∵C是 中点，
∴ ＝ ，
∵AB是 O的直径，且CF⊥AB，
⊙
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如图，连接OF，设 O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，⊙即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4 ．【变式4-2】．如图，AB是 O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延
长线于F． ⊙
（1）求证：AD＝AF；
（2）若 ，求tan∠ODA的值．
解：（1）连接AE，OE交AC于H，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是 O的切线，
∴∠BAF⊙＝90°，
∴∠BAE+∠FAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵点E为弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴AD＝AF；
（2）∵ ，
∴设AO＝2x，AF＝3x，∴AB＝4x，
∴BF＝ ＝ ＝5x，
∵S△ABF ＝ ×AB×AF＝ ×BF×AE，
∴AE＝ x，
∴EF＝ ＝ x，
∵点E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，AH＝CH，
∵∠DAE＝∠EAF，∠AEF＝∠AHE＝90°，
∴△AEH∽△AFE，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AH＝ x，HE＝ x，
∴OH＝ x，HD＝ x，
∴tan∠ODA＝ ＝ ．
考点五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）
【例5】.如图， 是 的直径，点 为 的中点， 为 的弦，且 ，垂足为 ，连接交 于点 ，连接 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
C
D C
D
G
B G
A
O E A B
O E
F F
证明：（1） 是 的中点， ，
是 的直径，且 ， ， ， ，
在 和 中，
， ；
（2）如图，连接 ，设 的半径为 ，
中， ，即 ，
中， ，即 ，
， ， ，
，即 ，
解得： （舍 或3，
， ；1．如图，在 O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，
则CD：AD⊙的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，
∵DF＝2DE，
∴设DE＝x，DF＝2x，
∴EF＝3x，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，
∴EH＝HF＝ x，
∴DH＝ x＝CH，
∴CD＝ x，
∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△FDC，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝2 x，
∴CD：AD＝1：4．
故选：D．
2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是 的中点，点P是半径ON上的点．
若 O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）
⊙
A．2 B． C． D．1
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′，OB，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧 的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1， ∴A′B＝ ．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝ ． 故选：C．3．在 O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是
⊙
．
解：如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴ ＝ ，
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D＝∠CBE，
在△CBE和△CDF中
，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE＝DF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC，
∴AE＝AF，
设BE＝DF＝x，
∵AB＝6，AD＝10，∴AE＝AF＝x+3，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝2， 即AE＝8，
∴AC＝ ＝ ， 故答案为 ．
4．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，
∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ，
∴BD＝CD，
∵BD＝4，
∴BC＝ ＝4 ，
∴△ABC外接圆的半径为2 ．
5．如图，AB是 O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的
⊙
延长线于F．
（1）求证：EF是 O的切线；
⊙
（2）若sin∠F＝ ，AE＝4，求 O的半径和AC的长．
⊙
（1）证明：连接OD，OC．
∵D是 的中点，
∴∠BOD＝ ∠BOC，
∵∠A＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝∠A，∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
即EF是 O的切线；
⊙
（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝ ，AE＝4，
∴AF＝ ＝12．
设 O的半径为R，则OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．
⊙
在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝ ，
∴OF＝3OD＝3R．
∵OF+OA＝AF，
∴3R+R＝12，
∴R＝3．
连接BC，则∠ACB＝90°．
∵∠E＝90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE＝AB：AF，
∴AC：4＝2R：4R，
∴AC＝2．
故 O的半径为3，AC的长为2．
⊙6．如图，已知AC，BD为 O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连
接EF． ⊙
（1）设 O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连⊙接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．
（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝ OA＝ ，AE＝EB＝ OE＝ ，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝ AB＝ ．
（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴ ＝ ＝ ，同理 ＝ ，∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF．
解法二：可以作OB中点G，连接FG，EG，证明OEFG是平行四边形即可，得对角线互相平分．
②∵OE∥FG∥BC，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG．
∵EG∥OB，AE＝EB，
∴AG＝OG
∵OF＝FC，
∴OG＝OF，∴OD＝FG，
∵AE⊥OE，AG＝OG，
∴EG＝ AO＝OG，
∵∠DOG＝∠FGE，
∴DOG≌△FGE（SAS），
∴DG＝EF，
∵DF＝EF，
∴DG＝DF，
∴DO⊥FG，
∴EG⊥AO，
∴EA＝EO，
∴∠BAC＝45°
7．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，C是 中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交
⊙ ⊙
CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若 O的半径为5，D是 的中点，求弦CE的长．
⊙
（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90˚，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是线段AQ的中点；
（2）解：∵ ，AB是直径，
∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝5 ，
∴CH＝ BC＝ ，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2× ＝5 ．
8．如图，已知AB是 O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延
长线交于 O点E，⊙连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证⊙：AF是 O的切线；
（2）若BC＝6，C⊙D＝3，求DE的长．
（3）当点D在弦AB上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，
请求出其值．
（1）证明：如图，连接AC，OA，OC，OC交AB于H，
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠ACO＝60°，
∵点C是弧AB的中点，
∴ ，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴∠CHA＝180﹣∠OCA﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝ ∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是 O的切线；
⊙
（2）解：∵ ，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴ ，
∴ ，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9；
（3）结论： ， 的值不变．
理由：如图，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N，
∵ ，
∴CB＝CA，
由（1）得，OC⊥AB，∴BH＝AH＝ ，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BEC＝∠AEC＝30°，
∴BH＝BCcos30°＝ BC，
∴ ，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝30°，
∴∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴ 的值不变．
解法二：连接AC，可知BC＝AC，∠BCA＝120°，可得BC：AC：AB＝1：1： ，再利用相似三角形
的性质解决问题．
9．已知△ABC内接于 O，∠BAC的平分线交 O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠⊙BAC＝120°时，请直接⊙写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式 AB + AC ＝AD ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求 的值（用含m，n的式子表示）．
解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，
∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交 O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠⊙BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
又∵AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝ AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于 O，
∴∠MBD＝∠ACD， ⊙
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM＝ AD，即AB+BM＝ AD，
∴AB+AC＝ AD；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，
∵四边形ABDC内接于 O，
∴∠NBD＝∠ACD， ⊙
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，∴ ，
∴ ，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，
∴ ＝ ．
10．如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，
∠COB＝2∠PCB． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）求证：BC＝ AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．
（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是 O的直径，
∴∠ACO+⊙∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是 O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
⊙
（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝ AB．
（3）解：连接MA，MB，
∵点M是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴ ＝ ．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是 O的直径， ＝ ，
⊙
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝8，
∴BM＝4 ．
∴MN•MC＝BM2＝32．11．如图，已知 O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与
⊙
圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是 O的切线；
⊙
（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 于点F（F与B、C
不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
（1）解：如图，连接OC，
∵ 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝ OA＝ ×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2 ＝2 ＝2 ；
（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝ CD＝ ，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝ ＝ ＝2 ，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2 ）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是 O的切线；
⊙（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交 O于点H，连接HF
⊙
∵点G为 的中点
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴ ＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．
12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣ ，0），B（3 ，0），以AB为直径的 G交y轴于
C、D两点． ⊙
（1）填空：请直接写出 G的半径r、圆心G的坐标：r＝ ；G（ ， ）；
⊙
（2）如图2，直线y＝﹣ x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2 ，m），求证：
直线EF是 G的切线．
⊙
（3）在（2）的条件下，如图3，点M是 G优弧 上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、
⊙
CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM＝k？如果存在，求出k的
值，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣ ，0），B（3 ，0），AB是直径，
∵AB＝4 ，
∴ G的半径为2 ，G（ ，0），
故⊙答案为r＝2 ， ，0．
（2）如图2中，连接GT，过点T作TH⊥x轴于H，
∵直线y＝﹣ x+5与x、y轴交于E、F两点，则E（0，5），F（5 ，0），
∵直线y＝﹣ x+5经过T（2 ，m），则m＝﹣ ×2 +5＝3，
∴T（2 ，3），
故TH＝3．GH＝ ，HF＝3 ，
在Rt△HGT中，GT＝r＝2 ，
∴GH＝ GT，
∴∠GTH＝30°，
在Rt△THF中，tan∠FTH＝ ＝ ＝ ，
∴∠FTH＝60°，∴∠GTF＝∠GTH+∠HTF＝30°+60°＝90°，
∴GT⊥EF，
∴直线EF是 G的切线．
⊙
（3）如图3中，连接CG、TG、TC．
在Rt△COG中，OG＝ ，CG＝r＝2 ，
∴OC＝3，∠CGO＝60°．
∵C（0，3），T（2 ，3），
∴CT∥x轴，
∴CT＝2 ，即CT＝CG＝GT＝2 ，
∴△CGT是等边三角形，
∴∠CGT＝∠TCG＝∠CGA＝60°，
∴∠CTA＝ ∠CGA＝30°，∠M＝ ∠CGT＝30°，
∴∠CTA＝∠M，
在△CNT和△CTM中，
∵∠TCN＝∠MTC，∠CTN＝∠M，
∴△CNT∽△CTM，
∴ ＝ ，
∴CN•CM＝CT2＝（2 ）2＝12． ∴k＝CN•CM＝12．
13．已知：如图，抛物线y＝ x2﹣ x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的 M交y轴于另一点D，连接DM并延长交 M于点E，过E点的 M的切
⊙ ⊙ ⊙线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在条件（2）下，设P为 上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在
一个常数k，始终满足AH•AP＝k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0．
设A（x ，0），B（x ，0）．
1 2
则有x •x ＝3m
1 2
又OC是Rt△ABC的斜边上的高，
∴△AOC∽△COB
∴
∴ ，
即x •x ＝﹣m2
1 2
∴﹣m2＝3m，解得m＝0或m＝﹣3
而m＜0，
故只能取m＝﹣3（3分）
这时，y＝ x2﹣ x﹣3＝ ﹣4
故抛物线的顶点坐标为（ ，﹣4）．
（2）由已知可得：M（ ，0），A（﹣ ，0），B（3 ，0），
C（0，﹣3），D（0，3）
∵抛物线的对称轴是直线x＝ ，也是 M的对称轴，连接CE
⊙∵DE是 M的直径，
∴∠DCE⊙＝90°，
∴直线x＝ ，垂直平分CE，
∴E点的坐标为（2 ，﹣3）
∵ ，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，
∴AC∥DE
∵AC⊥CB，
∴CB⊥DE
又∵FG⊥DE，
∴FG∥CB
由B（3 ，0）、C（0，﹣3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
y＝ ﹣3
可设直线FG的解析式为y＝ +n，把（2 ，﹣3）代入求得n＝﹣5
故直线FG的解析式为y＝ ﹣5．
（3）存在常数k＝12，满足AH•AP＝12，
假设存在常数k，满足AH•AP＝k
连接CP，
∵AB⊥CD，
∴ ＝
∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO），
又∵∠CAH＝∠PAC，
∴△ACH∽△APC，
＝ ，
∴即AC2＝AH•AP，在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2＝（ ）2+（3）2＝12，
∴AH•AP＝k＝12；
（也可以证明△AOH∽△APB，可得AH•AP＝AO•AB，由此即可解决问题）
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