文档内容
模型介绍
【模型解读】 【以下五个条件知一推四】
类型一 中点弧与相似
① 点C是 的中点
点P是优弧AB上一动点，则 ② AC＝BC
P ③ OC⊥AB
④ PC平分∠APB
O
E ⑤ (即 )
A B
C
∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似
P P
2
O O
E E
A B A B
1
C C
【补充】⑥PE•PC＝PA•PB类型二 中点弧与旋转
【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是 的中点
邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.
P P P
O O O
E E E
A B A B A B
C P' C P' C
由于对角互补，即 ，显然 共线，且 ，通过导角不难得出相似.
类型三 中点弧+内心可得等腰
【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰
如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD
A A
A
4
I I
I 1 5
O C O 2 3 C
C
O
B B
B
D D
【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3类型四 弧中点与垂径定理
【模型解读】
知1推5
① AD平分∠CAB
② D是 的中点
③ DO⊥CB
C D
④
E
⑤
A B
O
⑥
例题精讲
考点一： 中点弧与相似三角形的综合
【例1】．如图，A、B、C、D是 O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的
长为_______ ⊙
变式训练【变式1-1】．如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC、BD交于点P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝
3，则BC•CD＝ ． ⊙
【变式1-2】．如图，四边形ABCD内接于 O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接
⊙
AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为_______
考点二 中点弧与旋转的综合
【例2】.在 的内接四边形 中， ， ， ，点 为弧 的中点，则
的长是 ．
A
O
B
D
C
变式训练【变式2-1】．如图，已知 是 的弦，点 是弧 的中点， 是弦 上一动点，且不与 、 重
合， 的延长线交于 点 ，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当点 在弦 上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，
请求出其值．
F
A
C
D
O
B E
考点三：中点弧+内心可得等腰三角形
【例3】．如图，已知 O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交BC于点E，交 O于点
⊙ ⊙D，连接BD、DC、BI．求证：DB＝DC＝DI．
【变式3-1】．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆 O交于点D，与AC交于点
E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． ⊙
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【变式3-2】．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点
D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
考点四: 弧中点与垂径定理
【例4】．如图， 为 的直径， ， 为圆上的两点， ，弦 ， 相交于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的半径．
D
C
E
B
A
O
D
C
E
B
A
O
变式训练
【变式4-1】．如图，AB是 O的直径，点C为 的中点，CF为 O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接
⊙ ⊙
BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的长．
【变式4-2】．如图，AB是 O的直径，点E为弧AC的中点，AC、BE交于点D，过A的切线交BE的延
长线于F． ⊙
（1）求证：AD＝AF；
（2）若 ，求tan∠ODA的值．考点五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）
【例5】.如图， 是 的直径，点 为 的中点， 为 的弦，且 ，垂足为 ，连接
交 于点 ，连接 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．C
D
G
B
A
E
O
F
1．如图，在 O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，
则CD：AD⊙的值为（ ）A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
2．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是 的中点，点P是半径ON上的点．
若 O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）
⊙
A．2 B． C． D．1
3．在 O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是
⊙
．
4．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．5．如图，AB是 O的直径，AC为弦，D是 的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的
⊙
延长线于F．
（1）求证：EF是 O的切线；
⊙
（2）若sin∠F＝ ，AE＝4，求 O的半径和AC的长．
⊙
6．如图，已知AC，BD为 O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连
接EF． ⊙
（1）设 O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连⊙接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．
7．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，C是 中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交
⊙ ⊙
CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若 O的半径为5，D是 的中点，求弦CE的长．
⊙
8．如图，已知AB是 O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延
长线交于 O点E，⊙连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证⊙：AF是 O的切线；
（2）若BC＝6，C⊙D＝3，求DE的长．（3）当点D在弦AB上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，
请求出其值．
9．已知△ABC内接于 O，∠BAC的平分线交 O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠⊙BAC＝120°时，请直接写⊙出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式 ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求 的值（用含m，n的式子表示）．10．如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，
∠COB＝2∠PCB． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）求证：BC＝ AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．11．如图，已知 O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与
⊙
圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是 O的切线；
（3）点G为 的⊙中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 于点F（F与B、C
不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣ ，0），B（3 ，0），以AB为直径的 G交y轴于
C、D两点． ⊙
（1）填空：请直接写出 G的半径r、圆心G的坐标：r＝ ；G（ ， ）；
⊙
（2）如图2，直线y＝﹣ x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2 ，m），求证：
直线EF是 G的切线．
（3）在（2⊙）的条件下，如图3，点M是 G优弧 上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、
⊙
CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN•CM＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．13．已知：如图，抛物线y＝ x2﹣ x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的 M交y轴于另一点D，连接DM并延长交 M于点E，过E点的 M的切
线分别交x轴、y轴于点F、⊙G，求直线FG的解析式； ⊙ ⊙
（3）在条件（2）下，设P为 上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在
一个常数k，始终满足AH•AP＝k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
