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1．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
2、相交弦定理
【结论1】如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则
①AP·BP＝CP·DP,
②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.
3、切割线定理【结论 2】如图 ，PBC 是⊙O 的一条割线，PA 是⊙O 的一条切线，切点为 A，半
径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2
4、割线定理
【结论3】如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则
①PA·PB＝PC·PD
②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2
R口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲
考点一：相交弦定理
【例1】．已知：如图弦 AB经过 O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是 O的半径等于
（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
解：延长CO交 O于D，
设 O的半径是⊙R，
∵⊙弦AB经过 O的半径OC的中点P，
⊙
∴CP＝ R＝OP，PD＝ R+R，
由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，
则2×3＝ R×（ R+R），
解得：R＝2 ，
故选：C．
变式训练
【变式1-1】．如图， O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝ 2 ： 3 ．
⊙
解：∵ O的弦AB、CD相交于点E，
∴AE•B⊙E＝CE•DE，
∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．
【变式1-2】．如图，在 O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延
⊙
长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝ ，则 的值为 ．
解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，
∵AC⊥BD，cos∠ACB＝ ，
∴cos∠ACB＝ ＝ ，
设CF＝3k，则CB＝5k，
∴BF＝ ＝4k．
∵CA＝CB，
∴AC＝5k，
∴AF＝AC﹣CF＝2k．
∵CF•AF＝DF•BF，
∴DF＝ k．
∵AC⊥BD，AE⊥AC，
∴DF∥AE，
∴ ，∴ ，
∴AE＝ k．
∴CE＝ ＝ k．
∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，
∴四边形AFBG为矩形，
∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，
∴EG＝AE+AG＝ k，
∴BE＝ ＝ k，
∴ ＝ ， 故答案为： ．
考点二：弦切角定理
【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切 O于D，C是 上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是
⊙
110 度．
解：连接BD，则∠BDA＝90°，
∵PD切 O于点D，
∴∠ABD⊙＝∠PDA＝20°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；
又∵四边形ADCB是圆内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练
【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与 O相切于A点，另一边交 O于B、C两点， O的半
径为 ，AC＝ ，则AB的长度为（ ）⊙ ⊙ ⊙
A． B．6 C． D．5
解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，
∵OA＝OB，
∴∠AOD＝ ∠AOC，AD＝DC＝ ，
∴OD＝ ＝2 ，
∵PA切 O于A，
∴∠CAE⊙＝∠B，
∵∠B＝ ∠AOC，
∴∠CAE＝∠AOD，
∵∠AEC＝∠ADO＝90°，
∴△ACE∽△OAD，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴CE＝ ，AE＝ ，
∵∠P＝45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE＝CE＝ ，PC＝ ，
∵PA＝AE+PE，
∴PA＝ ，
∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴AC：AB＝PC：PA，
∴2 ：AB＝ ： ，
∴AB＝6．
故选：B．
【变式2-2】．如图，BP是 O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点
⊙
P，连接AD，BC．若DE＝DA＝ ，BC＝2，则线段CP的长为 ．
解：连接BD，如图，∵DE＝DA，
∴∠A＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，
∴∠BEC＝∠DCB．
∴BE＝BC＝2．
∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，
∴∠DEB＝∠BCP，
∵BP是 O的切线，
∴∠BDE⊙＝∠PBC，
∴△DEB∽△BCP，
∴ ，
∴ ，
∴CP＝ ．
故答案为： ．
考点三：切割线定理
【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝
1，则该半圆的半径为 4 ．
解：∵PC切半圆与点C， ∴PC2＝PA•PB， 即PA＝9，
则AB＝9﹣1＝8， 则圆的半径是4． 故答案为4．变式训练
【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相
切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则 O的直径为（ ）
⊙
A．10 B． C．5 D．12
解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD是切线，CEA是割线，
∴CD2＝CE•CA，
∵CD＝2CE＝4，
∴AC＝8，
∴AE＝6，
∴GE＝3，
∴OD＝CG＝5，
∴ O的直径为10．
故⊙选：A．
【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2 ．则BO的长是 4 ．
解：连接OC，如图，
∵CD2＝CE•CA，
∴ ，
而∠ACD＝∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD＝∠CDE，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC；
设 O的半径为r，
∵⊙CD＝CB，
∴ ，
∴∠BOC＝∠BAD，
∴OC∥AD，
∴ ，
∴PC＝2CD＝4 ，
∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴ ，即 ，∴r＝4（负根已经舍弃），
∴OB＝4，
故答案为4．
【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若 ，求BD的长．
（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是 O的切线，
∵ O是⊙△BDE的外接圆，
∴⊙AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵ ，
∴（ ）2＝2 ×（2 +BD），
解得：BD＝4 ．
∴BD的长是：4 ．考点四：割线定理
【例4】．如图，过点P作 O的两条割线分别交 O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，
则PD的长是（ ） ⊙ ⊙
A．3 B．7.5 C．5 D．5.5
解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，
∴PB＝5，
∵PA•PB＝PC•PD，
∴PD＝7.5，
故选：B．
变式训练
【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝
4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝ 4 ．
解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，
∴PB＝AP+AB＝6，PC＝ PD．
又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝ PD2，
则PD＝4 ．
故答案是：4 ．
【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，
与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为 4 ．
解：延长CD交 O于点G，
设BE，DG的中⊙点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，CM切 O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值
是（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A． B． C． D．
解：连接BD．
AB是直径，则∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠BCM＝60°．
∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．
∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝ ．
故选：B．
2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交 O于点D、B．已知PA＝12，PD＝
8，则S△ABP ：S△DAP ＝ 9 ： 4 ． ⊙解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，
∵PA＝12，PD＝8
∴PB＝18．
由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．
∴S△PAD ：S△PBA ＝PA2：PB2＝4：9．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°， O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若
BC＝ ﹣1，则AC＝ 2 ． ⊙
解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是 O的切线，
∴∠CBD＝∠BAC＝36°， ⊙
∴∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴AD＝BD＝BC；
又∵BC是切线，
∴BC2＝CD•AC，
∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣ ）2＝ ，
解得：x ＝2，x ＝ （x ＜0不合题意，舍去）．
1 2 2
∴AC＝2．
4．如图， O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为 8
．⊙解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，
∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，
∴O′B⊥BD，
∴∠O′BD＝90°．
设∠ABD＝ ，则∠BCD＝∠ABD＝ ，
∴∠ABC＝2α ． α
由折叠的性质α得：∠ABC＝∠O′BC＝2 ，
∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3 ＝90α°，
∴ ＝30°． α
∵αAB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，
AC＝AB•sin∠ABC＝8× ＝4 ．
∴△ABC的面积为 AC•BC＝ 4× ＝8 ．
故答案为：8 ．5．如图， O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交 O于点E，若BD＝4，CD
⊙ ⊙
＝1，则DE的长是 ．
解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵ O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴⊙∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4+1＝5，
∴OB＝OC＝ ，
∴OA＝ ，OF＝BF＝ ，
∴DF＝BD﹣BF＝ ，
∴OG＝ ，GD＝ ，
解法一：在Rt△AGO中，AG＝ ＝ ，
∴GE＝ ，
∴DE＝GE﹣GD＝ ．
解法二：在Rt△AGO中，AG＝ ＝ ，
∴AD＝AG+GD＝ ，
∵AD×DE＝BD×CD，
∴DE＝ ＝ ．故答案为： ．
6．如图，已知AC＝AB，AD＝5，DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝ 5 6 ．
解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；
过点B作BG∥AH，交DE于点G；
∵AB＝AC，
∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，
∴∠HAD＝∠E，
∴A、H、B、E四点共圆，
∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；
∵BG∥AH，且CF＝BF，
∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；
∴ ，设HD＝5 ，则DG＝4 ，
∴CD＝CH+HD＝14 ， λ λ
λ
∴DH＝ ，
∴ •DE＝20，
∴CD•DE＝56．
故答案为56．7．如图：BE切 O于点B，CE交 O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连
⊙ ⊙
接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是 ．
解：连接AD，BD
∵BE＝BC
∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°
∵BE是切线
∴∠DBE＝∠C＝40°
∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°
∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°
∵OH⊥CD
∴OD＝ ＝10，即圆的半径是10
∴弧BD的度数是80度
弧BD＝ ＝ ．8．如图，在平面直角坐标系中， O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且
AB＝AC，AC与 O交于点D，⊙延长AO与 O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则
⊙ ⊙
tan∠DFO＝ ，tan∠A＝ ．
解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，
∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，
∴AO＝ ＝5．
∵AB＝AC，点B与原点O重合，
∴AB＝AC＝5．
∴AE＝2AO＝10．
∵AE为 O的直径，
∴ED⊥A⊙D．
∵AB＝AC，AM⊥OC，
∴OC＝2OM＝6．
∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，
∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．
∵CD•CA＝CH•CK，
∴CD＝ ＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣ ＝ ．
∴DE＝ ＝ ．
∴tan∠DAE＝ ＝ ＝ ．
∵DH⊥OC，FO⊥OC，
∴DH∥OF．
∴∠DFO＝∠NDF．
∵ED⊥AD，
∴∠NDF+∠CDN＝90°．
∵DN⊥OC，
∴∠CDN+∠NCD＝90°．
∴∠NDF＝∠NCD．
∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝ ．
故答案为： ； ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，CD是 O的切线，C为切点，且CD＝CB，连
接AD，与 O交于点E． ⊙ ⊙
（1）求证⊙AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求 O的半径．
⊙
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CD是 O的切线，C为切点，
∴∠ACD⊙＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵BC＝BD，AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD；
（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，
∵△ACB≌△ACD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴ ＝ ，∴BC＝CE，
∵BC＝CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠D＝∠CED，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠CED＝∠ACD，
∴△DEC∽△DCA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），
∴AD＝AE+DE＝9，
∴AB＝AC＝AD＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝ BC＝3，
∴AF＝ ＝ ＝6 ，
设 O的半径为r，
在⊙Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，
∴（6 ﹣r）2+32＝r2，
∴r＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙
10．如图，△ABC是 O的内接三角形，CD是 O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作 O的切线交CD
的延长线于点F，连⊙接FB． ⊙ ⊙（1）求证：FB是 O的切线．
⊙
（2）若AC＝4 ，tan∠ACD＝ ，求 O的半径．
⊙
（1）证明：连接OA，OB，
∵FA是 O的切线，
∴OA⊥⊙FA，
∴∠FAO＝90°，
∵直径CD⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠FBE＝∠FAE，
∵OA＝OB，
∴∠OBE＝∠OAE，
∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，
∴半径OB⊥FB，
∴FB是 O的切线
⊙
（2）解：∵tan∠ACD＝ ＝ ，
∴令AD＝x，则CD＝2x，
∵△ADC是直角三角形，
∴AC＝ ＝ ＝ x＝4 ，
∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，
∵AD2＝DE•CE，
∴42＝8DE，
∴DE＝2，
∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，
∴ O的半径长是5．
⊙
11．如图，正方形ABCD内接于 O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交 O于点G，
连接BG． ⊙ ⊙
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴ ．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴ ，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝ ＝6 ．
∴OB＝ BD＝3 ．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝ AB．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴BF＝2 ；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝ ＝3 ．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝ ．
12．如图， O的割线PBA交 O于A、B，PE切 O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，
⊙ ⊙ ⊙PE＝4 ，PB＝4，∠AEB＝60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求 O的面积．（答案保留 ）
⊙ π
（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠CPE＝∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；
（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，
∵PE＝4 ，PB＝4，
∴PA＝12，
∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，
∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；
（3）解：连接BO并延长交 O于F，连接AF，
则BF是 O的直径， ⊙
∴∠BAF⊙＝90°，
∴∠AEB＝∠F＝60°
在Rt△ABF中，sin60°＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴BF＝ ．
∴ O的面积为： （ ）2＝ （面积单位）．
⊙ π π13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是 的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延
长线上，且FC＝FE．
（1）求证：CF是圆O的切线；
（2）若 ，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．
证明：（1）∵AC是直径，点D是 的中点，
∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．
∵FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CEF+∠BCE＝90°．
∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．
∴AC⊥CF．
又∵点C在圆O上，
∴CF是圆O的切线；
（2）连接AD．
∵AC是直径，点D是 的中点，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．
∴△BEC∽△DEA．∴DE•EC＝AE•BE，
在Rt△ACF和Rt△BCF中，
∵ ＝ ＝ ，
设CF＝3k，则AF＝5k．
∴BF＝ k，AC＝ ＝4k．
∵FC＝FE＝3k，BE＝FE﹣BF，
∴3k﹣ k＝2．
∴k＝ ．
∴AC＝ ．
∴圆O的半径＝ AC＝ ．
∵AE＝AF﹣FE＝5k﹣3k＝2k＝ ，
∴AE×BE＝ ×2＝ ．
∴DE•EC＝ ．
14．如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，点C在 O上，且PC2＝PB•PA．
⊙ ⊙（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是 的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•PA，即 ＝ ，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是 O的切线；
（2）解⊙：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，
∴PA＝ ＝ ＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴ ＝ ＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6 ，即BC＝6 ，
∵点D是 的中点，AB为 O的直径，
⊙
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，
∴OF＝ OD＝ ，即AF＝ ，
∵EF∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴EF＝ BC＝ ．15．已知：如图，PF是 O的切线，PE＝PF，A是 O上一点，直线AE、AP分别交 O于B、D，直线
DE交 O于C，连接⊙BC， ⊙ ⊙
（1）求⊙证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在 O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在
图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证⊙明你的结论．
（1）证明：∵PF与 O相切，
∴PF2＝PD•PA． ⊙
∵PE＝PF，
∴PE2＝PD•PA．
∴PE：PD＝PA：PE．
∵∠APE＝∠APE，
∴△EPD∽△APE．
∴∠PED＝∠A．
∵∠ECB＝∠A，
∴∠PED＝∠ECB．
∴PE∥BC．
（2）解：PE与BC仍然平行．
证明：画图如图，
∵△EPD∽△APE， ∴∠PEA＝∠D．
∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B． ∴PE∥BC．
16．已知△ABC是 O的内接三角形，∠BAC的平分线与 O相交于点D，连接DB．
⊙ ⊙（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是 O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交 O外一点F，⊙过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G
作 O的切线GH（切点为H），求证：⊙FG＝HG．
⊙
证明：（1）如图①，
∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI，
∴BD＝DI；
（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是 O的切线；
（3）如图⊙，作直径交 O于M，连接CM，BH，CH，
⊙
∴∠MCH＝90°，
∴∠M+∠CHM＝90°，
∵∠B＝∠M，
∴∠B+∠CHM＝90°，
∵GH是 O的切线，
∴∠OHG⊙＝∠CHG+∠CHM＝90°，
∴∠CHG＝∠B，
如图③，连接BH，CH，
∵GH是 O的切线，
∴∠CHG⊙＝∠HBG，
∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，
∴ ＝ ，
∴GH2＝BG•CG，
∵AD∥GF，
∴∠AFG＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠FBG，
∴∠FBG＝∠AFG，
∵∠CGF＝∠BGF，
∴△CGF∽△FGB，
∴ ＝ ，
∴FG2＝BG•CG，
∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）
的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是 、 ，那么圆内角的度
数与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：
解：连接BC，OA，OC，OB，OD．
如图2，在△BCE中，∠AEC＝∠EBC+∠ECB
∵∠EBC＝ ∠AOC，∠ECB＝ ∠BOD
∴∠AEC＝ ∠AOC+ ∠BOD＝ （∠AOC+∠BOD）
即：∠AEC的度数＝ （ 的度数+ 的度数）
（1）如图1，在 O中，弦AB、CD相交于点E，若弧 的度数是65°，弧 的度数是40°，则∠AED
⊙
的度数是 127.5 ° ．
【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．
（2）如图3，在 O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧
⊙
、 的度数之间的关系．
【灵活运用】
（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（ ，1）在 O上， O与y轴正半轴交于点B，点C，点D
是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延⊙长线分别⊙交 O于点E、F．延长FE交y轴于点
G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变⊙化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝ （ 的度数+ 的度数），
∴∠AEC＝ （65°+40°）＝52.5°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，
故答案为：127.5°；
（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，
∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE
＝ ∠AOC﹣ ∠BOD
＝ （ 的度数﹣ 的度数），
∴∠E＝ （ 的度数﹣ 的度数）；
（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴ （ 的度数+ 的度数＝ （ 的度数+ 的度数），∴ 的度数+ 的度数＝ 的度数+ 的度数，
∴ 的度数﹣ 的度数＝ 的度数﹣ 的度数，
由（2）知，∠FGO＝ （ 的度数﹣ 的度数）＝ （ 的度数﹣ 的度数），
∵点A（ ，1），
∴OH＝ ，AH＝1，
∴tan∠AOH＝ ，
∴∠AOH＝30°，
∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，
∴∠FGO＝ （120°﹣60°）＝30°，
∴∠FGO的度数不变，为30°．
