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模型介绍
1.托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对
边所包矩形的面积之和．
翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则 ．
D
A
B C
证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，
易证△AEB∽△ADC，∴ ，即 ，
D D
A A
α
α
E E
B C B C
当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，
易证△ABC∽△AED，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．2.（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，有
D
A
B C
证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，
易证△ABE∽△ACD，∴ ，即 ①，
D D
A A
E E
B C B C
图1 图2
连接DE，如图2，
∵ ，∴ ，
又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，∴ ，即 ②，
将①+②得： ，
∴
即 ，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．
3.托勒密定理在中考题中的应用
（1）当△ABC是等边三角形时，
如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有： ，
又等边△ABC有AB=AC=BC， 故有结论： ．
A
D
O
B C
图1证明：在BD上取点E使得DE=DA，
易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用对应边成比例，可得： ．
A
D
E
O
B C
如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．
A
O
B C
D
图2
【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．
（2）当△ABC是等腰直角三角形，
如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理： ，
又 ，代入可得结论： ．
A
B C
O
D
图3
如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理： ，
又 ，代入可得结论： ．
A
D
B C
O
图4
（3）当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c，
根据托勒密定理可得：
A
c b
O
B a C
D例题精讲
【例1】．如图，正五边形ABCDE内接于 O，AB＝2，则对角线BD的长为 ．
⊙
变式训练
【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptolemy古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积
的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形 ABCD内接于 O，则有AB•CD+AD•BC＝AC•BD．再请完
成： ⊙
（1）如图1，四边形ABCD内接于 O，BC是 O的直径，如果AB＝AC＝ ，CD＝1，求AD的长．
（2）在（1）的条件下，如图2，设
⊙
对边BA、C⊙D的延长线的交点为P，求PA、PD的长．【变式1-2】．如图1，已知 O内接四边形ABCD，
求证：AC•BD＝AB•CD+AD•⊙BC．
证明：如图1，在BD上取一点P，连接CP，使∠PCB＝∠DCA，即使∠1＝∠2．
∵在 O中，∠3与∠4所对的弧都是 ，
⊙
∴∠3＝∠4．
∴△ACD∽△BCP．
∴ ＝ ．
∴AC•BP＝AD•BC．①
又∵∠2＝∠1，
∴∠2+∠7＝∠1+∠7．
即∠ACB＝∠DCP．
∵在 O中，∠5与∠6所对的弧都是 ，
⊙
∴∠5＝∠6．
∴△ACB∽△DCP．
…
（1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整；
（2）任务二：如图2，已知Rt△ABC内接于 O，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交
O于点D，求CD的长． ⊙
⊙
【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1， 四边形 ABCD 内接于 O ．
求证： AB ⋅ DC + AD ⋅ BC ＝ AC ⋅ BD ．⊙
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
……
∴△ABE∽△ACD，
∴AB•DC＝AC•BE，
……
∴△ABC∽△AED，
∴AD•BC＝AC•ED，
∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．
（1）请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程；
（2）如图3，已知正五边形ABCDE内接于 O，AB＝1，求对角线BD的长．
⊙
变式训练
【变式2-1】．已知：如图1，四边形ABCD内接于 O．
⊙求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ ＝ ，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，∴ ，∴AB•CD＝AC•BE；
∵ ＝ ，∴∠ACB＝∠ADE（依据1），
∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED（依据2），∴ ，∴AD•BC＝AC•ED；
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED），即AB•CD+BC•AD＝AC•BD．
（1）上述证明过程中的“依据1”是指 ；“依据2”是指 ．
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的 定理．
（3）如图3，四边形ABCD内接于 O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C是 的中点，求AC的长．
⊙
【变式2-2】．圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD
内接于 O，则有 ________．
任务：⊙（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于 O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：BD＝AB+BC．
⊙1．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连接AO，如
果AB＝4，AO＝4 ，那么AC的长等于（ ）
A．12 B．16 C．4 D．8
2．如图，在 O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的
长是 ．⊙
3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着
AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 ．
4．如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD，AP⊥BP，则 的值为 ．5．如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，
则：
（1）∠OFB ° ；
（2）OF＝ ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交
AC的延长线于点F．若CF＝ ，AC＝4，AB＝2．则AE＝ ．
7．设△ABC是正三角形，点 P在△ABC外，且与点 A在直线 BC异侧，∠BPC＝120°，求证：PA＝PB+PC．
8． O半径为2，AB，DE为两条直线．作 DC⊥AB于C，且C为AO中点，P为圆上一个动点．求
2⊙PC+PE的最小值．
9．如图，点P为等边△ABC外接圆，劣弧为BC上的一点．
（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA＝PB+PC．
10．如图， O的直径AB的长为10，弦BD的长为6，点C为 上的一点，过点B的切线EF，连接
⊙
AD，CD，CB；
（1）求证：∠CDB＝∠CBF；
（2）若点D为 的中点，求CD的长．
11．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到
了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于 O，
求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD ⊙
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于 O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为 的中点，求AC的长．
⊙
12．在学习了《圆》和《相似》的知识后，小明自学了一个著名定理“托勒密定理：圆内接四边形对角线
的乘积等于两组对边乘积之和．”
（1）下面是小明对托勒密定理的证明和应用过程，请补充完整．已知：四边形ABCD内接于 O．
求证：AC•BD＝AB•CD+AD•BC．证明：作∠CDE＝∠BDA，交AC于点E， ⊙
∵ O中，∠1＝∠2，
∴⊙△ABD∽△ECD（ ）．∴ ．
∴AB•CD＝BD•EC①，
．
又∵∠BDA+∠3＝∠CDE+∠3，
即∠ADE＝∠BDC，
∴△ DAE ∽△ DBC （ ）．
∴ ．
∴AD•BC＝BD•AE②．
，
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD．
（2）利用托勒密定理解决问题：是否存在一个圆内接四边形，它的两条对角线长为 5和 ，一组对边
长为1和3，另一组对边的和为4．若存在，求出未知的两边；若不存在，说明理由．
13．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．
布拉美古塔定理
婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出
了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角
线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．
已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，过点P作AB的垂线分
别交AB，DC于点H，M．
求证：M是CD的中点任务：
（1）请你完成这个定理的证明过程．
（2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形的对角线互相垂
直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 命题．（填“真”或“假”）
（3）若PD＝2，HP＝ ，BP＝3，求MH的长．
14．已知△ABC内接于 O，∠BAC的平分线交 O于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当∠⊙BAC＝120°时，请直接⊙写出线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系式：
；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求 的值．15．问题探究：
（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．
（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，
P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：
PA＝PB+PC．
问题解决：
（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若
存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．
16．（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：⊙在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD，BC是 O的直径，AB＝AC．试用等式表
示线段AD，BD，CD之间⊙的数量关系，并证明你的结论． ⊙【探究2】
如图③，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是 O的直径，∠ABC＝30°，则线
段AD，BD，CD之间的等⊙量关系式是 ． ⊙
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是 O的直径，BC：AC：AB＝a：
b：c，则线段AD，BD，C⊙D之间的等量关系式是 ⊙ ．
17．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝
∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE＝CD，连接 AE，证得
△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容
易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝
∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提
出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝ ”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出
的问题，请你写出α结论，不用证明．
18．问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关
系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点
A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝
CD，从而得出结论：AC+BC＝ CD．
简单应用：
（1）在图①中，若AC＝ ，BC＝2 ，则CD＝ ．
（2）如图③，AB是 O的直径，点C、D在 上， ＝ ，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．
⊙ ⊙
拓展规律：
（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）
（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝ AC，CE＝CA，点Q为
AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 或 ．
