文档内容
模型介绍
故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣
的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最
大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学
家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.
米勒问题：
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，
∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题
M M
C C
O N O N
A B A B
米勒定理：
已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形
ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.
证明：
如图 1，设 C’是边 OM 上不同于点 C 的任意一点，连结 A，B，因为∠AC’B 是圆外角，
∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。M
C'
C D
O N
A B
米勒定理在解题中的应用
常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的
米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低
思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至
一筹莫展，即使解出也费时化力。
例题精讲
【例1】．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，
则t的值为（ ）
A． B． C． D．变式训练
【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM
的度数最大时，则BP＝ ．
【变式1-2】．如图，∠AOB＝60°，M，N是OB上的点，OM＝4，MN＝ ．
（1）设 O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点．
求证：∠⊙MCN＞∠MDN；
（2）若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值．【例2】．在直角坐标系中，给定两点 M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点 P，使
∠MPN最大，则P点的坐标为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知
∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．
【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE
＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．1．在平面直角坐标系中，点A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若AB＝4 且
∠ACB最大时，b的值为（ ）
A．2+2 B．﹣2+2 C．2+4 D．﹣2+4
2．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则
∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲
带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射
门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C
的坐标是 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝ ．
5．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边
上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200
米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和，∠APB的度
数；若不存在，请说明理由．
6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速
和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验
发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（ ﹣ ）的值尽可能的大，
能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”AB身高2.5米，机器人CD高0.4米．则当sαin（β ﹣ ）最大时，机
器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC等于 ． α β
7．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC
画图操作：（1）在y轴正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，
②若tan∠APB＝ ，求点P的坐标；
②当点P的坐标为 时，∠APB最大
拓展延伸：（3）若在直线y＝ x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．
8．问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB ∠ACB（填“＞”
“＜”“＝”）；问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说
明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距 6米（即AB＝6米），
下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌
走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大
楼AD之间的距离．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美
点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ， C的半径是 ；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美⊙点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．
10．问题提出
（1）如图①，△ABC内接于 O，过点A作 O的切线l，在l上任取一点D，连接BD、CD，则
∠BAC与∠BDC的大小关系为 ⊙ ⊙ ；
问题探究
（2）如图②，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 为 AD 边上一点，当∠BEC 最大时，求cos∠BEC的值；
问题解决
（3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE＝4m的
广告画．已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m，该电梯的高AB为4m，它所占水平地面的长
AC为8m．小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视角为∠DPE．已知小明的眼睛P
到脚底的距离PQ为1.5m，电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s，求当小明站在电梯上多长时间
时，∠DPE取得最大值．
11．问题背景
（1）如图（1）△ABC内接于 O，过A作 O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、
PC，比较∠BPC与∠BAC的大⊙小，并说明理⊙由．
问题解决
（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若
存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．拓展应用
（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右
侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP ＝9，求sin∠APB的最大值.
12．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上， O是△ACD的外接
圆； ⊙
（1）若 O与BN的另一个交点为E，如图1，当 ，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；
（2）如⊙图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与 O的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最⊙大，并求当AD＝2， 时， O的半径．
⊙13．【发现问题】
（1）如图①，点A，B在∠MON的边OM上，过A，B两点的圆交ON于C，D两点，点E在线段CD
上（不与点C，D重合），点F在射线DN上（不与点D重合）．试探究∠AEB和∠AFB之间的大小关
系，并说明理由；
【探究问题】
（2）如图②，∠MON＝90°，点A，B在射线ON上，点P是射线OM上一动点，AB＝3OB＝3，当
∠APB最大时，请求出此时OP的长；【解决问题】
（3）如图③，一足球球门宽AB约为4米，一球员从距A点5米的O点（点O，A，B均在一条直线
上），沿与OM成一定角度的ON方向带球．试问，该球员能否在射线ON上找到一点P，使得点P为
最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时该球员跑过的路程长；若找不到，请说明理由．
14．问题探究
（1）如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，直线OB与 I相切于点P，点P 是直线OB上异于点P
1
的任意一点，请在图1中画出∠CP D，试判断∠CPD与∠C⊙P D的大小关系，并证明；
1 1
（2）如图2，已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB＝8，AE＝6，当∠AME最大
时，请求出此时BM的长；
问题解决
（3）如图3，四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB＝4 米，AD＝8 米，∠A＝∠D＝60°，
∠BCD＝90°，工作人员想在线段AD上选一点M安装监控装置，用来监视边BC，现只要使得∠BMC最
大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段AD上是否存在点M，使∠BMC最大？若存在，请求出DM的长；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝
kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；
（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．16．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作
CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝ （x＞0）经过点D，连接MD，
BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，
F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，
∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
