文档内容
模型介绍
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为
定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.
模型剖析
如何确定△ABC面积的最小值呢？
首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OH⊥BC于H点.（如右上图）
显然OA+OH¿ AD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值，
而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值.
因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，有一个固定的
等量关系.再根据我们刚才说的OA+OH¿ AD，就可以求得圆O半径的最小值.
简证：OA+OH¿ AD，
∵四边形OEDH为矩形，∴OH=ED，
在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
步骤指引
1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；
2.根据“半径+弦心距≥定高”，求r的取值范围；
3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.例题精讲
【例1】．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，
则四边形BCFE面积的最大值为 ．
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边
BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【例2】．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝
2ED，则BD的最大值为 ．变式训练
【变式2-1】．已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°
则△ABO的面积最小值为 ．
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为
边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为 ．
2．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三
角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是 ．3．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值
为 ．
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC
及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
5．已知点D（2，a）为直线y＝﹣ x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在 D处旋转，保持两直角
边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值
为 ．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，连接DE，求
的最小值．
7．边长为a（a为常数）的正方形ABCD中，动点E、F分别在边CD和边BC上，且∠EAF＝45°
（1）线段EF的最小值；
（2）S△ECF 的最大值；
（3）S△ECF 的最小值．8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，得到△APE，点D的
对应点，为点P，连接EP并延长，交BC于点F，连接AF、CP．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）当AF∥CP时，求DE的长；
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理
由．9．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分
线交于点P，P在反比例函数y＝ 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，
连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．10．在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）．
（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF．
①求∠BCF的大小；
②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长；
（2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最
小值．11．如图，在Rt△ABC中，AC＝8 ，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB、
AC边上，且∠EDF＝120°，连接EF．
（1）如图①，当DE⊥AB时，求DF的长；
（2）如图②，过点D作DG⊥DE交AC于点G．连接EG．
①求证：EG∥DF；
②求△DEF面积的最小值．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转
得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否
存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．13．辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，
若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形 ABCD中，
∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6 ，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么
四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．14．问题提出
（1）如图①，点O是等边△ABC的内心，连接OB、OC，则∠BOC的大小为 ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，点M、N分别
是DE、BC的中点，连接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的长；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，根据设计要求，在四边形
ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD与BC之间的距离为40m，∠A+∠D＝225°．试求四边形花园
ABCD面积的最小值．15．问题探究
（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC ＝ ．
（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4 ，请求出四边形
ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为
迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点 E、F分别在
边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已
知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少
需费用多少元？（结果保留整数，参考数据： ≈1.7）
