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运动轨迹为直线
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹
是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始
终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上
运动，Q的运动轨迹是？
解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP =QQ
1 1
理由：易知△CPP ≌△CPP ，则∠CPP =CQQ，故可知Q点轨迹为一条直线.
1 1 1 1模型总结
条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例题精讲
【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x
正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
变式训练
【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的
运动轨迹．
【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM
为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为 ．【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、
M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长
为 ．
【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段
BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是
（ ）
A． B．1 C．2 D．变式训练
【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作
等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连
接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C． D．1
【变式 2-3】．如图，等腰 Rt△ABC中，斜边 AB的长为 4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，
OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为 ．1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接
EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（ ）
3√2 5
A．2 B．1+ C．2√2 D．
2 2
2．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆
时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为
（ ）
A．6 B． C．6.5 D．7
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，
以PD为直径作 O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
⊙A．2 B．2 C．4 D．4
4．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距
离的最小值为 ．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点
A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动
点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点
P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之
运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线
段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为 ．
10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为
斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．
当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕
1
点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+ MP最小时，直接写出△DPN 的面积．
2
12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线
段DE，连接BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
13．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以 AD为边向右作等腰
Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；
（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，
旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3 时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．15．问题提出：
（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形 ．
问题探究：
（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到
ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．
（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到
DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．16．菱形ABCD的对角线交于点O．
（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD
的面积为24 ，求菱形ABCD的边长；
（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点
H，若AD＝AF，求证：OH＝ BH﹣OC；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B
逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连
接BC，点P是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4
倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直
角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说
明理由．
