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运动轨迹为直线
问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹
是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始
终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上
运动，Q的运动轨迹是？
解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP =QQ
1 1
理由：易知△CPP ≌△CPP ，则∠CPP =CQQ，故可知Q点轨迹为一条直线.
1 1 1 1
模型总结R条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
R结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
例题精讲
【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x
正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点
轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P ；（2）当点B在x轴上方且AB与x
1
轴夹角为60°时，作出P点位置P ．连接P P ，即为P点轨迹．
2 1 2
根据∠ABP＝60°，可知： 与y轴夹角为60°，作OP⊥ ，所得OP长度即为最小值，OP ＝
2
OA＝3，所以 ．
变式训练【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的
运动轨迹．
解：如图，直线QF即为所求．
【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM
为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为 ．
解：如图，连接CN，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，
∴点N在与BC成30度的射线CN上运动，
∴当DN⊥CN时，DN有最小值，
∵DN⊥CN，∠BCN＝30°，
∴DN＝ CD＝ ，
故答案为： ．
【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、
M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长
为 6 ．
解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB＝ ，
∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，
∴ ，P为主动点，M为从动点，C为定点，
由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于 ，
∴点M运动的路径长为 ÷ ＝6，
故答案为：6．【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段
BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是
（ ）
A． B．1 C．2 D．
解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝ AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝ ×60°＝30°，CG＝ AB＝ ×5＝ ，
∴MG＝ CG＝ ，
∴HN＝ ， 故选：A．
变式训练
【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作
等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
解：如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，
∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，
∴AH＝2＝CH，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，
∴点B，点D，点H，点E四点共圆，
∴∠BHE＝∠BDE＝45°，
∴点E在∠AHB的角平分线上运动，
∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，
∵∠AHE＝45°，∴AH＝ AE＝2，
∴AE的最小值为 ， 故选：B．
【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连
接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．0.5 B．2.5 C． D．1
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
延长HM交CD于点N．
则△EFB≌△EHG，
∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴△EBH为等边三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBE＝90°，
∴∠GHE＝∠FBE＝90°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，连接BH，EH，
则四边形HEPM为矩形，
∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝30°．
∵EC＝BC﹣BE＝3，
∴CP＝ EC＝ ，
∴CM＝MP+CP＝1+ ＝ ，即CG的最小值为 ．
方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，
则△CEG≌△EFH，
∴CG＝FH，
当FH⊥AB时，FH最小 ＝1+ ＝ ．
故选：B．
【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC边上的动点，
OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为 2 ．
解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM＝ PQ，CM＝ PQ，
∴OM＝CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长＝ AB＝2．
故答案为2．1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接
EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（ ）
3√2 5
A．2 B．1+ C．2√2 D．
2 2
解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接GT，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，
{
EB=ET
在△EBF和△TEG中， ∠BEF=∠TEG，
EF=EG
∴△EBF≌△TEG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝4，BE＝1，CD＝3，∴CE＝CD＝3，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，
∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝1，
1 3√2 3√2
∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ= DE= ，∴CG＝CJ+GJ＝1+ ，
2 2 2
3√2
∴CG的最小值为1+ ，故选：B．
2
2．如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆
时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为
（ ）
A．6 B． C．6.5 D．7
解：∵点B在直线y＝kx+2k上，
∴k（x+2）＝0，
∵k≠0，
∴x﹣2＝0，
∴A（﹣2，0），
∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），
在x轴上方作等边△AOF，
∵∠CAB＝∠FAO＝60°，
∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，
即∠CAF＝∠BAO，
在△AOB和△AFC中，
，
∴△AOB≌△AFC（SAS），
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∴点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，
∴CD+CE＝CD+CE'，
∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，
∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，
∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2× AF＝3，
即E'（ ， ），
∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝ ＝7，
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，
以PD为直径作 O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
⊙
A．2 B．2 C．4 D．4
解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T，∵ ，
∴OQ⊥PD，
∴∠QOD＝90°，
∴∠QCD＝ ，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝8，
∴AT＝AC•sin45°＝4 ，
∵AQ≥AT，
∴AQ≥4 ，
∴AQ的最小值为：4 ，
故选：D．
4．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距
离的最小值为 ．
解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，点C在OA上运动时，CD＝DE，CD⊥DE，
∴C为主动点，E为从动点，D为定点，由“瓜豆原理”，C在OA上运动，则E在垂直OA的直线上运动，
当DC⊥OA时，如答图：
过E作EM⊥OA于M，交OB于N，则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O，E两点间距离的最
小值，
∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，
∵CD＝DE，∴DE＝2，
∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，
4√3
∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN= ，
3
4√3 √3 4√3
∴ON＝4+ ，△OMN中可得OM= ×（4+ ）＝2+2√3，故答案为：2+2√3．
3 2 3
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点
A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为________
解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝ ，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝5 ，
∴DE＝AD﹣AE＝ ，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°＝ × ＝ ，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动
点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 ．
解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
3 7
∴DN＝BN= ，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN= ，
2 2
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，
{
DE=DF
在△DHE和△DBF中， ∠EDH=∠FDB，
DH=DB
∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
7 7
∴四边形CNHE是矩形，∴HE＝CN= ，故答案为： ．
2 2
BE 4
7．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF， = ，BG⊥EF于
BF 3
点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，BE AB 4
∵ = = ，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，
BF BC 3
∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，
AB EB 1 AC 5
∴ = = = = ，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，
PB GB sin∠BAC BC 3
∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，
即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，
∴当CG⊥PG时，CG最小，
AE AB 5 3
设此时AE＝x，∵ = = ，∴PG= x，
PG PB 3 5
CP 5
∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴ = ，
PG 3
3
代入PG= x，解得CP＝x，
5
18
∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC= ，
5
18 18 32 32
∴x= ，∴AE= ．∴CE= ，故答案为： ．
5 5 5 5
8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点
P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之
运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．
解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B，连接AP，AB，BB，
i i i∵AO⊥AB ，AP⊥AB，
1 i
∴∠OAP＝∠B AB，
1 i
又∵AB ＝AO•tan30°，AB＝AP•tan30°，
1 i
∴AB ：AO＝AB：AP，
1 i
∴△AB B∽△AOP，
1 i
∴∠AB B＝∠AOP．
1 i
同理得△AB B ∽△AON，
1 2
∴∠AB B ＝∠AOP，
1 2
∴∠AB B＝∠AB B ，
1 i 1 2
∴点B 在线段B B 上，即线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹）．
i 1 2 1 2
由图形2可知：Rt△APB 中，∠APB ＝30°，
1 1
∴ ，
Rt△AB N中，∠ANB ＝30°，
2 2
∴ ＝ ，
∴ ，
∵∠PAB ＝∠NAB ＝90°，
1 2
∴∠PAN＝∠B AB ，
1 2
∴△APN∽△AB B ，
1 2
∴ ＝ ＝ ，
∵ON的解析式为：y＝﹣x，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴OM＝MN＝ ，
∴PN＝ ，
∴B B ＝ ，
1 2综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B B ，其长度为 ．
1 2
故答案为： ．
9．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线
段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为 ．
解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，
∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，
∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，
∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，1
∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG= ∠EFG＝15°，
2
∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，
根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，
1
在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK= CD＝2，
2
∴CH＝KH=√2，∴CG的最小值为√2，故答案为√2．
10．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为
斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．
解：如图，作CH⊥AB于H，取CD的中点O，连接OE，OH，EH，作AG⊥EH交EH的延长线于G．
∵∠CED＝∠CHD＝90°，CO＝OD，
∴OE＝OH＝OC＝OD，
∴C，E，H，D四点共圆，
∴∠EHC＝∠EDC＝45°，
∴∠AHG＝90°﹣∠EHC＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线GH，当AE与AG重合时，AE的值最小，在Rt△ABC中，∵BC＝4，∠CAB＝30°，
∴AC＝ BC＝4 ，AH＝AC•cos30°＝6，
∵AG⊥HG，
∴∠G＝90°，
∵∠AHG＝∠GAH＝45°，
∴AG＝GH＝ AH＝3 ，
∴AE的最小值为3
11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．
当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕
1
点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+ MP最小时，直接写出△DPN 的面积．
2
解：以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于点G，过点P作PH⊥ML于点H，设MP交
BD于点K，如图，1 1
Rt△PMH中，HP= MP，∴NP+ MP最小即NP+HP最小，此时N、P、H共线，
2 2
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则点P在MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，
∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND为矩形，∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，
又∵DN＝2NC，∴等边△ABC中，AB＝6，点E为AB的中点，点M为BE中点，
3
∴BM= ，BD＝AB•sinA＝6×sin60°=3√3，
2
1 3 3√3
Rt△BGM中，MG= BM= ，BG＝BM•cos30°= ，
2 4 4
11 9√3 11√3
∴MH＝MG+GH= ，GD＝BD﹣BG= ，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°= ，
4 4 12
4√3 1 4√3
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP=
3
，∴S△DPN =
2
PN⋅DN=
3
．
12．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线
段DE，连接BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD＝BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
解：（1）补全图形如图1所示，AD＝BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝60°，
∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，
此时CD＝CE＝CF，
∵∠ACB＝∠CBE＝60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
∴CF＝ ＝ ＝2 ，
∴CD＝CF＝2
13．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，以 AD为边向右作等腰
Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；
（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
连接CE，如图，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，即CE⊥BC，
∴点E始终在过C点作BC的垂线上，
根据题意得，线段CF为所求作的点E的运动轨迹；（2）由题意可知，当EF⊥CE时，EF取最小值，如图，过点F作FM⊥BC于点M，
∵AB＝6，F为AB的中点，
∴BF＝3，
∵∠B＝45°，
∴BM＝ BF＝ ，
∵∠CMF＝∠CEF＝∠MCE＝90°，
∴四边形CEFM为矩形，
∴EF＝CM＝BC﹣BM＝ ＝ ．
∴EF的最小值为 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，
旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3 时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3 ，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝ ，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝ ＝ ＝ ．
当点E在CD上时，可得CF＝ ．
综上所述，CF的值为 或 ；
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴MJ＝ ，CJ＝ ，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣ ＝ ，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DH＝ ，
∴DF的最小值为 ．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连
接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3× ＝ ，
∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝ ，
∴DF的最小值为 ，
∵ ＜ ，
∴DF的最小值为 ．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，
连接DT，ET，DF．
证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为 ．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为 ．15．问题提出：
（1）如图①，△BCE≌△ACD，请在图中找到一组相似的三角形 △ CAB ∽△ CDE ．
问题探究：
（2）如图②，点D为等腰直角三角形ABC的直角边BC上的动点，AD绕点D顺时针旋转90°得到
ED，连接BE，求∠ADE与∠E的关系．
（3）如图③，点D是等边三角形ABC的AC上的动点．连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得到
DE，连接EA，EC，若AB＝2，直接写出EA+EC的最小值．
解：（1）△CAB∽△CDE，
∵△BCE≌△ACD，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，
∴ ＝ ＝1，∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECD， ＝ ，
∴△CAB∽△CDE，
故答案为：△CAB∽△CDE；
（2）∵AD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠E＝∠EAD＝45°，
∴∠ADE＝2∠E；
（3）延长AC到F，使CF＝BC．
∵△ABC为等边三角形，DB绕点D逆时针旋转120°得到DE，
∴∠EDF＝∠FCB＝120°，，
∴△EDB∽△FCB，
∴∠DBE＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠EBF，
，
△EBF∽△DBC，
∠DCB＝∠EFB＝60°，
∴点E在∠BFE的边FE上运动．找C关于FE的对称点C′，
∴∠EFC′＝∠EFC＝30°，∠C′EF＝90°，∠ABF＝90°，C′F∥AB，
∴A，E，C′共线，且AC′⊥FC′，AC′最小．则四边形ABFC′是矩形，
∴EA+EC最小＝AC′＝BF＝ ．16．菱形ABCD的对角线交于点O．
（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若∠ABC＝60°，四边形AECD
的面积为24 ，求菱形ABCD的边长；
（2）如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E，交DC延长线于点F，线段AF交OB于点
H，若AD＝AF，求证：OH＝ BH﹣OC；
（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，点P为射线AD上一动点，连接BP，将BP绕点B
逆时针旋转60°到BQ，连接AQ，直接写出线段AQ的最小值．
（1）解：如图1中，设AD＝2m．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2m，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，
∴BE＝CE＝m，
∴AE＝ m，
∵S四边形AECD ＝ ×（m+2m）× m＝24 ，∴m＝4或﹣4（舍去），
∴AD＝8；
（2）证明：如图2中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ．
∵AD⊥AD，AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，AD∥CB，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，
∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，
∴△BEH≌△AEC（ASA），
∴BH＝AC＝2OC，
∵BD垂直平分线段AC，
∴HA＝HC，
∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，
∵OQ＝OH，
∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，
∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，
∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，
∴QH＝QC＝ OH，
设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝ m，∴OC＝m+ m，
∴OH+OC＝m+m+ m＝2m+ m，
∵ BH＝ OC＝ （m+ m）＝ m+2m，
∴OH＝ BH﹣OC；
（3）解：如图3中，以AB为边向下作等边△ABT，连接PT，过点T作TH⊥AD于点H，在TH上取一
点J，使得AJ＝JT．
∵∠PBQ＝∠ABT＝60°，
∴∠ABQ＝∠TBP，
∵BP＝BQ，BA＝BT，
∴△ABQ≌△TBT（SAS），
∴AQ＝PT，
∴当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥CB，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝45°，∠BAT＝60°，
∴∠BAD＝135°，∠TAH＝75°，
∵∠AHT＝90°，
∴∠ATH＝15°，
∵JA＝JT，
∴∠JAT＝∠JTA＝15°，∴∠AJH＝∠JAT+∠JTA＝30°，
设AH＝a，则AJ＝JT＝2a，HJ＝ a，
∵AT＝AB＝9，
∴a2+（2a+ a）2＝92，
解得a＝ （ ﹣ ），
∴TH＝2a+ a＝ （ + ），
∴AQ的最小值为 （ + ）．
17．如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连
接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4
倍，求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直
角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说
明理由．
解：（1）∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0），
{0=−(−1) 2+b⋅(−1)+c {b=2
∴代入得 ，解得 ，
0=−32+3b+c c=3
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）①如图所示，当P在x轴上方时，
过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G，
AQ AE QE
可得△AQE∽△APF，∴ = = ，
AP AF PF
1
⋅AQ⋅BG
S 4 2 AQ AQ 4 AQ AE QE 4
∵ △ABQ= = = ，∴ = ，∴ = = = ，
S 1 1 QP AP 5 AP AF PF 5
△BPQ ⋅QP⋅BG
2
设点P（a，﹣a2+2a+3），∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，
4 4 4 4(a+1)
∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE= PF= ⋅(−a2+2a+3)，∴AE= AF= ，
5 5 5 5
4(a+1) 4a−1
∴OE＝AE﹣AO= −1= ，
5 5
4a−1 4
∴Q点的坐标可表示为（ ，
⋅(−a2+2a+3)），
5 5
∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点，∴C（0，3），可得BC的解析式为y＝﹣x+3，
4 4a−1
∵Q在BC上，∴ ⋅(−a2+2a+3)=− +3，
5 5
3+√5 3−√5
解得a= 或 ．
2 2
②如图所示，当P在x轴下方时，3+√13 3−√13
同理①可求出P点的横坐标为 或 ，
2 2
15−√305 3−√13 3−√13
∵﹣1＜ 0，∴当P点横坐标为 时，P在抛物线的AC段，
10 2 2
3+√5 3−√5 3−√13
综上所述，P点的横坐标为 或 或 ．
2 2 2
（3）如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于点H，
∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形，
AN AK
∴ = ，∠NAM＝∠BAK，∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，
AM AB
∴∠NAK＝∠MAB，∴△NAK∽△MAB，∴∠NKA＝∠MBA，
∵C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB，
∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，∴NK∥AB，
∵两条平行线之间的距离相等，
∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长，
1
∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，∴KH= AB=2，
2
1 1
∴S = ⋅AB⋅KH= ⋅4⋅2=4．
△ABN 2 2
综上所述，△ABN的面积不变，为4．
