文档内容
模型介绍
【结论一】
如图 直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.
【结论二】
如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有
以下结论成立：
过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为
AQ的长度.
方法点拨
1.题型特征：
①一定点 ②动点的运动轨迹为直线
2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.例题精讲
【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是 ≤ AM ＜ 6 ．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝ EF＝ AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝ ＝13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC ＝ ×5×12＝ ×13×AP，
∴AP＝ ，
即AP的范围是AP≥ ，∴2AM≥ ，
∴AM的范围是AM≥ ，
∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，
∴ ≤AM＜6．
故答案为： ≤AM＜6．变式训练
【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则
线段PC的最小值是 ．
解：作CP⊥AB于P，
由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB＝ ＝ ＝5，
S△ABC ＝ ×AC×BC＝ ×AB×PC，即 ×3×4＝ ×5×PC，
解得，PC＝ ，
故答案为： ．
【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上
的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2 ，
即DQ+PQ的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、
BC上的动点，试求CM+MN的最小值．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN
的最小值，
∵BC＝4 ，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BC•cos45°＝4 × ＝4．
故CM+MN的最小值为4．
【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且
AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是 ．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，∴PE＝ PB，
∴MP+ PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝ ＝ ，
∴ME＝ ，
∴MP+ PB的最小值为 ，故答案为 ．
实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE
的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
解：当DE⊥AB时，DE的值最小，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，
∴DE的最小值＝CD＝5， 故选：C．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段
BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）A．2 B．4 C．5 D．6
解：作C点关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，
∴EG＝EC，
∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此时EC+EF最小，
∵BD平分∠ABC，
∴G点在AB上，
∴BC＝BG，
∵AC＝BC＝10，
∴BG＝10，
∠ACB＝4∠A，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴GF＝ BG＝5，
∴EC+EF的最小值是5， 故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6 ，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连
接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6 ，BD＝6，
∴AB＝ ＝3 ，
由S菱形ABCD ＝ AC•BD＝AB•E′M得 ×6 ×6＝3 •E′M，
解得：E′M＝2 ，
即PE+PM的最小值是2 ，故选：C．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，
则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P 处，CP ＝DP ，
1 1 1当点F与点E重合时，点P在P 处，EP ＝DP ，
2 2 2
∴P P ∥CE且P P ＝ CE，
1 2 1 2
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P P∥CE且P P＝ CF，
1 1
∴点P的运动轨迹是线段P P ，
1 2
∴当BP⊥P P 时，PB取得最小值，
1 2
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP 为等腰直角三角形，CP ＝2，
1 1
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP B＝45°，∠DEC＝90°，
1
∴∠DP P ＝90°，
2 1
∴∠DP P ＝45°，
1 2
∴∠P P B＝90°，即BP ⊥P P ，
2 1 1 1 2
∴BP的最小值为BP 的长，
1
在等腰直角△BCP 中，CP ＝BC＝2，
1 1
∴BP ＝2 ，∴PB的最小值是2 ． 故选：D．
1
5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以
相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝ ，
在△ADE和△BDF中 ，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为 ，∴EF的最小值为 ．故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接
PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中， ，∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点 Q 在射线 TQ 上运动（点 T 是定点，∠CTQ 是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝ CT＝ CD＝ BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝ CD＝1，
∴CQ的最小值为1．故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC ＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC
上一动点，则CM+MN的最小值是 ．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，
∴MN+CM＝ME+CM＝CE，
∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，
在△ABC中，AB＝6，S△ABC ＝10，又∵ •AB•CE＝S△ABC ，∴ ×6×CE＝10，
CE＝
∴
故答案为 ．
8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动
点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝ ，则BE+EF的最小值为 ．
解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），
∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，
∵AB＝8，AC＝10，BD＝ ，∴B'D＝ ，BC＝6，
∵AB＝AB'，∴AB'＝8，
∵sin∠CAB＝ ＝ ＝ ，∴B'F＝ ，∴BE+EF的最小值为 ，故答案为 ．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝ ，连
接EF，BG，则EF+BG的最小值为 ．
解：如图，取BC的中点E'，连接EE'，GE'，
∵E为AB的中点，
∴EE'为△ABC的中位线，即EE'∥AC，且EE'＝ AC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝ ＝2 ，
∴EE'＝ AC＝ ，
∵FG＝ ，
∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF为平行四边形，
∴EF＝E'G，连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG，
∴EF+BG＝E'G+DG，
根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D在同一直线上时，E'G+DG取得最小值，
即此时EF+BG的最小值为线段E'D的长度，
连接E'G，则在Rt△E'CD中，
∵E'C＝1，CD＝2，
∴E'D＝ ＝ ，
故EF+BG的最小值为 ，
故答案为： ．
10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与
边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为 6 ﹣ 3 ．
解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长
线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：∵AD∥CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3 ，
∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，
∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，
∴△AOK≌△MOT（AAS），
∴OK＝OT＝ ，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK＝ ，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，
∴AF＝2OR≥3 ，
∴AF的最小值为3 ， ∴DF的最大值为6﹣3 ． 故答案为：6﹣3 ．
11．如图，边长为8 的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C
逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中， ，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4 ，∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝ BD＝ ×4 ＝2 ，∴DF的最小值是2
故答案为2 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P
三点 O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 ．
⊙
解：∵经过P、E、F三点确定 O，由圆周角定理可知： O的直径为EF，
连接PC，PF，PE，∵AC＝BC⊙＝8，∴△ABC是等腰直角⊙三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，
∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝ PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，
此时PE＝ AC＝4，∴EF的最小值＝4 ，故答案为：4 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过
点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 ．
解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，
∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，
∴AM＝OM，
∴点M在线段AO的垂直平分线上，
作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，
连接AD，则AD＝OD，∵A（2，4），
∴AF＝2，OF＝4，
设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，
∵FD2+AF2＝AD2，
∴（4﹣t）2+22＝t2，
∴t＝ ，
∴OD＝ ，
∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，
∴∠FOA＝∠OED，
∵∠AFO＝∠DOE＝90°，
∴△FAO∽△ODE，
∴ ，
即AF•OE＝OD•OF，
∴OE＝5，
∵P（1，0），
∴PE＝4，
在Rt△AFO中，
OA＝ ＝2 ，
当PM⊥DE时，PM最小，∴∠PME＝∠AFO＝90°，
∴△PME∽△AFO，
∴ ，
∴ ，
∴PM＝ ，
故答案为： ．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三
角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 ．
解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD，
∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，
∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴点F的运动轨迹是GF，∴BF的最短距离为 ×2 ＝ ；
如图2，当点E移动到点B时，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，
BF＝ BD＝2 ，所以BF的取值范围为2 ﹣2≤BF≤2 ，
故答案为： ≤BF≤2 ．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求MN的最
小值．
解：如图①，
∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN为斜边作等腰Rt△MON，
以OM为半径作△CMN的外接 O，连接OC、OM、ON，
取MN的中点为P，AB的中点为⊙Q，连接OP、CP、CQ，
设 的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，
在⊙Rt△MON中，OM＝ON＝r，
∴CQ＝ ，OP＝ r，MN＝ r．
∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+ r≥CP≥ ．
如图②，
当且仅当点C、Q、P共线，且CP与CQ重合时，r+ r＝ ，此时r最小，解得r＝ ﹣1，MN＝ r＝2﹣ ，即MN的最小值为2﹣ ．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．
（1）求AM+BM+CM的最小值；
（2）求AM+ BM的最小值．
解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转
60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC
＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，
∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，
∴BM＝MM′，
∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，
当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，
此时A′C＝2CE＝2 ．
故AM+BM+CM的最小值为4 ；
（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH＝ BM，
∴AM+ BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝2 ，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥2 ，
∴AM+ BM≥2 ，
∴AM+ BM的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
17．如图，二次函数 的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段
OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，
且点D与O、A点不重合．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求证：△OCD∽△A′BD；
（3）求 的最小值．（1）解：在 中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵ ＝ （x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴A的坐标为（4，0），C的坐标为（2，﹣2）；
（2）证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
（3）解：∵△OCD∽△A′BD，
∴ ，
∵AB＝A'B，
∴ ＝ ，
∴ 的最小值就是 的最小值，
∵C（2，﹣2），
∴OC＝2 ，
∴当CD⊥OA时，CD最小， 的值最小，此时CD＝2， 的最小值为 ＝ ．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点A（1，0），C（﹣3，0）．与y轴交点B（0，3），如图1所示，
D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则 RB+AR的最小值为 2
（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于
点Q、F、E，如图2所示，求证：EF＝EP．
（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN＝∠CTN．直接写出点T的坐
标．
解：（1）根据题意得：
，
解得： ，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1中，作RH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，
∴BC＝3 ，∠HBR＝45°，
在Rt△BHR中，RH＝ BR，
∴AR+ BR＝AR+RH，
∴当H、R、A共线时，AR+ BR＝AR+RH的值最小，
此时 •BC•AH＝ •AC•OB，
∴AH＝2 ，
∴AR+ BR的最小值为2 ．
故答案为2
（3）如图2中，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则D的坐标是（﹣1，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，则 ，
解得： ，
则直线BC的解析式是y＝x+3．
同理，直线CD的解析式是y＝2x+6．
∵动点P（m，0）在x轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x轴．
∴点 E（m，m+3），点 F（m，2m+6），即 PE＝m+3，PF＝2m+6．EF＝PF﹣PE＝（2m+6）﹣
（m+3）＝m+3．
∴EF＝EP；
（4）如图3中，
延长AB交MN于T，连接TC．
∵MN垂直平分线段AC，
∴TC＝TA，
∴∠CTN＝∠ATN，即∠CTN＝∠BTN．
∵直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，
∴x＝﹣1时，y＝6，
∴T的坐标（﹣1，6）．
