文档内容
模型介绍
一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相
等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”
如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角
类型一：一线三直角模型
如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．
D
C
3
1 2
A
P B
类型二：一线三锐角与一线三钝角模型如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD．
C
D
3
A P B
证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3
∴∠C＝∠DPB，
∵∠1＝∠2， ∴△ACP∽△BPD
如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角）
D
C
1 3 2
A P B
【解题关键】构造相似或全等三角形.
例题精讲
考点一：一线三等角直角模型
【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为 8
cm2．
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠HCD，
在△ABC和△CHD中，
，
∴△ABC≌△CHD（AAS），
∴DH＝BC＝4，
∴△BCD的面积＝ ×BC×DH＝ ×4×4＝8（cm2），故答案为：8．
变式训练
【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，
则△CDE的面积等于 平方厘米．
解：过E作EH⊥CD于H，如图，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又∵∠EHD＝∠DAG＝90°，ED＝DG，
∴△EDH≌△DGA，
∴EH＝AG，
∵S ＝7cm2，S ＝11cm2，
ABCD DGFE
∴CD＝AD＝ cm，DG＝ ，
∴在Rt△ADG中，AG＝ ，
∴S△CDE ＝ CD×EH＝ CD×AG＝ × ×2＝ cm2，故答案为： ．【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC
上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 8 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，
∵点F是CD的中点，∴CF＝ CD，∴BE＝CF＝ AB，
∵BE+CE＝BC＝12，∴ AB+AB＝12，∴AB＝8， 故答案为：8．
【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐
标分别是（ ）
A．（ ，3），（﹣ ，4） B．（ ，3），（﹣ ，4）
C．（ ， ），（﹣ ，4） D．（ ， ），（﹣ ，4）解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，
交点为F．
∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE．
∵在△ACF和△OBE中，
∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3．
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE．
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OE＝ ，即点B（ ，3），∴AF＝OE＝ ，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣ ）＝﹣ ，∴点C（﹣ ，4）．故选：B．
【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经
过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（ ）
A． B． C． D．
解如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D
∵∠BAO＝90° ∴∠OAC+∠BAD＝90°且∠BAD+∠ABD＝90°
∴∠ABD＝∠CAO 且∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB∴△ACO≌△DAB ∴AD＝CO，BD＝AC
∵A（n，1）（n＞0） ∴OC＝AD＝1，AC＝BD＝n． ∴B（1+n，1﹣n）
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点
∴n×1＝（1+n）（1﹣n） ∴n＝ ∴k＝1×n＝ 故选：A．
考点二：一线三等角锐角或钝角模型
【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，
BD＝3，则CF等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，∠ADB+∠FDC＝120°∴∠BAD＝∠FDC
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△CDF，∴AB：BD＝CD：CF，
即9：3＝（9﹣3）：CF，∴CF＝2．故选：B．
变式训练
【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD
上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为 3 ．
解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠EBA+∠BAE，∠BAC＝∠FAC+∠BAE，∴∠EBA＝∠FAC，∠AEB＝∠CFA，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
∴△ABE的面积＝△ACF的面积，
∵CD＝3BD，
∴BC＝4BD，
∴△ABD的面积＝ △ABC的面积＝ ×12＝3，
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABD的面积＝3；故答案为：3．
【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接
OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是 6 ．
解：连接OD，
∵PO＝PD，∴OP＝DP＝OD，∴∠DPO＝60°，
∵等边△ABC，∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，
∴∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，∴△OPA≌△PDB，
∵AO＝3，∴AO＝PB＝3，∴AP＝6．故答案是：6．
【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．
（1）求证： ＝ ；（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如
图2，若∠AFE＝45°，求 的值．
（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝
∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，
∴CF＝ a，DF＝CD﹣CF＝ a，
∴ ＝ ＝ ．
（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF．
∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝ EF，
∵FH＝FD，
∴∠FHD＝∠D＝45°，
∴∠AHF＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝135°，
∴∠AHF＝∠C，
∵∠AFC＝∠D+∠FAH＝∠EFC+∠AFE，∠AFE＝∠D，
∴∠HAF＝∠EFC，
∴△AHF∽△FCE，
∴EC：HF＝EF：AF＝1： ＝ ：2，
∴ ＝ ．
实战演练
1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE
的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4， ，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形
内点F的位置，连接AF，若 ，则CE＝（ ）
A． B． C． D．
解：过点F作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N，
则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠可得，EC＝EF，BC＝BF＝ ，∠C＝∠BFE＝90°，
在Rt△AMF中，tan∠BAF＝ ，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理可得，
，
解得x＝1或x＝ （舍去），
∴FM＝1，AM＝BM＝2，FN＝MN﹣FM＝BC﹣FM＝ ﹣1，
∵∠EFN+∠FEN＝∠EFN+∠BFM＝90°，
∴∠FEN＝∠BFM，
又∵∠FNE＝∠BMF，
∴△EFN∽△FBM，
∴ ，
即 ，
解得EF＝ ．
∴EC＝ ． 故选：C．
3.如图，已知l ∥l ∥l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平
1 2 3
行直线上，则sinα的值是（ ）
1 B. 6 C．√5 D. √10
A．3 17 5 10
解：如图，过点A作AD⊥l 于点D，过点B作BE⊥l 于点B，设l ，l ，l 之间的距离为1
1 1 1 2 3
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE
在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°
∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt ACD中AC=√AD2+CD2=√22+12=√5
△
1 √10
在等腰直角△ABC中AB=√2AC=√2×√5=√10∴sinα= = 故选：D
√10 10
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等
边三角形，若AD＝ CD．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，设AC＝1，则AB＝2AC＝2，
∴BC＝ ＝ ，
∵AD＝ CD，AD+CD＝1，∴AD＝ ，CD＝ ，
过点D作DH⊥AB于H点，
∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°，
∴AH＝ AD＝ ，DH＝ ，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE，∠C＝∠DHE＝90°，∠FDE＝60°，
∴∠CFD+∠CDF＝∠CDF+∠HDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴∠CFD＝∠HDE，
∵∠FCD＝∠DHE＝90°，DF＝ED，∴△DCF≌△EHD（AAS），
∴HE＝CD＝ ，
∴BE＝2﹣ ，AE＝ ，∴ ，故选：D．
5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝ ，D是边BC上一点（点D不与端点
重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为
（ ）
A． B． C．2 D．3
解：∵△ABC是等边三角形，AB＝4，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
∵∠BPD+∠B＝∠QDC+∠PDQ，∠B＝∠PDQ＝60°，
∴∠BPD＝∠CDQ，
∴△BDP～CQD，
∴ ，
∵BC＝4，BP＝ ，CQ＝a，
∴ ，
∴2BD2﹣8BD+3a＝0，
∵满足条件的点D有且只有一个，
∴方程2BD2﹣8BD+3a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝64﹣4×2×3a＝0，
解得：a＝ ，故选：B．6．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边
形DECHF的面积，则只需知道（ ）
A．△ABC的面积 B．△BFG的面积
C．四边形AFGH的周长 D．△BDE的面积
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
在△AFH和△CHG中，
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴S△AFH ＝S△CGH ，
同理可求S△BGF ＝S△AFH ，
∴S△AFH ＝ （S△ABC ﹣S△GFH ），
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴S△BDE ＝S△FGH ，
∴S△BDE ＝S△ABC ﹣3S△AFH ，∴五边形DECHF的面积＝S△ABC ﹣S△AFH ﹣S△BDE ＝2S△AFH ＝2S△BFG ，
∴知道△BFG的面积可求五边形DECHF的面积，故选：B．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺
时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值为3，故选：C．
8．设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且 OA⊥OB．连接点 A、B，过O作
OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝4x2，
则AE＝4a2，BF＝4b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
化简得：m＝4ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
化简得ab＝ ，
则m＝4ab＝ ，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0， ），
∵∠DCO＝90°，DO＝ ，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为 DO＝ 时，点C到y轴的距离最大，故选：B．9．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的
长为 ．
解：过点E作EM⊥BC，垂足为M，
∴∠DME＝∠BME＝90°，
∴∠EDM+∠DEM＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CDA+∠EDM＝90°，
∴∠CDA＝∠DEM，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD＝ BC＝2，
∵∠C＝∠DME＝90°，
∴△ACD∽△DME， ∴ ＝ ＝ ，
∴设EM＝2x，则DM＝3x，
∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BME∽△BCA，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BM＝ x，
∵BD＝2，∴DM+BM＝2，
∴3x+ x＝2，∴x＝ ，∴EM＝ ，BM＝ ，
∴BE＝ ＝ ＝ ， 故答案为： ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP
＝45°，则点P的坐标为 （ 3 ，﹣ 4 ） ．
解：将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∵B（0，2），A（6，0），
∴D（﹣2，﹣4），
取AD的中点K（2，﹣2），
直线BK与直线y＝﹣x﹣1的交点即为点P．
设直线BK的解析式为y＝kx+b，
把B和K的坐标代入得： ，
解得：k＝﹣2，b＝2，
则直线BK的解析式是y＝﹣2x+2，
由 ，解得： ，∴点P坐标为（3，﹣4），故答案为：（3，﹣4）．
11．已知反比例函数y＝ ，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝ 上找出一点P，使∠POE＝
45°，则此点P的坐标为 （ 2 ， ） ．
解：方法一、过点E作EA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥x轴于点B，如图所示．
∵点E（3，4）在函数y＝ 的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴设点P的坐标为（n， ），则点A（3，0），点B（n，0），
S四边形OBPE ＝S△OAE +S梯形PBAE ＝ |k|+ （PB+EA）•AB＝6+ （ +4）（n﹣3）＝2n﹣ +6．
S△OEP ＝S四边形OBPE ﹣S△OBP ＝2n﹣ +6﹣ |k|＝2n﹣ ．
由两点间的距离公式可知：
OE＝ ＝5，OP＝ ，
S△OEP ＝ OE•OP•sin∠EOP＝ ＝2n﹣ ，即7n4﹣576n2﹣1008＝0，
解得：n2＝84或n2＝﹣84（舍去），
∴n ＝2 ，n ＝﹣2 （舍去）．
1 2
∴点P的坐标为（2 ， ）；
方法二、
如图，过点E作EF⊥OE交OP于点F，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，过点F作FM⊥NE于点M，
∴∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠NOE+∠OEN＝90°，
∵∠OEF＝90°，∴∠OEN+∠FEM＝90°，∴∠NOE＝∠MEF，
若∠POE＝45°，则OE＝EF，
在△ONE和△MEF中，
∵ ，
∴△ONE≌△MEF（AAS），
∴EM＝ON＝4、MF＝NE＝3，
则点F的坐标为（7，1），
∴直线OF的解析式为y＝ x，
由 ，解得x＝2 或x＝﹣2 （舍），
当x＝2 时，y＝ ＝ ＝ ＝ ，
即点P（2 ， ），故答案为：（2 ， ）．
12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若 ，＝ ．
解：如图：作∠BAM＝∠CDN＝30°，交CB的延长线于点，交BC的延长线于点N，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABM＝∠DCN＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠BAM＝60°，∠N＝90°﹣∠CDN＝60°，
∴∠MAE+∠AEM＝180°﹣∠M＝120°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠AEM+∠DEN＝180°﹣∠AED＝120°，
∴∠MAE＝∠DEN，
∵∠M＝∠N＝60°，
∴△AME≌△END（AAS），
∴AM＝EN，ME＝DN，
∵ ，
∴设AB＝n，CD＝m，
在Rt△AMB中，BM＝ ＝ ＝ n，
AM＝ ＝ ＝ n，
∴AM＝EN＝ n，在Rt△DCN中，CN＝ ＝ ＝ m，
DN＝ ＝ ＝ m，
∴ME＝DN＝ m，
∴CE＝EN﹣CN＝ n﹣ m，
BE＝EM﹣BM＝ m﹣ n，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， 故答案为： ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝ ，若
DE＝10，BD＝3，求CE的长． α
解：∵∠AEC＝∠BAC＝ ，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α ，
∠BAD+∠CAE＝180°﹣ ，α
∴∠ECA＝∠BAD， α
在△BAD与△ACE中，
，∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．
14．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的
延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．
（1）若∠AED＝30°，则∠ADB＝ 9 0 °． （2）求证：△BED≌△CDF．
（3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为 D ．
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD＝DE
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（AAS）（3）∵△BDE≌△CFD，
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD＝2+AD，
∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，
∴AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，故选D
15．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，
△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与
AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE的长；若不能，请
说明理由．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：设BE＝x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴ ＝ ，即： ＝ ，∴CM＝﹣ x2+ x＝﹣ （x﹣3）2+ ，
∴AM＝AC﹣CM＝ （x﹣3）2+ ，
∴当x＝3时，AM最短为 ．
（3）解：在△DEF运动过程中，重叠部分能成等腰三角形．理由如下：
（i）当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1；
（ii）当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，即∠CAB＝∠CEA，
∵∠C＝∠C， ∴△CAE∽△CBA，
∴ ＝ ，∴CE＝ ＝ ，∴BE＝6﹣ ＝ ；
（iii） 当AE＝AM时，
∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；∴BE＝1或 ．
16．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P
在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正
半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所
示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，
写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）如图①，过B作BF⊥OA于F，
∵A（0，10），
∴OA＝10，
∵B（8，4），
∴BF＝8，OF＝4，
∴AF＝10﹣4＝6，
∴AB＝10，
由图②知：点Q运动时间为10秒，运动速度为：（11﹣1）÷10＝1，且Q（1，0），
∵动点Q，P的运动速度相同，∴点P运动速度为每秒1个单位长度；
（2）如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF＝BE＝4，
由（1）知：AF＝6，AB＝10；
过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABF≌△BCH，
∴BH＝AF＝6，CH＝BF＝8，
∴OG＝FH＝8+6＝14，CG＝8+4＝12，
∴所求C点的坐标为（14，12）；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
∴PM∥BF，
则△APM∽△ABF，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，∴AM＝ ，PM＝ t，
∴PN＝OM＝10﹣ t，ON＝PM＝ t，
∴S＝S△OPQ ＝ PN•OQ
＝ ×（10﹣ t）（1+t）＝﹣ （0≤t≤10）；
（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件；
①当P在AB上时，如图③， t＝ （t+1），t＝ ，OP与PQ相等，
②当P在BC上时，如图④，则PB＝t﹣10，
sin∠ABF＝sin∠BPM＝ ，
∴ ，
∴BM＝ （t﹣10），
∴ON＝BF+BM＝8+ （t﹣10），
8+ （t﹣10）＝ （t+1），解得：t＝﹣15（舍），
③当P在CD上时，如图⑤，则PC＝t﹣20，
cos∠PCR＝cos∠BCH＝ ，
∴ ，
∴CR＝MH＝ （t﹣20），
∴ON＝OG﹣NG＝FH﹣MH＝14﹣ （t﹣20），
14﹣ （t﹣20）＝ （t+1），解得：t＝ ，
即当t＝ 时，OP＝PQ，综上所述，当t＝ 或 时，OP与PQ相等．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长（用含m的代数式表示）；
（2）当2≤m≤4时，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），求a的取值范围；
（3）如图，在y轴上有一点P（0，3），当∠APB＝∠ABC时，求m的值．解：（1）解方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0，得x＝﹣1或x＝m，
∴A（﹣1，0），B（m，0），
∴AB＝m﹣（﹣1）＝m+1；（2）抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m的对称轴为直线x＝ ，
∵抛物线过点（a，b）和（a+5，b），
∴点（a，b）和（a+5，b）关于直线x＝ 对称，
∴ ＝ ，
∴a＝ ﹣3，
∵2≤m≤4，
∴﹣2≤a≤﹣1；
（3）作△ABP的外接 M，连接MP，MA，MB，过点M作MQ⊥OP，垂足为Q，
∴MA＝MB＝MP， ⊙
∴点M在抛物线的对称轴直线x＝ 上，
由y＝x2+（1﹣m）x﹣m与y轴的交点C（0，﹣m），∴OC＝m，
∵B（m，0），∴OB＝m，∴∠ABC＝45°，
∵∠APB＝∠ABC，∴∠APB＝45°，∴∠AMB＝90°，
∴点M到x轴的距离＝ AB＝ （m+1），∴M的坐标为（ ， ），
∵P（0，3），
∴PM2＝[3﹣ （m+1）]2+（ ）2，AM2＝ （m+1）2，
∵PM＝AM，∴[3﹣ （m+1）]2+（ ）2＝ （m+1）2，
解得m＝ ．
