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模型介绍
正方形内部，MN⊥EF，则MN=EF
★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.例题精讲
考点一、正方形中的十字模型
【例1】．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，
则GF的长为_______
变式训练
【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，
交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的长为 ．
【变式1-2】．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于
点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的长为 ．【变式1-3】．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝
DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，
则线段AN的长为 ．
考点二：矩形中的十字模型
【例2】．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点
F处，连接BF．已知AD＝5，AB＝3，求折痕CE的长．
变式训练
【变式2-1】．如图，把边长为 ， 的矩形 对折，使点 和 重合，求折痕 的长．【变式2-2】．如图，矩形ABCD中，BC：AB＝1：2，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿
GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O，
连接CP，若tan∠CGP＝ ，GF＝2 ，CP的长为 ．
【变式2-3】．如图，在矩形 ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点 E作
EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为
．实战演练
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、
DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．4 D．4
2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①
CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边
上的F处，则CE的长为 ．4．如图，在Rt△ACB中，AC＝4，BC＝3，点D为AC中点，连接BD，作CE⊥BD交AB于点E，垂足为
F，则CE＝ ．
5．如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，
则FG＝ ．
6．如图，在边长为2 的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H
分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
7．如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接
EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线
段AE的长为 ．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，
求 的值．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，
且AM⊥DN， 的值．10．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
11．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时， 成
立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出 的值．12．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，EF⊥GH于M，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，
BC于点G，H．
（1）【观察猜想】如图①，当a＝b时，线段EF与线段GH的数量关系是 ．
（2）【类比探究】如图②，当a≠b时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成
立，请写出正确的结论，并说明理由．
（3）【拓展运用】如图③，在四边形ABCD中，BC＝CD＝5，∠B＝∠ADC＝90°，AE⊥DF于G，点
E、F分别在边BC、AB上，若 ＝ ，求AB的长．13．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想
的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且
EG⊥FH．则 ＝ ．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，
且CE⊥BF．求 的值．
14．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点
G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断 的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中， ＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点
A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与
AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝ 时，若 ＝ ，GF＝2 ，求CP的长．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/2 20:215．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交边AB、CD、AD、BC于点
6:29；用户
E、F、G、H
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE ＝S△AOG ，又因为S△AOB ＝ S四边
形ABCD ，所以S四边形AEOG ＝ S正方形ABCD （不要求证明）；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG ＝ S矩形ABCD ，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，
求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG ＝ S
ABCD
，若AB＝3，AD＝5，BE＝
▱
1，则AG＝ ．
