文档内容
模型介绍
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以
采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使
其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就
是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知
线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲
考点一：截长型
【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.
变式训练
【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．
【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝
3，CE＝4，S ACE＝14，则S ACD＝________．
△ △【变式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
考点二：补短型
【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°
求证：BD+DC＝AB．
变式训练
【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE分别平
分∠ABC、∠BCD．求证：BC＝AB+DC．
【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，再证明 ，可得
出结论 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， 、 分别是 ， 上的点 ，上述结
论是否仍然成立
【学以致用】
如图3，四边形 是边长为5的正方形， ，求 的周长．实战演练
1．如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则 ABC的周长为（ ）
A．21 △ B．24 C．27 D．30 △
2．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝ ．
3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．
求证：AD+CD＝AB．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于
点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且 AP、BQ分别是
∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）BQ＝CQ；
（2）BQ+AQ＝AB+BP．
6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．
求证：
（1）点E是AD的中点；
（2）BC＝AB+CD．
8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，
（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；
（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．
9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，
再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝
AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF
＝ ∠BAD．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；
（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点
F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数
量关系，并证明你的猜想．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和
第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；
（3）求∠BEO度数；
（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP
延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上
（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎
样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程
中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，
并求出定值．
