文档内容
模型介绍
【模型总结】
在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为
“PB+PC”型．
而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．
【问题】
如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.
【问题解决】
构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．
B
B
l
A α
A P
P
C
D
将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，
即PB+kPA最小．
B
A α
P
C
D例题精讲
【例1】．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则
CD+ BD的最小值是 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续
思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+ CP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝ ，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上
的动点，则PC+ PB的最小值为 ．
【变式1-3】．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2 ），C（1，0），D为射线AO上一
点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个
运动时间最少，则点D的坐标应为________.
【例2】．如图， ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则 PD+2PB最小值为
． ▱变式训练
【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，
且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是 ．
【变式2-2】．如图，AC是 O直径，AC＝4，∠BAC＝30°，点D是弦AB上的一个动点，那么 DB+OD
的最小值为 ． ⊙
【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ 的顶点为A点，且与x轴的正半轴
交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则OP+ AP的最小值为（ ）A．3 B．2 C． D．
实战演练
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（
）
A．2 +6 B．6 C． +3 D．4
2．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则
AP+PB的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则 BP+AP的最小值为（ ）A．5 B．10 C．5 D．10
4．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4 ，P为OB上一动点，则AP+ OP的最小
值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x
轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则 PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D． +
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为
．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接
PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2
，则BC＝ ．
9．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC边在x轴上，BC边
的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴
上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 ．10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，
点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
11．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），点M（﹣1，
4）为抛物线的顶点，AM中点D坐标为（﹣2，2）；如图，Q点为y轴上一动点，直接写出DQ+
OQ的最小值为 ．12．在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）如图1，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若ED＝2−√3，
求线段BF的长度；
（2）如图2，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，过点D作DM⊥DC，连接MC，且∠MCE＝15°，连
接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若AB＝2√6，求QB+QC+QD的最小值．13．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l ，直线l 与x轴交于点C；
1 1
直线l ：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l 交于点D．
2 1
（1）填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）直线l 的表达式为 ；
1
（3）在直线l
1
上是否存在点E，使S△AOE ＝2S△ABO ？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1
个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运
动过程中所用时间最少时点P的坐标．14．直线y＝ 与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对
称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+ CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是 ．15．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的
动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，y ）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
0
（Ⅲ）点Q（b+ ，y ）在抛物线上，当 AM+2QM的最小值为 时，求b的值．
Q16．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点
C，经过点A的直线y＝﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的
坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，
沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停
止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
