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模型介绍
运动轨迹为圆
问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹
是？
P
Q
A M O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，
任意时刻，均有△AMQ∽△AOP， ．
问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
M
Q
P
A O
解析：Q点轨迹是一个圆
理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
模型总结
R条件：两个定量
（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
R结论
（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之
比．
例题精讲
【例1】．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则
的面积的最大值为
解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．
∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，
∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，
即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，
当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，
CB边上的高取最大值为2 +2，此时面积为4 +4．变式训练
【变式1-1】．如图，线段AB为 O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是 O上一动
点，连接CP，以CP为斜边在⊙PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长⊙的最大值
为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则 CO＝2CE，OE＝2 ，∠OCP
＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴ ＝ ＝2
∴△COP∽△CED，
∴ ＝ ＝2，即 ED＝ OP＝1（ 定长 ），
∵点 E 是定点，DE 是定长，
∴点D在半径为1 的 E上，
∵OD⩽OE+DE， ⊙
∴OD≤ +1，
∴OD 的最大值为 +1，
故选：C．
【变式1-2】．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是 C上的任意一
点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ⊙）
A．6 B． C． D．
解：连接AQ，CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
由旋转得：
DP＝DQ，∠QDP＝90°，
∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，
∴∠ADQ＝∠CDP，
∴△ADQ≌△CDP（SAS），
∴AQ＝CP＝2，
∴点Q的轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆上，
∴当点Q在BA的延长线时，BQ的值最大，如图所示：∴BQ的最大值＝AB+AQ＝4+2＝6，故选：A．
【例2】．四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺
时针旋转90度，则CQ的最大值＝ 2+ 2 ．
解：如图，∵BP⊥PC，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的运动轨迹是以BC为直径的圆，
∵PD⊥DQ，PD＝QD，
∴点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，
（可以利用旋转法证明：取 BC 的中点 E，连接 DE，PE，将△DEC 绕点 D 顺时针旋转 90°得到
△DAO，连接OQ，只要证明△DEP≌△DOQ即可，推出OQ＝PE＝的值）
在Rt△BOC中，OC＝ ＝ ＝2 ，
∴当点Q 在CO的延长线上时，CQ 的长最大，最大值为2+2 ，
1 1
故答案为2+2 ．变式训练
【变式2-1】．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是 3 ．
解：以AB为斜边向上作等腰直角△AJB，连接CJ，BC．
∵AM＝BM，
∴JM＝AM＝MB，
∴△JMB是等腰直角三角形，
△PBC是等腰直角三角形，
∴BJ＝ BM，BC＝ PB，∠MBJ＝∠PBC＝45°，
∴∠MBP＝∠JBC，
∵ ＝ ，∴△JBC∽△MBP，
∴ ＝ ＝ ，
∵PM＝1，
∴JC＝ ，
∴点C的运动轨迹是以J为圆心， 为半径的圆，
∵AJ＝ AB＝2 ，
∴AC≤AJ+JC＝3 故线段AC长度的最大值为3 ．
【变式2-2】．如图，AB＝4，O为AB的中点， O的半径为1，点P是 O上一动点，以PB为直角边的
等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方⊙向排列），则线段AC⊙的长的取值范围为 ≤ AC ≤ 3
．
解：如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，连接AK、BK、KC、OP．
∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB，
∴KA＝KB，∠AKB＝90°，
∴△AKB是等腰直角三角形，
∵∠OBK＝∠PBC，
∴∠OBP＝∠KBC，
∵ ＝ ＝ ，
∴△OBP∽△KBC，∴ ＝ ＝ ，∵OP＝1，
∴KC＝ ，
∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，
AK＝ OA＝2 ，
∴AC的最大值为3 ，AC的最小值 ，
∴ ≤AC≤3 ．
故答案为 ≤AC≤ ．
1．如图，点A是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作
等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象
上运动，则这个函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣ x B．y＝﹣ x C．y＝﹣ D．y＝﹣
解：作AD⊥x轴与点D，连接OC，作CE⊥y轴于点E，
∵△ABC为等腰直角三角形，点O是AB的中点，
∴OC＝OA，CO⊥AO，
∴∠COE＝∠AOD，
∵∠OEC＝∠ODA＝90°，
∴△OEC≌△ODA（AAS），∴OD＝OE，AD＝CE，
设点C的坐标为（x，y），则点A为（y，﹣x），
∵点A是双曲线y＝ 上，
∴﹣yx＝4，
∴xy＝﹣4，
∴点C所在的函数解析式为：y＝ ，
故选：C．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，
M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为（ ）
A．7 B．3.5 C．4.5 D．3
解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．在直角△ABC中，
．
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝ AB＝2.5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝ AD＝1．
∵2.5﹣1≤CM≤2.5+1，
即1.5≤CM≤3.5．
∴最大值为3.5，
故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N
分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：如图，设 O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交 O于F，
此时垂线段OP⊙最短，PF最小值为OP﹣OF， ⊙
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝ ×5＝ ， ＝ ＝ ，
∴OP＝ ，
∵ O与AC相切于点D，
∴⊙OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝ ﹣1＝ ，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝ +1＝ ，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．4．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆
心，1为半径的 C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为 ，则k的值为（ ）
⊙
A． B． C． D．
解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝ BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣ ，
∴B（﹣ ，﹣ ），∵点B在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，
∴k＝﹣ ＝ ； 故选：C．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将
△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（ ）
A． B．3 C． ﹣1 D． ﹣1
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如
图所示．
根据折叠可知：A′E＝AE＝ AB＝1．
在Rt△BCE中，BE＝ AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴CE＝ ＝ ，
∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝ ﹣1．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、
F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（ ）A．1 B． C． D．2
解：如图1，连接BD，
Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，
∴AB＝2，AC＝4，
∵△ADC与△ABC关于AC对称，
∴BC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∵DE＝CF，
∴△BDE≌△DCF，
∴∠BED＝∠DFC，
∵∠BED+∠PEC＝180°，
∴∠PEC+∠DFC＝180°，
∴∠DCF+∠EPF＝∠DCF+∠BPD＝180°，
∵∠DCF＝60°，
∴∠BPD＝120°，
由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，
如图2，∴点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，
连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，
∴CP＝AC﹣AP＝4﹣2＝2，
则线段CP的最小值为2；
故选：D．7．如图， O的直径AB＝4，P为 O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则
点Q经过⊙的路径长是 2 ．⊙
π
解：如图，连接OQ，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
∵Q为AP的中点，
∴OQ⊥AP，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q在以AO为直径的圆上运动，
∴点Q经过的路径长为2 ， 故答案为：2 ．
π π
8．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，
连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在 O上运动一周时，点B运动的路径长是
． ⊙
解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为正三角形，
∵△APB为正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO与△ABO′中，
{
AO=AO′
∠PAO=∠BAO′，
PA=BA
∴△APO≌△ABO′，
∴OP＝O'B＝2，
∴ O'即为动点B运动的路径，
∴⊙当点P在 O上运动一周时，点B运动的路径长是4
⊙ π
9．如图， O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值 3+ 3 ．
⊙
解：如图，连接AO，OB，将OA绕点A顺时针旋转90°，可得AA'，连接OA'，A'D，∴OA＝AA'＝3，∠OAA'＝90°，
∴OA'＝3 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠OAA'＝90°，
∴∠OAB＝∠A'AD，且OA＝AA'，AB＝AD，
∴△OAB≌△A'AD（SAS）
∴A'D＝OB＝3，
在△OA'D中，OD≤OA'+A'D＝3 +3，
∴点A'，点O，点D共线时，OD有最大值为3 +3，
故答案为：3 +3．
10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），A（3，0）， A的半径为2，P为 A上任意一点，C是
BP的中点，则OC的最大值是 3. 5 ． ⊙ ⊙
解：如图，连接AB，取AB的中点H，连接CH，OH．
∵BC＝CP，BH＝AH，
∴CH＝ PA＝1，
∴点C的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵B（0，4），A（3，0），
∴H（1.5，2），
∴OH＝ ＝2.5，
∴OC的最大值＝OH+CH＝2.5+1＝3.5，
故答案为：3.5．
11．如图，点C是半圆 上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使 在正方形内），连OE，若AB＝
4cm，则OE的最大值为 （ 2 +2 ） cm．
解：如图，连接OD，OE，OC，CE，设DO与 O交于点M，连接CM，BM，
∵四边形BCDE是正方形， ⊙
∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴OE＝OD，
过点O作OM⊥AB，交 O于点M，连接CM，BM，
⊙
则∠BCM＝ ∠BOM＝45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BCE＝45°，
∴C、M、E三点共线，即点M在正方形BCDE的对角线CE上，
∴DM＝BM为定值，
∴点D在以M为圆心BM为半径的圆上，当OD过圆心M时最长，即OE最长，∵∠MCB＝ ∠MOB＝ ×90°＝45°，
∴∠DCM＝∠BCM＝45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，
在△EMD和△EMB中，
，
∴△EMD≌△EMB（SAS），
∴DM＝BM＝ ＝ ＝2 （cm），
∴OD的最大值＝（2 +2）cm，即OE的最大值＝（2 +2）cm；
故答案为：（2 +2）．
12．如图，点O为坐标原点， O的半径为1，点A（2，0），动点B在 O上，连接AB，作等边△ABC
（A，B，C为顺时针顺序）⊙，求OC的最大值与最小值． ⊙
解：如图，以OA为边，在OA的下方作等边△OAD，连接BD，OC，BO，∵△ABC和△OAD都是等边三角形，
∴AC＝AB，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD，
∴∠OAC＝∠BAD，
∴△OAC≌△DAB（SAS），
∴OC＝BD，
∵OB＝1，OA＝OD＝2，
∴2﹣1≤BD≤2+1，
∴1≤BD≤3，
∴1≤OC≤3，
∴OC的最小值为1，最大值为3．
13．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为 O，在 O上取动
⊙ ⊙
点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝ ，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，
求AC的取值范围．
解：如图，作BM⊥AB，使得BM＝2OB＝4，连接OP，AM，CM．在Rt△ABM中，∵AB＝OA+OB＝1＝2＝3，BM＝4，
∴AM＝ ＝ ＝5，
∵tan∠PCB＝ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠OBM＝∠PBC＝90°，
∴∠OBP＝∠MBC，
∴△OBP∽△MBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵OP＝1，
∴CM＝2，
∵AM﹣CM≤AC≤AM+CM，
∴3≤AC≤7．
14．已知：如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作 O的切线，交OD的
延长线于点E，连接A⊙E． ⊙ ⊙
（1）求证：AE与 O相切；
（2）连接BD，若⊙ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；
（3）若AB＝10，AC＝8，点F是 O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在 O上运动一周，则
点M运动的路径长为 ． ⊙ ⊙（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∴EA＝EC，
在△OEC和△OEA中，
{OE=OE
OC=OA，
EA=EC
∴△OEC≌△OEA，
∴∠OAE＝∠OCE，
∵EC是 O切线，
∴EC⊥O⊙C，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OAE＝∠OCE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是 O的切线．
⊙
（2）如图1中，设OD＝a，则DE＝3a，
∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，
∴△OAD∽△OEA，OA OD
∴ = ，
OE OA
∴4a2＝81，
∵a＞0，
9
∴a= ，
2
∴OE＝18，
在Rt△AOE中，AE=√OE2−OA2=√182−92=9√3．
（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．
∵AM＝MF，
∴OM⊥AF，
∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，
1 5
∴O′M= OA＝定长= ，
2 2
5
∴当点F在 O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心 为半径的圆，
2
⊙
5
∴点M运动的路径长为2 • =5 ．
2
π π
故答案为5 ．
π15．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到
AP′．
①点P'的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求
CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 ．
解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
{
AP′=AP
在△ABP'和△ACP中， ∠P′ AB=∠PAC，
AB=AC
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC=√2AC＝4√2，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4√2−2；
故答案为：4√2−2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，
{
AD=AC
在△ADQ和△ACP中， ∠DAQ=∠CAP，
AQ=AP
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
1
∴CO'= （2+6）＝4，
2
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'=√2
MM'''＝4√2，
∴O'M''＝2√2，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2√2；
故答案为：4﹣2√2．
16．如图1，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c
经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的
3
，求此时点M的坐标；
5
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的 B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是 B上一动
点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PA⊙D，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），⊙连接FD．
求FD长度的取值范围．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
{1+b+c=0
得 ，
c=5
{b=−6
∴ ，
c=5
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），∴AB＝4，
1
∴S△ABC =
2
×4×5＝10，
3
∵△ABM的面积等于△ABC面积的 ，
5
1
∴S△AMB ＝6 =
2
×4×（m2﹣6m+5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝2√13，
∴DF的最大值为2√13+2，DF的最小值为2√13−2，
∴2√13−2≤DF≤2√13+2．
