文档内容
模型介绍
【模型总结】
在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为
“PB+PC”型．
而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段．
【问题】
如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值.
【问题解决】
构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．
B
B
l
A α
A P
P
C
D
将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，
即PB+kPA最小．
B
A α
P
C
D例题精讲
【例1】．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则
CD+ BD的最小值是 4 ．
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝ ＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2 或﹣2 （舍弃），
∴BE＝2a＝4 ，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4 （等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝ ＝ ＝ ，
∴DH＝ BD，∴CD+ BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+ BD≥4 ，
∴CD+ BD的最小值为4 ． 故答案为4 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续
思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+ CP的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PF＝ CP，
∴AP+ CP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CE＝ AC＝1，
∴AE＝ ＝ ，
∴AP+ CP的最小值为 ． 故选：C．
【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝ ，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上
的动点，则PC+ PB的最小值为 ．
解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝ ＝ ，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝ ，
∴sin∠ABD＝ ，
∴EP＝ ，
∴PC+ PB＝PC+PE，
即点C、P、E三点共线时，PC+ PB最小，
∴PC+ PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC ＝ ，
∴4×4＝5×CH，
∴CH＝ ．
∴PC+ PB的最小值为 ． 故答案为： ．
【变式1-3】．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2 ），C（1，0），D为射线AO上一
点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个
运动时间最少，则点D的坐标应为________.解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，
设D坐标为（0，y），则AD＝2 ﹣y，CD＝ ＝ ，
∴设t＝ + ，
等式变形为：t+ y﹣ ＝ ，则t的最小值时考虑y的取值即可，
∴t2+（ y﹣ ）t+（ y﹣ ）2＝y2+1，
∴ y2+（ ﹣ t）y﹣t2+ t+1＝0，
Δ＝（ ﹣ t）2﹣4× （﹣t2+ t+1）≥0，
∴t的最小值为 ，
∴y＝ ，
∴点D的坐标为（0， ），
解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为V，
总时间t＝ + ＝ （ +CD），要使t最小，就要 +CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以 ＝
＝3，所以 ＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要 +CD最小，就是要DH+BD
最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以OD＝ ，
所以点D的坐标应为（0， ），
【例2】．如图， ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则 PD+2PB最小值为 6
． ▱
解：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠CDH＝60°，
∵HP⊥AD，
∴∠DPH＝30°，
∴DH＝ DP，HP＝ DH＝ DP，
∵ PD+2PB＝2（ PD+PB）＝2（HP+PB），
∴当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即 PD+2PB有最小值，
此时：BH⊥AH，∠A＝60°，∴∠ABP＝30°，
∴AH＝ AB＝3，BH＝ AH＝3 ，
则 PD+2PB最小值为6 ， 故答案为：6 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，
且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是 ．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝ PB，
∴MP+ PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝ ＝ ，
∴ME＝ ，
∴MP+ PB的最小值为 ， 故答案为 ．
【变式2-2】．如图，AC是 O直径，AC＝4，∠BAC＝30°，点D是弦AB上的一个动点，那么 DB+OD
的最小值为 ． ⊙
解：作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．
∵BK∥AC，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝ BD，
∴OD+ BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+ BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，
∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，
∵OB＝2，∠OBM＝60°，
∴OM＝OB•sin60°＝ ，
∴ DB+OD的最小值为 ， 故答案为
【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ 的顶点为A点，且与x轴的正半轴
交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则OP+ AP的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，当y＝0时， x2﹣2 x＝0
解得x ＝0，x ＝4，则B（4，0），
1 2
y＝ x2﹣2 x＝ （x﹣2）2﹣2 ，则A（2，2 ），
∴OA＝ ＝4，
∴AB＝AO＝OB＝4，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝ AP，∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+ AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝ AB＝ ×4＝2 ，
∴OP+ AP的最小值为2 ． 故选：B．
实战演练
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（
）
A．2 +6 B．6 C． +3 D．4
解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF＝ DC，
∵2AD+DC＝2（AD+ DC）
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BC＝4，
∴DC＝2，
∴DF＝ DC＝1，
∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，
∴2（AD+DF）＝2AF＝6，
∴2AD+DC的最小值为6， 故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则
AP+PB的最小值是（ ）A． B． C． D．2
解：以A为顶点，AC为一边，在AC下方作∠CAM＝45°，过B作BD⊥AM于D，交AC于P，如图：
由作图可知：△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD＝ AP，
∴ AP+PB＝PD+PB，
∴ AP+PB取最小值即是PD+PB取最小值，此时B、P、D共线，且BD⊥AD， AP+PB的最小值
即是BD的长，
∵∠BAC＝15°，∠CAM＝45°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝ AB＝1，BD＝ AD＝ ，
∴ AP+PB的最小值是 ． 故选：B．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则 BP+AP的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM于D，交
AC于E，如图：BP+AP＝ （BP+ AP），要使 BP+AP最小，只需BP+ AP最小，
∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴FP＝ AP，
∴BP+ AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+ AP最小值是线段BD
的长度，
∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，
∴∠AED＝∠BEC＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴sin∠BEC＝sin45°＝ ，tan∠BEC＝ ，
又BC＝4，
∴BE＝4 ，CE＝4，
∵AC＝6，
∴AE＝2，
而sin∠CAM＝sin45°＝ ，
∴DE＝ ，
∴BD＝BE+DE＝5 ，
∴ BP+AP的最小值是 BD＝10， 故选：B．
4．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4 ，P为OB上一动点，则AP+ OP的最小
值为（ ）A．4 B．5 C．2 D．3
解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∴OJ＝JB＝2 ，CJ＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝2CJ＝2 ，
∵AH⊥OC，
∴OC•AH＝ •OB•AC，
∴AH＝ × ＝4，
∴sin∠POF＝ ＝ ＝ ，
∴PF＝ OP，
∴AP+ OP＝AP+PF，
∵AP+PF≥AH，
∴AP+ OP≥4，
∴AP+ OP的最小值为4， 故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C（3，0）两点，若P是x
轴上一动点，点D的坐标为（0，﹣1），连接PD，则 PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2 C．2 D． +
解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，
把C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，﹣1），∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝2 ，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝ PC，
∴ PD+PC＝ （PD+ PC）＝ （DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2 ，
∴DP+PJ的最小值为2 ，
∴ PD+PC的最小值为4．故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为
6 ．
解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，AA'＝2 ，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DE＝ CD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝ ×2 ＝3，∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6， 故答案为：6．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接
PB、PC．则PA+2PB的最小值为 4 ．
解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2（ ）＝2（PF+PB）＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4× ＝2 ，
∴（PA+2PB）
最小
＝2BF＝4 ，故答案为：4 ．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2
，则BC＝ ﹣ ．
解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PA，
∴△BAP≌△CAP（SAS）， ∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2 ，
∴CM＝2 ，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝ AB＝1，AN＝ ，CN＝2﹣ ，
∴BC＝ ＝ ＝ ﹣ ． 故答案为 ﹣ ．
9．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC边在x轴上，BC边
的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴
上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 （ 0 ，
） ．
解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，
电子虫走完全全程的时间t＝ + ＝ （ +CG），
在Rt△AMG中，GM＝ AG，
∴电子虫走完全全程的时间t＝ （GM+CG），
当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，
此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝ • ×6＝
所以点G的坐标为（0，﹣ ）．
故答案为：（0，﹣ ）．
10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，
点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 6 ．解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，
∴PM＝2，
如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，
在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，
又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，
∴ ，
，
∴ ，
又∵∠EMP＝∠PMA，
∴△EMP∽△PMA，
∴ ，
∴ ，
∴PA+2PC＝2（ ）＝2（PC+PE）≥2CE，
如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，
∵CE＝ ， ∴PA+2PC的最小值为6 ．11．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），点M（﹣1，
4）为抛物线的顶点，AM中点D坐标为（﹣2，2）；如图，Q点为y轴上一动点，直接写出DQ+
OQ的最小值为 2 ．
解：如图，过点O作直线OK，使∠QOK＝45°，过点Q作QK⊥OK于点K，
则QK＝ OQ，
DQ+ OQ＝DQ+QK，
连接OD，
∵D坐标为（﹣2，2），
∴∠DOQ＝45°，
∴DO⊥OK，
∴DQ+ OQ＝DQ+QK的最小值为OD的长，
∵OD＝ ＝2 ，∴DQ+ OQ的最小值为2 ． 故答案为：2 ．
12．在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）如图1，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若ED＝2−√3，
求线段BF的长度；
（2）如图2，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，过点D作DM⊥DC，连接MC，且∠MCE＝15°，连
接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若AB＝2√6，求QB+QC+QD的最小值．
解：（1）设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a，AD∥BC，
∴AE＝AD﹣DE＝a﹣（2−√3），
∵BE⊥AD，∠DAB＝30°，
1 1
∴BE= AB= a，
2 2
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
1
∴[a﹣（2−√3）]2+（ a）2＝a2，
2
解得：a＝2或a＝14﹣8√3（舍去），
∴BC＝2，BE＝1，
在Rt△CBE中，CE=√BC2+BE2=√22+12=√5，
∵点F是线段CE的中点，1 √5
∴BF= CE= ；
2 2
（2）BE＝DM+EM．
证明：如图2，在BE上截取BN＝DM，连接CN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCD＝∠DAB＝30°，
在△CBN和△CDM中，
{
CB=CD
∠CBN=∠CDM=90°，
BN=DM
∴△CBN≌△CDM（SAS），
∴∠BCN＝∠DCM，CN＝CM，
∵∠BCN+∠DCN＝30°，
∴∠DCM+∠DCN＝30°，
即∠MCN＝30°
∵∠MCE＝15°，
∴∠NCE＝∠MCN﹣∠MCE＝30°﹣15°＝15°，
∴∠NCE＝∠MCE，
在△CEN和△CEM中，
{
CN=CM
∠NCE=∠MCE，
CE=CE
∴△CEN≌△CEM（SAS），
∴EN＝EM，
∵BE＝BN+EN，
∴BE＝DM+EM；
（3）如图3，过点C在直线AC的上方作∠ACK＝30°，分别过点B、Q作BH⊥CK于点H，QG⊥CK于
点G，BH交AC于点Q′，
1
连接BG，则QG= QC，
2
∵B、D关于直线AC对称，
∴QB＝QD，1
∴QB+QC+QD＝QC+2QB＝2（ QC+QB）＝2（QG+QB），
2
当点Q与Q′重合时，QG+QB的值最小，
当点Q与Q'重合时，QG+QB＝Q′H+BQ'＝BH．
当点Q与Q'不重合时，QG+BQ＞BG＞BH．
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝30°，
1
∴∠BCA= ∠BCD＝15°，
2
又∵∠ACK＝30°，
∴∠BCK＝∠BCA+∠ACK＝45°，
∵∠BHC＝90°，BC＝AB＝2√6，
BC 2√6
∴BH= = =2√3，
√2 √2
即QG+QB的最小值是2√3．
∴QB+QC+QD的最小值是4√3．
13．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l ，直线l 与x轴交于点C；
1 1直线l ：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l 交于点D．
2 1
（1）填空：点A的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ，点B的坐标为 （ 0 ， 2 ） ；
（2）直线l 的表达式为 y ＝ 2 x ﹣ 2 ；
1
（3）在直线l
1
上是否存在点E，使S△AOE ＝2S△ABO ？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1
个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运
动过程中所用时间最少时点P的坐标．
解：（1）直线l ：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，
2
故答案为（﹣2，0）、（0，2）；
（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l ，则直线l 的表达式为：y＝2x﹣2，
1 1
故：答案为：y＝2x﹣2；
（3）∵S△AOE ＝2S△ABO ，
∴y ＝2OB＝±4，
E
将y ＝4代入l 的表达式得：±4＝2x﹣2，解得：x＝3或﹣1，
E 1
则点E的坐标为（3，4）或（﹣1，﹣4）；
（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点
P′，直线l ：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝ PD，
2
点H在整个运动过程中所用时间＝ + ＝PH+PC，
当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．
14．直线y＝ 与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对
称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点 F，使BF+ CF的值最小，则满足条件的点 F的坐标是 （ 3 ， ）
．
解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为直线x＝3，
令x＝3，则有y＝ ×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，
∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝ 上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t， t），
将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，
得： t＝（t﹣3）2﹣4m+3，
整理，得：m＝ ﹣ t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝ x，
∴BE＝ CE，
由勾股定理得：BC＝ ＝ CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝ （t﹣3）＝ （ + ﹣3），
化简，得：4m2﹣3m﹣1＝0，
解得：m＝﹣ ，或m＝1．
当m＝﹣ 时， + ﹣3＝ ＜3，不合适，
∴m＝1，
此时t＝ + ＝6，
y＝ ×6＝8．
故此时点B的坐标为（6，8）．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点
N，如图2所示．
∵直线BC的解析式为y＝ x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝ ＝ ，
∴sin∠FCM＝ ．
∵B、B′关于对称轴对称，
∴BF＝B′F，
∴BF+ CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为直线x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，
∴tan∠NB′F＝ ，
∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝ ，
∴点F的坐标为（3， ）． 故答案为：（3， ）．15．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的
动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，y ）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
0
（Ⅲ）点Q（b+ ，y ）在抛物线上，当 AM+2QM的最小值为 时，求b的值．
Q
解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
∴c＝﹣1﹣b．
当b＝2时，c＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4）．
（Ⅱ）由（1）知：抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1．
∵点D（b，y ）在该抛物线上，
0
∴y ＝b2﹣b×b﹣b﹣1＝﹣b﹣1．
0
∵b＞0，
∴b＞ ＞0，﹣1﹣b＜0．
∴D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线的对称轴x＝ 的右侧．
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则E（b，0）．
∴OE＝b，DE＝1+b，∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
∴AE＝OA+OE＝1+b．
∴AE＝DE．
∴△ADE为等腰直角三角形．
∴∠EAD＝∠EDA＝45°．
∴AD＝ AE．
∵AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）＝ （b+1），
∴b＝3 ﹣1．
（Ⅲ）∵点Q（b+ ，y ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
Q
∴y ＝ ﹣b×（b+ ）﹣b﹣1＝﹣ ﹣ ，
Q
∴Q（b+ ，﹣ ）．
∵b＞0，
∴﹣ ＜0，b+ ＞b，
∴点Q在第四象限，且在对称轴x＝b的右侧．
∵ AM+2QM＝ （ ），
∴取点N（0，1），如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为点G，QG交x轴于点M，∵OA＝ON＝1，
∴∠GAM＝∠ONA＝45°．
∴ AM＝GM．
则此时点M满足题意．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则H（b+ ，0）．
∵∠HMQ＝∠GMA＝45°，
∴∠HQM＝∠HMQ＝45°．
∴QH＝HM，QM＝ MH．
∵点M（m，0），
∴OM＝m．
∵Q（b+ ，﹣ ），
∴OH＝b+ ，QH＝ ．
∴MH＝b+ ﹣m，
∴ ＝b+ ﹣m，
解得：m＝ ﹣ ．
∵ AM+2QM＝ ，
∴ ×（1+m）+2× ×（b+ ﹣m）＝ ．
即 ×（1+ ）+2 （b+ ﹣ ）＝ ．解得：b＝4．
16．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点
C，经过点A的直线y＝﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的
坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，
沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停
止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y＝﹣ x+b经过点A，
∴b＝﹣3 ，
∴y＝﹣ x﹣3 ，
当x＝2时，y＝﹣5 ，
则点D的坐标为（2，﹣5 ），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5 ，
解得，a＝﹣ ，则抛物线的解析式为y＝﹣ （x+3）（x﹣1）＝﹣ x2﹣2 x+3 ；
（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3 ），
∴直线AC的解析式为：y＝ x+3 ，
①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴CP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y＝﹣ x+m，
把C（0，3 ）代入得m＝3 ，
∴直线CP的解析式为：y＝﹣ x+3 ，
解 得 ， （不合题意，舍去），
∴P（﹣ ， ）；
②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y＝﹣ x+n，
把A（﹣3，0）代入得n＝﹣ ，
∴直线AP的解析式为：y＝﹣ x﹣ ，
解y＝ 得 ， ，
∴P（ ，﹣ ），
综上所述：点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）；
（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝ ＝ ＝ ，
∴∠DAN＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴DE＝ ＝ EF，
∴Q的运动时间t＝ + ＝BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4 ）．
