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模型介绍
平面内一定的D和O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。
分以下情况讨论：（设OD=d，O的半径为r）
点D在O外时，d＞r，如图：
①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;
②当点D在O上时，d=r，如图：
当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M
重合）
③当点D在O内时，d＜r，如图
当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;
点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题.
R方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r|
例题精讲【例1】．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动
点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．2
解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图
所示
根据折叠可知：GE＝AE＝ AB＝2．
在Rt△BCE中，BE＝ AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，
∴CE＝ ＝2 ，
∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2 ﹣2．
故选：A．
变式训练
【变式1-1】.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2 ，∠A＝45°，M是AD边的中点，N是AB
边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是
．
解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2 ，CD＝AB＝6，
∵点M为AD的中点，∠A＝45°，
∴DM＝MA＝ ，∠MDE＝∠A＝45°，
∴ME＝DE＝ DM＝1，
∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，
由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，
∴CM＝ ＝5 ；
由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝ ，点A′在以M为圆心， 为半径的圆上
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，
此时A′C＝MC﹣MA′＝5 ﹣ ＝4 ，
故答案为4 ．
【变式1-2】．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作 D，E为 D上一动点，
⊙ ⊙
连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为
．
解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，
∴ ＝ ，∵AB＝6，AG＝GB，
∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC＝ ＝3 ，
∴FC≥GC﹣FG，
∴FC≥3 ﹣1，
∴CF的最小值为3 ﹣1．
故答案为3 ﹣1．
【例2】.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的 A上一动点，
连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为_______ ⊙解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝ BC＝12，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝ PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最
∵P是半径为3的 A上一动点，
∴当PB过圆心A时⊙，PB最大，
∵BD＝12，AD＝5，
∴AB＝ ，
∵ A的半径为3，
∴⊙PB的最大值为13+3＝16，
∴DE长的最大值为8，
故选：A．变式训练
【变式2-1】.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF
于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是 ．
解：如图，∵BE⊥AF于E，
∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，
∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，
∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，
∴AO＝1＝OE，AD＝2，
∴OD＝ ＝ ，
∴段DE最小值为OD﹣OF＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【变式2-2】．如图，AB是 O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是 上的一个动点，连
⊙
接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 ．解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点C在半圆的中点，
∴ ＝ ，
∴AC＝CB＝4，
∵CT＝TB＝2，
∴AT＝ ＝ ＝2 ，
∵CH⊥BD，
∴∠CHB＝90°，
∴点H在以BC为直径的圆上运动，
∵CT＝TB，
∴HT＝ BC＝2，
∵AH≥AT﹣HT＝2 ﹣2，
∴AH的最小值为2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．1．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，
∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A． B． C． ﹣ D． ﹣2
解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝ AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的 O上，
⊙
∵OB＝ ＝ ＝ ，
∴BM≥OB﹣OM＝ ﹣2，
∴BM的最小值为 ﹣2．
故选：D．
2．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长
度的最小值为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是 ，
设 所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝ AC＝ ，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝ ∠ABC＝30°，∴PD＝ ，BD＝ ，
∴PB＝BD﹣PD＝ ﹣ ＝ ．
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转
90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是 ．
解：如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，
则DB＝PB，∠DBP＝90°，
∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，
∴BC＝BE，∠CBE＝90°，
∴∠CBD＝∠EBP，
∴△CBD≌△EBP（SAS），
∴PE＝DC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，
∴DB＝CD＝ AB＝1，
∴PE＝1，PB＝1，
∴DP＝ ，
∵PD+PE≥DE，
∴DE≤ +1，
∴DE最大值为 +1，
故答案为： +1．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，
DF交于点P，则∠APD的度数为 90 ° ；连接CP，线段CP的最小值为 ﹣ 1 ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝ AD＝ ×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝ ＝ ＝ ，
所以，CP＝CO﹣OP＝ ﹣1．
故答案为：90°， ﹣1．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，E、F分别为边DC，DA上
的动点，且 DE：DF＝4：3，射线AE与BF相交于点M，若连接CM，则线段CM的最小值为
．
解：如图1，连接EF，并延长EF交边AB于点G，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，
∴ ，
∴AC：AB＝4：3，
∴AC：AB＝DE：DF＝4：3，
∴ ，
∵∠BAC＝∠FDE＝90°，
∴△BAC∽△FDE，
∴∠GBE＝∠DFE，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠DFE+∠DEF＝90°，∴∠GBE+∠DEF＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG是△ABE的高，
∵AD是△ABE的BE边上的高，
∴BM是△ABE的AE边上的高，
∴BM⊥AM，
∴∠AMB＝90°，
∴点M在线段AB为直径的 上，
如图2，作以线段AB为直径的 ，取圆心O，连接OC交 于点N，则当点O、M、C三点共线时，线
段CM的最小值，如图3，
∵AB＝6，点O是圆心，
∴OA＝ON＝3，
∵∠BAC＝90°，AC＝8，
∴ ，
∴线段CM的最小值即 ，
故答案为： ．
6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B为圆心，半径为1的弧
交BC于M，E是线段CD上一动点，EG⊥AD，垂足为G，F是弧AM上一动点，则EG+EF的最小值为
．解：作AH⊥CD于点H．则四边形ABCH是矩形．DH＝CD﹣AB＝3﹣1＝2，AH＝BC＝2．
则AH＝DH，△ADH是等腰直角三角形．
则∠ADC＝45°．
延长BC到M使CM＝BC＝2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF取得最小值．
∵∠ADC＝90°，MN⊥AD，
∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD＝∠CKM＝45°，
同理△CMK是等腰直角三角形．
则CK＝CM＝2，KM＝ CM＝2 ，
∴DK＝CD﹣CK＝3﹣2＝1，
∴NK＝ DK＝ ．
则MN＝MK+NK＝2 + ＝ ，
则EG+EF的最小值是 ﹣1＝ ．
故答案是： ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，
连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是 ．解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，
∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，
∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°
∵CE≤OC+OE
∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，
∵BE＝OB，∠ABE＝90°
∴∠BOE＝45°
∵点O是AB中点，∠ACB＝90°
∴CO＝BO
∴∠ECB＝∠CBO，
∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°
∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO
故答案为：22.5°
8．如图，正方形ABCD的边长为2 ，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE
的最大值是 ．
解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，
∴A，C，E，D四点共圆，
∵正方形ABCD的边长为2 ，
∴OE＝OD＝ BD＝ ，
∵P为AB的中点，O是BD的中点，
∴OP＝ AD＝ ，
∵PE≤OP+OE＝ + ，
∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝ + ，
即线段PE的最大值为 + ，
如图，点E在正方形ABCD上方，
作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，
则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，
过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，
∵AD＝2 ，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO＝ ，∠OAD＝45°，
∵ON⊥AB，AD⊥AB
∴∠NAO＝∠NOA＝45°
∴AN＝NO＝
∴PO＝ ＝ ＝
∴PE最大值为 + ＞ + ，
故答案为： +
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．
（1）如图①，点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，
求CP的最小值；
（2）如图②，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值时，BP的长；
（3）如图③，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.
解：（1）如图1，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝ AB＝2，
由折叠知，
PE＝BE＝2，
∴点P是在以E为圆心，2为半径的半圆上运动，当点E，P，C共线时，CP最小，
∵四边形ABCD时矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝2 ，
∴CP最小 ＝CP′＝CE﹣EP′＝2 ﹣2；
（2）如图2，
∵∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的半圆O上运动，
当点D，P，O共线时，PD最小，
在Rt△COD中，CD＝4，OC＝ BC＝3，
∴OD＝5，
∴P′D＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，
作P′Q⊥BC于Q，
∵∠OQP′＝∠BCD＝90°，∠COD为公共角，
∴△OQP′∽△OCD，
∴ ，
∴ ，
∴OQ＝ ，QP′＝ ，
在Rt△BQP′中，QP′＝ ，BQ＝OB+OQ＝3+ ＝ ，
∴BP′＝ ＝ ，∴当PD取得最小值时，BP的长为： ；
（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CAB＝∠BAD＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝180°，
∵∠PAD+∠PBC＝60°，
∴（∠CAB+∠BAD）﹣（∠PAD+∠PBC）＝120°，
∴∠PAB+∠PBA＝120°，
在△ABP中，
∠APB＝180°﹣120°＝60°，
延长BP至E，使PE＝PA，
∴∠E＝∠PAE，
∵∠E+∠PAE＝∠APB＝60°，
∴∠E＝30°，
在AB的右侧作等边三角形ABO，以O为圆心，AB为半径作圆O，则点E优弧AEC上运动，
当BE为直径时，即点P在点O处时，AP+BP最大，最大为直径BE′＝2AB＝8．
10．如图，已知四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中
点，连接GD，ED．
（1）如图①，当点E在AB边上时，请直接写出DE，DG的数量关系；
（2）如图②，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其他条件不变．
①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．解：（1）DE＝ DG，理由如下：
如图①，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴EF∥CM，
∴∠CMG＝∠FEG，
∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，
∴△CMG≌△FEG（AAS），
∴EF＝CM，GM＝GE，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴DE＝ DG．
（2）①结论成立，理由如下：
如图②，连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，
∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，
∴CM∥ER，
∴∠DCM＝∠ERC，
∵∠AER+∠ADR＝180°，
∴∠EAD+∠ERD＝180°，
∵∠ERD+∠ERC＝180°，
∴∠DCM＝∠EAD，
∵AE＝EF，
∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS），
∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，
∴∠EDM＝∠ADC＝90°，
∵EG＝GM，
∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴DE＝ DG；
②∵AE＝1，△AEF绕点A旋转，
∴点E在以点A为圆心，1为半径的圆A上运动，
如图③，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的左侧时，DE最大，
此时DE＝AD+AE＝4+1＝5，
由①可知，DE＝ DG，
∴DG＝ DE＝ ，
即DG的最大值为 ；
如图④，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的右侧时，DE最小，
此时DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，
由①可知，DE＝ DG，
∴DG＝ DE＝ ，即DG的最小值为 ；
综上所述，DG的最大值为 ，最小值为 ．
11．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O的半径为1
①请在图1中画出点P的位置；
②当AB＝1时，∠APB＝ 3 0 °；
（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，
P为 O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并
确定⊙此时点P的位置；
（3）如图3，A、B是 O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝
4，点D是平面内的一个⊙动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大
值与最小值．解：（1）①如图1，△APB、△AP′B是直角三角形；
②在Rt△APB中，AB＝ AP，
∴∠APB＝30°，
故答案为：30；
（2）四边形PABC是平行四边形，
∴BC＝AP，
∴BC的最小值即AP的最小值，
∵当P为OA与 O的交点时，AP最小，
∴AP的最小值为⊙9﹣5＝4，即BC的最小值为4；
（3）连接BC，
∵AM⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴BC是 O的直径，
∵点D是⊙平面内的一个动点，且CD＝2，
∴点D的运动路径为以C为圆心，以2为半径的圆，
在直角△ABC中，BC＝ ＝ ＝5，
∵O是直角△ABC斜边BC上的中点，
∴AO＝ BC＝ ，
∵E是BD的中点，O是BC的中点
∴OE＝ CD＝1，
∴AE的最小值是AO﹣OE＝ ，最大值是AO+OE＝ ．12．【问题提出】
（1）如图①，四边形ABCD为正方形，以BC边为直径在BC上方作半圆O，P是 上一点，若AB＝
6，则DP的最小值为 3 ﹣ 3 ；
【问题探究】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是中线，将△ACD沿CD折叠，得
到△ECD，点A的对应点为E，连接AE，求AE的长；
【问题解决】
（3）如图③是一块矩形ABCD的场地，AB＝300m，AD＝600m，D为场地的出人口，点E在AD边上，
且AE＝400m．按照规划，要在矩形内修建一个小型观光台P，且满足∠APE＝90°，在BC上修建休息
亭M，并要在观光台P、休息台M以及出入口D之间规划道路PM，DM，为了节约成本，要使得线段
PM，DM之和最短，试求PM+DM的最小值，并说明理由．（道路的宽度忽略不计）
解：（1）如图1，
连接OD，交 O于点P，则DP最小，
∵四边形ABC⊙D是正方形，
∴∠BCD＝90°，CD＝BC＝AB＝3，
在Rt△COD中，OC＝ ＝3，CD＝6，
∴OD＝ ＝3 ，∴DP＝OD﹣OP＝3 ﹣3，
故答案为：3 ﹣3；
（2）设CD，AE交于点F，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
由折叠得：AE＝2AF，CD⊥AE，
∵∠ACB＝90°，CD是中线，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∵∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△ACF∽△BAC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AF＝ ，
∴AE＝2AF＝ ；
（3）如图2，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以AE为直径的 O上运动，
作点D关于BC的对称点⊙G，连接OG，交BC于M，交 O于P，
则PM+DM最小，最小值为PG的长， ⊙
∵四边形ABCD是矩形，∴CG＝CD＝AB＝300，∠ADC＝90°，
在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝600，OD＝AD﹣OA＝600﹣200＝400，
∴OG＝ ＝ ＝200 ，
∴PG＝OG﹣OP＝200 ﹣200，
∴PM+DM的最小值为：200 ﹣200．
