文档内容
模型介绍
背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k
（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
现，故称“阿氏圆”.
P
A B O
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA， ，∴对于圆上任意一点P都有 .
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取 A、B
点，则需
R【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得 的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得 ，即构造△POM∽△BOP，则 ，
④则 ，当A、P、C三点共线时可得最小值
例题精讲
【例1】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6， C半径为2，P为圆上一动点，连接
⊙
AP，BP，则AP+ BP的最小值为________.
解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 ＝ ＝ ，又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴ ＝ ，
∴PD＝ BP，
∴AP+ BP＝AP+PD．
要使AP+ BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，
即：AP+ BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝ ＝ ，
AP+ BP的最小值为
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4， B的半径为2，P为 B上的动点，则PD+ PC的最小
值等于 5 ． ⊙ ⊙
解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4， B的半径为2，
∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝⊙3
∵ ，且∠PBE＝∠PBE
∴△PBE∽△CBP
∴
∴PE＝ PC
∴PD+ PC＝PD+PE
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+ PC有最小值，
∴PD+ PC最小值为DE＝ ＝5 故答案为：5
【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以
A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则 的最小值为 ．
解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴ ，
∵AP＝2，AQ＝1，
∴ ，
∵∠PAQ＝∠BAP，
∴△APQ∽△ABP，
∴PQ＝ PB，
∴ PB+PC＝PC+PQ≥CQ，
在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，
∴QC＝ ＝ ＝ ．，
∴ PB+PC的最小值 ．，
故答案为： ．
【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐
标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+ PN的最小值是 5 ．
解：如图，作MB⊥ON于B，
则BM＝3，OB＝6，取OA的中点I，连接OP，PI，IM，
∴OI＝2，OP＝4，
∴ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴ ，
又∠POI是公共角，
∴△POI∽△NOP，
∴ ，
∴PI＝ PN，
∴PM+ PN＝PM+PI≥IM，
∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，
PM+PI最小＝MI＝ ＝ ＝5，
故答案是5．
【例2】．如图，在 O中，点A、点B在 O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，
点D是OB的中点⊙，点M是劣弧AB上的⊙动点，则CM+2DM的最小值为 ．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．
∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，
∴OM2＝OD•OT，
∴ ＝ ，
∵∠MOD＝∠TOM，
∴△MOD∽△TOM，
∴ ＝ ＝ ，
∴MT＝2DM，
∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，
又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，
∴CT＝ ＝ ＝4 ，
∴CM+2DM≥4 ，
∴CM+2DM的最小值为4 ， ∴答案为4 ．
变式训练
【变式2-1】． O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P为圆上一个动
点．求2PC+⊙PE的最小值．解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．
∵C是AO的中点，
∴OC＝ OA＝1，
∴ ＝ ．
又∵∠COP＝∠POK，
∴△COP∽△POK，
∴ ，即PK＝2PC．
∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．
作EH⊥BC于点H．
∵在直角△COD中，cos∠DOC＝ ，
∴∠DOC＝60°，
∴∠EOH＝∠DOC＝60°，
∴HE＝OE•sin60°＝2× ，
∴EK＝ ．
即最小值是2 ． 故答案是：2 ．
【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，
点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是 2 ．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，
∵
∠EOB为公共角
∴△OBE∽△OEF
∴
∴2BE＝EF
∴AE+2BE＝AE+EF
即A、E、F三点共线时取得最小值
即由勾股定理得
AF＝ ＝ 故答案为
【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为 O，P是 O上一动点，则2PB+PC的最小值为
3 ． ⊙ ⊙
解：如图，连接OC交 O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，
⊙∴ ＝ ＝ ，
∵∠FOP＝∠POC，
∴△OPF∽△OCP，
∴CP＝2PF，
∴2PB+PC＝2（ PC+PB）＝2（PB+PF），
∵PB+PF≥BF，
∴PB+PF的最小值为BF，
∵BC＝6，∠OCE＝30°，
∴CE＝3，OE＝ ，OC＝2 ，
∴CF＝ ，
∴GF＝ ，CG＝ ，
∴BG＝BC﹣CG＝ ，
由勾股定理得，BF＝ ，
∴2PB+PC的最小值为2BF＝3 ．
故答案为：3 ．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则 PA+PB的最小值为 2
．
解：设 O半径为r，
⊙
OP＝r＝ BC＝2，OB＝ r＝2 ，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝ ，
∵ ，
，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴ ，
∴PI＝ PB，
∴AP+ PB＝AP+PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP+ PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝ BI＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3，
∴AI＝ ＝ ，
∴AP+ PB最小值＝AI＝ ，
∵ PA+PB＝ （PA+ PB），
∴ PA+PB的最小值是 AI＝ ＝2 ．
故答案是2 ．
2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是 上一动
点，则PC+ PD的最小值为 ．解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴ ＝ ＝ ，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴ ＝ ＝ ，
∴EP＝2PC，
∴PC+ PD＝ （2PC+PD）＝ （PD+PE），
∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+ PD的值最小，
∵DE＝ ＝ ＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值为13，
∴PC+ PD的值最小值为 ．
故答案为： ．
3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则
PC+PD的最小值为 ．解：∵AC是 O的切线，
∴∠OAC＝9⊙0°，
∴OC＝ ＝ ，
取OC的中点I，连接PI，DI，
∵ ，
，
∴ ，
又∠O是公共角，
∴△POI∽△COP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PI＝ PC，
∴ PC+PD＝PI+PD，
∴当D、P、I在一条直线上时， PC+PD最小＝DI，
作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝ AC＝ ，
∴DE＝BD﹣BE＝ ，
IE＝BF＝OB+OF＝ ，
∴DI＝ ＝ ，
∴ PC+PD最小＝DI＝ ． 故答案是： ．
4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P
为劣弧CD上一动点，则 PA+PB最小值为 2 ．
解：如图，
连接OP，取OC的中点E，
∵ ，∠POE＝∠AOP，
∴△POE∽△AOP，
∴ ＝ ，
∴ PA+PB＝PE+PB，
∵PE+PB≥BE，∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，
∵OE＝ OC＝2，OB＝10，
∴BE＝ ＝ ＝2 ，
∴ PA+PB的最小值是2 ．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，
点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 6 ．
解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，
∴PM＝2，
如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，
在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，
又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，
∴ ，
，
∴ ，
又∵∠EMP＝∠PMA，
∴△EMP∽△PMA，
∴ ，
∴ ，
∴PA+2PC＝2（ ）＝2（PC+PE）≥2CE，
如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，∵CE＝ ，
∴PA+2PC的最小值为6 ．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．
点P在 上运动，则PM+ DP的最小值为 ．
解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，
HK＝AB＝2．
∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，
∴PA2＝AK•AD，
∴ ＝ ，
∵∠KAP＝∠PAD，
∴△PAK∽△DAP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PK＝ PD，
∴PM+ PD＝PM+PK，
∵PM+PK≥KM，KM＝ ＝ ，
∴PM+PK≥ ，∴PM+ DP的最小值为 ，
故答案为 ．
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB
于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+ PB的最小值为 ．
解：在AB上取F，使AF＝ ，连接CF与 A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：
⊙
∵AD＝ AC＝2，
∴AP＝AD＝2，
∵AB＝3，AF＝ ，
∴AP2＝AF•AB，
∵∠PAB＝∠FAP，
∴△PAB∽△FAP，∴ ＝ ＝ ，
∴PF＝ PB，
∴PC+ PB＝PC+PF＝CF，
根据两点之间线段最短，此时PC+ PB＝CF最小，
∴PC+ PB最小值为CF＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第
一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 4 ．
解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，
∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
以O为圆心OA为半径作 O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
⊙
∵∠Q＝ AOB＝45°，∠APB＝135°，
∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四点共圆，
∴OP＝OA＝2，
∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，
∴OP2＝OC•OT，
∴ ，
∵∠POT＝∠POC，
∴△POT∽△POC，
∴ ，
∴PT＝ ，
∴2PD+PC＝2（PD+ PC）＝2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT＝ ＝2 ，
∴2PD+PC ，
∴2PD+PC的最小值是4 ．
故答案为：4 ．
9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2， O的半径为1，M为 O上一动点，求AM+
⊙ ⊙
BM的最小值．
解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝ ，连接MC，AC，∵OB＝2， O的半径为1，
⊙
∴ ，
∵∠MOC＝∠COM，
∴△OMC∽△OBM，
∴ ，
∴MC＝ ，
∴AM+ BM＝AM+MC，
∴AM+ BM的最小值即为AM+MC的最小值，
∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC＝ ．
∴AM+ BM的最小值为 ．
10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12， C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求
⊙
AP+ BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使
CD＝3，则有 ＝ ＝ ，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，
∴ ＝ ，∴PD＝ BP，∴AP+ BP＝AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 3 ．
（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3， AP+PC的
最小值为 5 ．
（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是
上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
解：（1）解：（1）如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+ BP＝AP+PD，要使AP+ BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+ BP最小值为AD，
∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，
∴CF＝6，AF＝6 ，
∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，
∴AD＝ ＝3 ，
∴AP+ BP的最小值为3 ；
（2）如图，
在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，
∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，
∴ ，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，∴ ，
∴PF＝ AP，
∴ AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时， AP+PC的值最小，
∴CF＝ ＝ ＝5 ，
∴ AP+PC的值最小值为5 ；
（3）如图，
延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴ ，且∠AOP＝∠AOP，
∴△AOP∽△POF，
∴ ，
∴PF＝2AP，
∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，
∴OM＝4，FM＝4 ，
∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，
∴FB＝ ＝ ，
∴2PA+PB的最小值为 ．
11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+
PC的最小值为 ，PD﹣ PC的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
PD+ PC的最小值，以及PD﹣ PC的最大值．
解：（1）如图1，在BC上截取BE＝ ，
∴ ，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝ PC，
∴PD+ PC＝PD+PE≥DE，
PD﹣ PC＝PD﹣PE≤DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∴PD+ PC的最小值为： ，此时点P在P′处，
PD﹣ PC的最大值为： ，此时点P在P″处，
故答案为： ， ；
（2）如图2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∴ ，
∵∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝ PC，
∴PD+ PC＝PD+PE≥DE，
PD﹣ PC＝PD﹣PE≤DE，
在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，
∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2 ，
在Rt△DEF中，DF＝2 ，EF＝CE+CF＝3+2＝5，
∴DE＝ ＝ ，
∴PD+ PC的最小值为： ，此时点P在P′处
PD﹣ PC的最大值为： ，此时点P在P″处12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合 ＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希
腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面
内一动点，且OP＝r，设 ＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利
用（1）中的结论，请直接写出AD+ BD的最小值．
解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得 ．
（2）∵AC＝m＝4， ＝ ，在CB上取一点M，使得CM＝ CD＝ ，
∴ 的最小值为 ．
13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+
的最小值和PD﹣ 的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+
的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那
么PD+ 的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ．解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2，
∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PG＝ PC，
∴PD+ PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+ PC的值最小，最小值为DG＝ ＝5．
∵PD﹣ PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣ PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PG＝ PC，
∴PD+ PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+ PC的值最小，最小值为DG＝ ＝ ．
∵PD﹣ PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣ PC的值最大，最大值为DG＝ ．
故答案为 ，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2，
∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴ ＝ ＝ ，
∴PG＝ PC，
∴PD+ PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+ PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD•sin60°＝2 ，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝ ＝
∵PD﹣ PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣ PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝ ．
故答案为 ， ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣ x﹣6
交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四
边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为 E上一动点，求 AM+CM它的最小值．
⊙解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y＝﹣ x﹣6，∴F（a，﹣ a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣ x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴ （﹣4+0）＝ （a+a）， （﹣4+p）＝ （2a+4﹣ a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝ ，AE＝2 ，
设AE交 E于G，取EG的中点P，
⊙
∴PE＝ ，
连接PC交 E于M，连接EM，
∴EM＝EH⊙＝ ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴ ，
∴PM＝ AM，∴ AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE＝ ，
∴5（p+2）2＝ ，
∴p＝﹣ 或p＝﹣ （由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣ ，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝ ＝ ，
即： AM+CM的最小值为 ．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为 O上的动点，且 O的半径为2 ，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速
度沿线段AP匀⊙速运动到点P，再以⊙每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求
点E的运动时间t的最小值．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，
0），
∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），
将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：
，
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）∵ ＝ （x﹣4）2﹣4，
∴抛物线的顶点A（4，﹣4），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：
，
解得： ，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．
方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），
∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，
∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4 ，∠OAF＝∠BAF＝45°，
∴∠OAB＝90°，
∴△ABO是等腰直角三角形．
方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），
∴OB＝8，OA＝ ＝ ＝ ，
AB＝ ＝ ＝ ，
且满足OB2＝OA2+AB2，
∴△ABO是等腰直角三角形；
（4）如图2，以O为圆心，2 为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：
动点E的运动时间为t＝ AP+PB，
在OA上取点D，使OD＝ ，连接PD，
则在△APO和△PDO中，
满足： ＝ ＝2，∠AOP＝∠POD，
∴△APO∽△PDO，
∴ ＝ ＝2，
从而得：PD＝ AP，
∴t＝ AP+PB＝PD+PB，
∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作DG⊥OB于点G，由于 ，且△ABO为等腰直角三角形，
则有 DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝ ＝ ＝5 ．
