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模型介绍
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以
采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使
其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就
是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知
线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲
考点一：截长型
【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.
解：在DC上截取DE＝DB，连接AE．
设∠BCA＝ ，
∵AB+BD＝αDC，DE＝DB，
∴CE＝AB．
∵AD⊥BC，DB＝DE，
∴直线AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴CE＝AE，
∴∠BCA＝∠CAE．
∵AB＝AE，
∴∠CBA＝∠AEB．
∵∠AEB是△CAE的一个外角，
∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE，
∴∠CBA＝∠AEB＝2 ，
∴∠CBA+∠BCA＝3 α＝180°﹣120°＝60°，
∴ ＝20°， α
∴α∠BCA＝20°．
变式训练
【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．解：在AB上截取AC＝AE，设∠B＝x°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝x°
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD和△CAD中
，
∴△EAD≌△CAD，
∴∠C＝∠AED，CD＝DE，
∵AC+CD＝AB，AB﹣BE+AE，AE＝AC，
∴BE＝DE＝DC，
∴∠B＝∠BDE＝x°，
∴∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE＝2x°，
在△ABC中，x+x+2x＝180°，
∴x＝45，
即∠C＝2x°＝90°．
【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝
3，CE＝4，S ACE＝14，则S ACD＝________．
△ △解：在AE上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，
在△AMC和△ADC中， ，∴△AMC≌△ADC（SAS），∴ ，
∵∠B＋∠D＝180°， ，∴ ，
∵CE⊥AB，∴ ，
在 和 中， ，∴△EMC≌△EBC（AAS），∴ME＝EB＝3，
∵CE＝4，S ACE＝14，∴ ，∴AM＝AE-EM=7-3=4，
△
∴ ，∴ ．故答案为：８．
【变式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE．
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD与△AED中， ，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝DE，∠B＝∠AED，
∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠AED＝2∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴CE＝DE，
∴CE＝BD，
∴AC＝AE+EC＝AB+BD．
考点二：补短型
【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°
求证：BD+DC＝AB．
证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，
∵∠ABD＝60度，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，
∴∠ACF＝∠AFC，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠AFB＝∠ACD＝60°
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，
即BD+DC＝AB．
变式训练
【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE分别平
分∠ABC、∠BCD．求证：BC＝AB+DC．
证明：延长BE交CD的延长线于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠ABE，∠A＝∠FDA，
∴∠F＝∠CBE，
∴CF＝BC，
∵CE平分∠BCD，
∴BE＝EF（三线合一），
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△FDE（ASA），
∴FD＝AB，
∵CF＝DF+CD，
∴CF＝AB+CD， ∴BC＝AB+CD．
【变式2-2】．【问题背景】
如图1：在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，再证明 ，可得出结论 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， 、 分别是 ， 上的点 ，上述结
论是否仍然成立
【学以致用】
如图3，四边形 是边长为5的正方形， ，求 的周长．
解：（1）【问题背景】如图1
在 和 中，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；故答案为： ．（2）【探索延伸】解：结论 仍然成立；
理由：如图2，延长 到点 ．连接 ，
在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）【学以致用】解：如图3，延长 到点 ，连接 ，在 与 中，
∵ ，∴ ，∴ ， ．
∵ ， ，∴ ，∴ ，
在 与 中，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 的周长 ．实战演练
1．如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则 ABC的周长为（ ）
A．21 △ B．24 C．27 D．30 △
解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故选 C．
2．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝ 27 ° ．
解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，DE＝BD，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝54°，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，
∴∠C＝∠EAC＝ ∠AEB＝27°， 故答案为：27°．
3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．
求证：AD+CD＝AB．
证明：如图，在AB上截取AE＝AC，延长AD到F使AF＝AB，连接DE、BF．
又∵∠1＝∠2，AD是公共边BE，在△ADC和△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝100°，则得∠DEB＝80°
∵CA＝CB，AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2＝20°，∠3＝40°
∵AF＝AB，∠2＝20°，
∴∠F＝∠ABF＝1/2（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEB
∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，
∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，
在△BDF和△BDE中，
，
∴△DBE≌△DBF（AAS）
∴DF＝DE＝CD
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+DC．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于
点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．
证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，
∵∠BCD＝∠CBE＝30°，
∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，
∵OM＝OC，
∴△OMC为等边三角形，
∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，
∴∠DBO＝∠MCE，
在△BOD和△CME中，
，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO＝EM，
∴OE+OD＝OM＝OB，
在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，
∴2OG＝OB，
∴OE+OD＝2OG．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且 AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）BQ＝CQ；
（2）BQ+AQ＝AB+BP．
证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠QBC＝ ∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∴∠QBC＝ ＝40°，
∴∠QBC＝∠C，
∴BQ＝CQ；
（2）延长AB至M，使得BM＝BP，连接MP．
∴∠M＝∠BPM，
∵△ABC中∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠QBC＝40°＝∠C，
∴BQ＝CQ，
∵∠ABC＝∠M+∠BPM，
∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C，
∵AP平分∠BAC，
∴∠MAP＝∠CAP，
在△AMP和△ACP中，
∵
∴△AMP≌△ACP，∴AM＝AC，
∵AM＝AB+BM＝AB+BP，AC＝AQ+QC＝AQ+BQ，
∴AB+BP＝AQ+BQ．
6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．
证明：在BC上找到F使得BF＝BE，
，
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BOC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
在△BOE和△BOF中，
，
∴△BOE≌△BOF，（SAS）
∴∠BOF＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，
在△OCF和△OCD中，，
∴△OCF≌△OCD（ASA）， ∴CF＝CD，
∵BC＝BF+CF， ∴BC＝BE+CD．
7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．
求证：
（1）点E是AD的中点；
（2）BC＝AB+CD．
证明：延长CE交BA的延长线于点F．
∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB＝ ∠DCB，∠EBC＝ ∠CBA，
又∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠CBA＝180°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠CEB＝90°，即BE⊥EC，
∵AB∥CD
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠DCE＝∠ECB，
∴∠F＝∠ECB
∴BF＝BC，EC＝EF．
在△DCE和△AFE中，
，
∴△DCE≌△AFE，
∴DE＝AE，即E是AD的中点，DC＝AF，∴BC＝BF＝AB+CD．
8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，
（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；
（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？
（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．
解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：
在BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BC＝AB+AD，
∴CE＝AD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AB＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴4∠C＝180°，
∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，
即∠A＝90°；
（2）解：在BC上截取CF＝CD，连接DF．
∵BC＝BA+CD，
∴BF＝BA，
∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠A＝∠DFB，
∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴∠C+2∠DFC＝180°，
∵∠A+∠DFC＝180°，
∴2∠A﹣∠C＝180°，
∵∠A+2∠C＝180°，
解得：∠A＝108°，答：∠A的度数是108°．
（3）证明：
在BC上截取BQ＝BD，连接DQ，延长BA到W使BW＝BQ，连接DW．
∵∠A＝100°，AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBQ＝20°，
∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ＝ （180°﹣∠DBQ）＝80°，
∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，
∴DQ＝CQ，
∵在△WBD和△QBD中
，
∴△WBD≌△QBD，
∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，
∵∠BAC＝100°，
∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，
即∠WAD＝∠W，
∴AD＝DW＝DQ＝CQ，
∴BC＝BD+DA．
9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，
再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝
AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AB+BD＝AE+CE＝AC；
（2）延长AE、BC交于F，∵AB＝BF，BE平分∠ABF，
∴AE＝EF，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．
（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，
在△ADE和△DBF中，
，
∴△ADE≌△DBF（SAS）；
（2）如图②，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH、BD，
由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，
∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，
∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，
∴∠ADE+∠CDG＝120°，
∴∠CBH＝∠CDG，
在△CBH和△CDG中，
，
∴△CBH≌△CDG（SAS），
∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，
∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，
∴∠BCH+∠BCG＝60°，
即∠GCH＝60°，
∴△CGH是等边三角形，
∴GH＝CG，
∵GH＝BG+BH＝BG+DG，
∴BG+DG＝CG．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF
＝ ∠BAD．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；
（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点
F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，
连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数
量关系，并证明你的猜想．
解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和
第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．
（1）求点C坐标；
（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；
（3）求∠BEO度数；
（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP
延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．
解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0
又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0，
∴n＝﹣2，m＝﹣4，
∴点C坐标为（﹣4，﹣2）；
（2）如图1中，作OH⊥BD于H，OF⊥AC于F．∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，
∴HO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OE平分∠BEC，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
设BD交y轴于点R，则∠ARE＝∠BRO，
∴∠AEB＝∠BOA＝90°，
即AC⊥BD；
（3）由（2）知，AC⊥BD，则∠FEH＝90°，
∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°，
故四边形OHEF为矩形，
而HO＝OF，故四边形OHEF为正方形，
而OE为该正方形的对角线，
∴∠BEO＝45°；
（4）结论：BM＝MN+ON．
理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，
∴△AOQ≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAQ，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠ABP＝∠BAQ，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，
∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，
∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，
∴△BNH≌△BNO（ASA），
∴HN＝NO，∠H＝∠BON，
∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，
∴∠HBM＝∠BON＝∠H，
∴MH＝MB，
∴BM＝MN+NH＝MN+ON．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上
（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎
样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程
中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，
并求出定值．
解：（1）过点A作AD垂直OC于D．
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠DAC，
在△ADC和△COB中，
，
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD＝OC，CD＝OB，
∴点B坐标为（0，4）；
（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF＝BD，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD＝2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF＝OE，
∵∠CBO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°，
∴∠ACO＝∠CBO，在△BCO和△ACE中，
，
∴△BCO≌△ACE（AAS），
∴CE＝OB，
∴OB+AF＝OC．
∴ ＝1．
