文档内容
模型探究
费马点问题思考：
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值.
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小.
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用
旋转变换．
R秘诀： 以△ AB C 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值例题精讲
【例1】．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°
（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；
（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝ ，PC＝3，求∠APC的度数；
（3）如图3，当AC＝4，AB＝ （CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为
．
变式训练
【变式1-1】如图， 是边长为1的等边 内的任意一点，求 的取值范围.【变式1-2】．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P点叫△ABC的费
马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝
120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF
＝ ．
【变式1-3】．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为______.
【例2】.如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA、PD、PQ，则
PA+PD+PQ的最小值为________
变式训练
【变式2-1】．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，
则MA+MD+ME的最小值为（ ）
A．3+2 B．4+3 C．2+2 D．10【变式2-2】．如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+ ，则这
个正方形的边长为 ．
【变式2-3】．两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠ ＝30°，则对角线BD上的
动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ． α1．如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，正方形的边长为
_______．
2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接
MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点
Q的距离之和的最小值为 ．
3．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站
E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
4．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC等于150°，PC＝5，PB＝12，求PA的长．5．将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，
∠ABC＝30°，点P为平面内一点．
（1）∠ACB＝ 度；
（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；
（3）AP+BP+CP的最小值为 ．
6．如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC
费马点．（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ．
（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 ．
（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．
7．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马
点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．
如图（2）
①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点．
8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰
三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝
60°，AC＝ ，求AE+BE+CE＝ ；
【尝试应用】
（2）如图2，等边三角形ABC边长为 ，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转
60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知
∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．9．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形
△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时
∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC
为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试
说明这种作法的依据．10．问题提出
（1）如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′．则
BB′＝ ；
问题探究
（2）如图②，已知△ABC是边长为4 的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内
一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．
①求证：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
问题解决
（3）如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出
口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台 P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并
修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建
专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）11．【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5 ，则△ABC的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】
如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形ABCD是一个边长为3 cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝
cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、
D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距
离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到 1cm，参考数据 ≈1.7，10.52＝
110.25）．12．已知抛物线y＝﹣ x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形
ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．
（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；
（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线 CP的解析
式．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，
OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线 与x轴相交于A、F两点（A在F的左
侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时
线段AP的长．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/3 22:37:10；用户：初中数学；邮箱：lsjycs@xyh.com；学号：30145887
