文档内容
模型介绍
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
（一）、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A
A
m
P
m
B
B
（2）点A、B在直线同侧： A
A
B
B
m
P
m
A'
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：
A
m
A
m P' P
n
Q' Q
n
B
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
A m
m
P
B
B
n
n
Q
B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m
A A
P
B B
Q
n n
B'
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，
使得围成的四边形ADEB周长最短.
n
n A' A
B
A
B D
m
E
m
B'
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点
PA+PQ+QA周长最短. n
A'
n
A
A Q
m
m
P
A"
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m P P'
解：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，
而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
m m
P' P
B
B
解：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
例题精讲
考点一、两定一动模型
【例1】.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝
3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．10
解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．
变式训练
【变式1-1】．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使
PA+PE最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE＝2cm，
∴BE＝ ＝2 ，
∴PA+PE的最小值是2 ．
故选：C．
【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB ＝ S矩形ABCD ，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为 ．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB ＝ S矩形ABCD ，
∴ AB•h＝ AB•AD，
∴h＝ AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连
接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
即PA+PB的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式1-3】．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上
的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．解：作N关于OA的对称点N'，连接N'M交OA于P，
则此时，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN'，
∴ON＝ON'，∠N'ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON'是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N'M⊥ON，
∵点N（5，0），∴ON＝5，
∵点M是ON的中点，∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
考点二、一定两动模型
【例2】.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，
E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________.
解：在AB上取一点G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，
CG＝ ．
变式训练
【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的
动点，则AE+EF的最小值为 3 ．
解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
作A关于BC的对称点D，交BC于H，过D作DF⊥AC于F，交BC于E，
则此时AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值＝DF，
连接CD，
则△ACD是等边三角形，
∵S△ADC ＝ AC•DF＝ AD•CH，
∵AD＝AC，∴DF＝CH，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝ BC＝2，
同理BH＝ AB＝1，
∴CH＝BC﹣B＝3，∴DF＝CH＝3，
∴AE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
【变式2-2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE
上的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，
∴P′D′＝2 ，
即DQ+PQ的最小值为2 ，
故答案为：2 ．【变式2-3】．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、
N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 100 ° ．
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案为：100°．
考点三、线段差最大值模型
【例3】.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，
△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
解：∵MN垂直平分AC，
∴MA＝MC，又∵C△BMC ＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，
∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取点P，
∵MN垂直平分AC
连接PA、PB、PC
∴PA＝PC
∴PA﹣PB＝PC﹣PB
在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
变式训练
【变式3-1】．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，
当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________.
解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝
﹣ x﹣ ；
求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣
PB|＜BC；
【变式3-2】．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，
CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 1 0 ．
解：延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴|PA﹣PB|的最大值等于10，
故答案为：10．
【变式3-3】．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD
上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
解：由菱形性质可知，C点关于BD的对称点A，连接AP，则AP＝CP，
在△APE中，
|PE﹣PA|＜EA，
则当点P、E、A三点共线时，|PE﹣PA|取最大值，最大值为AE．
∴|PC﹣PE|的最大值为AE．
∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5，
∵点E为AB边的中点 ∴AE＝2.5，∴|PC﹣PE|的最大值为2.5．
模型四、造桥选址模型（即动线段类型）
【例4】.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满
足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 1 2 ．
解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB边上截取AM＝PQ，
∵点F是BC的中点，
∴点B关于EF的对称点为点C，
连接CM，交EF于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝ ＝5， ∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12． 故答案为：12．
变式训练
【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最
小，则点P的坐标应为 （ ， 0 ） ．
解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝ ，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴BP＝6﹣2﹣ ＝ ， 故点P的坐标为：（ ，0）． 故答案为：（ ，0）．【变式4-2】．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且 EF＝ ，连接
CE、CF，则△CEF周长的最小值为 ．
解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，
则AE＝FG，EF＝AG＝ ，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，
∴∠GAC＝90°，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴CE＝AE＝GF，
∴CE+CF＝GF+CF，
∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长，
此时，Rt△ACG中，CG＝ ＝ ＝2 ，
∴CF+FG的最小值等于2 ，
又∵EF＝ ，
∴△CEF周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式4-3】．在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF＝2，当四边形CDEF的周
长最小时，求点E，F的坐标．
解：如图，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，
连接D′G与x轴交于点E，在EA上截EF＝2，
∵GC∥EF，GC＝EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE＝CF，
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有 ＝ ，
∴OE＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝OE+EF＝ 2＝ ，
∴点E的坐标为（ ，0），点F的坐标为（ ，0）．实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和
AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
解：作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，如图2所示.
∵AD平分∠BAC，
∴点Q′在直线AB上，PQ＝PQ′，
∴PC+PQ＝PC+PQ′，
∴当CQ′⊥AB，点P为CQ′与AD的交点时，PC+PQ′取得最小值，最小值为CQ′．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∴ AC•BC＝ AB•CQ′，即 ×6×8＝ ×10•CQ′，
∴CQ′＝ ，
∴PC+PQ的最小值为 ．
故选：D．2．如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一
点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A． B． C．12 D．
解：连接AC，AE，过C作CG⊥AB，
∵正方形ABEF，
∴AE⊥BF，OA＝OE，
即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP+CP的值最小，
EP+CP＝AC，
∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，
∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在Rt△BCG中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，
∴CG＝1，BG＝ ，
∴AC＝ ，
∴AC2＝8+4 ，
即这个最小值的平方为8+4 ，
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP＝PA，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵B（3， ），
∴AB＝ ，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2 ，
由三角形面积公式得： ×OA×AB＝ ×OB×AM，
∴AM＝ ，
∴AD＝2× ＝3，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
∴AN＝ AD＝ ，由勾股定理得：DN＝ ，
∵C（ ，0），
∴CN＝3﹣ ﹣ ＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝ ＝ ，
即PA+PC的最小值是 ，
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．
∵AB＝ ，OA＝3
∴∠AOB＝30°，
∴∠DOC＝2∠AOB＝60°
∵OC＝OD
∴△OCD是等边三角形
∴DM＝CD•sin60°＝ ，OM＝CM＝CD•cos60°＝
∴AM＝OA﹣OM＝3﹣ ＝
∴AD＝ ＝
即PA+PC的最小值为
故选：B．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝
6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC＝ AB＝8 ，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝4 ，
∵N为OA中点，
∴ON＝2 ，
∴ON'＝CN'＝2 ，
∴AN'＝6 ，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴ ＝ ＝ ，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2， 故选：A．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足
PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝ ＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4 ＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4 ＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝ ＝2
∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4 ＜PE+PF≤4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
6．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|
BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 （ 0 ， 6 ） ．
解：∵A（1，4），B（3，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，
此时C（0，6）
故答案为（0，6）
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角
形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为 80 ° ．
解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于
点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝130°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．
∴∠MAN＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：80°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，点D，E分别是边AB，BC上的动点，则
DC+DE的最小值为 ．
解：作C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥BC，与AB交于点D，
则DC+DE的最小值即为C'E；
∵∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，
∴AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴CC'＝ ，
∵∠B＝∠C'，
∴ ，∴C'E＝ ， 故答案为 ；
9．如图，在 ABCD中，点M、N分别是AC和BC上的动点，AB＝3，BC＝6，∠D＝60°，在点M、N运
动的过程中▱，BM+MN的最小值为 3 ．
解：延长BA到E，使EA＝AB，过点E作EN⊥BC于N，交AC于M，连接BM,
在 ABCD中，∠D＝60°，
∴▱∠ABC＝∠D＝60°，
∵△ABC中，AB＝3，EA＝AB，
∴BE＝BC＝6，△EBC是等边三角形，
∴点E和点B关于AC对称，
∴BM+MN的最小值即为EN的长，
Rt△EBN中，∠BNE＝90°，∠ABC＝60°，BE＝6，
∴BM+MN＝EN＝BE×sin60°＝3 ．
故答案为：3 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，长为 2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 2 ．
解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′＝ ＝2 ，
∴AC+BD的最小值为2 ． 故答案为：2 ．
11．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP﹣PE
的最大值是 3 ．
解：如图，连接PC，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，∴AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∵E是AC边的中点，AB＝6，
∴EC＝3，
在△PCE中，CP﹣PE＜EC，
∴CP﹣PE＜3，
∴当P与A重合时，CP﹣PE的值最大为3，
BP﹣PE的最大值是3．故答案为：3．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P（4，5），点Q（0，2），当腰长为2的等腰直角三角形ABC在x
轴上滑动时，AQ+PC的最小值为 ．
解：连接QC、AQ、CO、OP，如右图所示，
∵Q（0，2），△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，
∴∠CAO＝∠QOA＝∠OQC＝90°，
∴四边形QOAC是矩形，
∴AQ＝OC，
∴AQ+PC＝OC+PC，
∵OP＜OC+PC，等腰直角三角形ABC在x轴上滑动，
∴当OC+PC等于OP时，取得最小值，
∵点P（4，5），
∴OP＝ ＝ ，
∴AQ+PC的最小值是 ，
故答案为： ．
13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为 2 ．
解：取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM＝ AE，
∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，
∴MB＝2，∠HMB＝60°，
∴HM＝1，
∴AE'＝2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝2 ，BC＝4，
∴EC＝2 ，
故答案为2 ；
14．如图，正方形ABCD内接于 O，线段MN在对角线BD上运动，若 O的面积为2 ，MN＝1，则
△AMN周长的最小值为 4 ⊙． ⊙ π解： O的面积为2 ，则圆的半径为 ，则BD＝2 ＝AC，
由正
⊙
方形的性质，知
π
点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝ ＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
15．如图抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，
若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x ＝﹣3，x ＝1，则A（﹣3，0），B（1，0），
1 2
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE和DF都为△PBC的中位线，
∴DE＝ PC，DF＝ PB，∴DE+DF＝ （PC+PB），
连接AC交直线x＝﹣1于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此时PB+PC的值最小，其最小值为3 ，
∴DE+DF的最小值为 ．
故答案为 ．
16．如图，正方形ABCD边长为4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四边形AMNE周长的最小值．
解：在AD上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，作A′关于BC的对称点A″，连接A″E交BC于N．
此时四边形AMNE的周长最短．
由题意AE＝ ＝ ，A″E＝ ＝ ，
∴四边形AMNE的周长的最小值为2+ + ．
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17．（1）如图1，OC平分∠AOB，点D是射线OA边上一点，点P、Q分别在射线OC、OB上运动，已知
OD＝10，∠AOC＝30°，则DP+PQ的最小值是 1 0 ；（2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，点E是AB边上的动点，点F是对角线AC上的
动点，求EF+BF的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点M是AB上一动点，点N是对角线AC上一动点，
请直接写出MN+BN的最小值．
解：（1）当D、P、Q共线且DQ⊥OB时，DP+PQ的值最小，
∴DP+PQ的最小值是5 ，
故答案为：5 ；
（2）连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则FD＝FB，
∴FE+FB＝EF+FD＝DE，
即DE就是FE+FB的最小值，
∵∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ＝4 ，
∴EF+BF的最小值＝4 ；
（3）如图3，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
连接AB′交DC于P，连接BN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC＝∠BAC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC．
令PA＝x，则PC＝x，PD＝8﹣x．
在Rt△ADP中，∵PA2＝PD2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∵cos∠B′AM＝cos∠APD，
∴AM：AB′＝DP：AP，
∴AM：8＝3：5，
∴AM＝ ，
∴B′M＝ ＝ ＝ ，
∴MN+BN的最小值＝ ．18．（1）如图①，点P为直线l上一个动点，点A，B是直线l外同侧的两个定点，连接PA，PB，AB．
若AB＝2，则PA﹣PB的最大值为 2 ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BD，垂足为点O，OA＝
2OC，点E为OC中点，点F在AB上，且BF＝3AF，点P为BD上一动点，连接PE，PF，若AC＝6，
求PF﹣PE的最大值．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，点P为平面内一动点，连接PA，PB，PC．
若PA＝2，求PB﹣PC的最大值.
解：（1）根据三角形三边关系两边之差小于第三边，
∴只有当A、B、P共线时PA﹣PB有最大值为AB＝2，
故答案为：2；
（2）如图②，作点E关于BD的对称点E'，连接FE'并延长交BD于P'，
同理（1）可知，此时F、E、P共线PF﹣PE有最大值为FE'，
∵AC＝6，OA＝2OC，OA+OC＝AC，
∴OA＝4，OC＝2，
∵点E为OC中点，
∴OE＝ OC＝1，
根据对称性得：OE'＝OE＝1，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，AC⊥BD，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝ AO＝4 ，
∵BF＝3AF，AF+BF＝AB，
∴AF＝ ，作FH⊥AC于H，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
即△AFH也为等腰直角三角形，
∴AH＝FH＝ AF＝1，
∴HE'＝AO﹣AH﹣OE'＝4﹣1﹣1＝2，
∴FE'＝ ＝ ＝ ，
故PF﹣PE的最大值为 ；
（3）如图③，将△APC绕A点顺时针旋转150°得到△AP'B，则PC＝P'B，
∴当点P、P'、B三点共线时，PB﹣PC有最大值为PP'，
作PO⊥P'A延长线于O，
∵∠BAC＝150°，
∴∠OAP＝30°，
∴OP＝ AP＝1，
∴OA＝ ＝ ＝ ，
∴P'O＝2+ ，
∴P'P＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴P'B﹣P'C＝ ，
故PB﹣PC的最大值为 ．19．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的
坐标．
解：（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣4）．
（2）如图1，由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线x＝1交BC于点D，点P为直线x＝1上任意一点，连接AD、PB，
∵AC为定值，
∴当PA+PC的值最小时，△ACP的周长最小，
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC，
∵PB+PC≥BC，∴当点P与点D重合时，PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PB+PC的值最小，PA+PC的值也最小，
抛物线y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2）．
（3）如图2，过点N作NF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设点N的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，x﹣3），
∴EN＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCN ＝S△CEN +S△BEN ＝ EN•OF+ EN•BF＝ OB•EN，
∴S△BCN ＝ ×3（﹣x2+3x）＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，S△BCN最大 ＝ ，此时N（ ，﹣ ），
∴△BCN面积的最大值为 ，N（ ，﹣ ）．20．如图，已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线 与直线交于A、E
两点，与x轴交于B、C两点，且线段OA＝OB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣CM|的值最大，求点M的坐标．
（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为 ）
解：（1）∵直线 与y轴交于点A，
∴A点坐标为；（0，1），
∵线段OA＝OB，
∴B（1，0），
将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y＝ x2+bx+c
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x+1；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为 m2﹣ m+1，即E点的坐标（m， m2﹣ m+1），
又∵点E在直线y＝ x+1上，
∴ m2﹣ m+1＝ m+1
解得m ＝0（舍去），m ＝4，
1 2
∴E的坐标为（4，3）．
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP ⊥DE交x轴于P 点，设P （a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），
1 1 1
由Rt△AOD∽Rt△P OA得 ＝ 即 ＝ ，
1
∴a＝ ，
∴P （ ，0）．
1
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP ⊥DE交x轴于P 点，
2 2
由Rt△AOD∽Rt△P ED得， ＝ 即 ＝ ，
2
∴EP ＝ ，
2
∴DP ＝ ＝ ，
2
∴a＝ ﹣2＝ ，
P 点坐标为（ ，0）．
2
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P （t，0），
3
由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由 ＝ 得 ＝ ，
解得t ＝3，t ＝1，
1 2
∴此时的点P 的坐标为（1，0）或（3，0），
3综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，0）或（1，0）或（3，0）或（ ，0）；
（3）抛物线的对称轴为x＝ ，
∵B、C关于x＝ 对称，
∴MC＝MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y＝﹣x+1
∴由 ，
得 ，
∴M（ ，﹣ ）．
