文档内容
模型介绍
R【结论一】
如图 直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.
R【结论二】
如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有
以下结论成立：
过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为
AQ的长度.
R方法点拨
1.题型特征：
①一定点 ②动点的运动轨迹为直线
R2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.例题精讲
【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是 ．
变式训练
【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则
线段PC的最小值是 ．
【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上
的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、
BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且
AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ PB的最小值是 ．实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE
的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段
BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6 ，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连
接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.54．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，
则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以
相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接
PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC ＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC
上一动点，则CM+MN的最小值是 ．
8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动
点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝ ，则BE+EF的最小值为 ．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝ ，连
接EF，BG，则EF+BG的最小值为 ．10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与
边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为 ．
11．如图，边长为8 的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C
逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P
三点 O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 ．
⊙13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过
点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 ．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三
角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求MN的最
小值．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．（1）求AM+BM+CM的最小值；
（2）求AM+ BM的最小值．17．如图，二次函数 的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段
OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，
且点D与O、A点不重合．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求证：△OCD∽△A′BD；
（3）求 的最小值．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点A（1，0），C（﹣3，0）．与y轴交点B（0，3），如图1所示，
D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则 RB+AR的最小值为 2
（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于
点Q、F、E，如图2所示，求证：EF＝EP．
（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN＝∠CTN．直接写出点T的坐
标．
