文档内容
大 招 平行线拐点之
猪蹄、锯齿、铅笔模
型
模型介绍
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；
③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
故答案为：∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
【模型辨析】
①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；
在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，
∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，
∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；
在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规
律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
【模型辨析】
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲
考点一：猪蹄模型
【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
变式训练
【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）
A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°
【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝ ∠NBM，∠CDN＝ ∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ ．
【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．考点二：锯齿模型
【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝ ∠CDE，∠ABF＝ ∠ABE，则∠E：∠F＝ ．
变式训练
【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM
的大小是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E；第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分
1 1 1
线，交点为E；第三次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E…第n次操作，分别作∠ABE
2 2 2 3 n
和∠DCE 的平分线，交点为E．
﹣1 n﹣1 n
如图②，若∠E＝b°，则∠BEC的度数是 ．
n
考点三：铅笔头模型
【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ．
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
变式训练【变式3-1】．如图所示，l∥l，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（ ）
1 2
A．55° B．60° C．65° D．70°
【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则
∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °．实战演练
1．如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
2．如图，AB∥ED， ＝∠A+∠E， ＝∠B+∠C+∠D，则 与 的数量关系是（ ）
α β β α
A．2 ＝3 B． ＝2 C．2 ＝5 D． ＝3
β α β α β α β α
3．如图，若AB∥EF，用含 、 、 的式子表示x，应为（ ）
α β γ
A． + + B． + ﹣ C．180°﹣ ﹣ + D．180°+ + +
α β γ β γ α α γ β α γ β
4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，
AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠ ﹣∠ +∠ ＝
α β γ180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是 ．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为
7．如图，若直线l ∥l ，∠ ＝∠ ，∠1＝30°，则∠2的度数为 ．
1 2
α β
8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数
是 ．
10．如图，AB∥CD，∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE，则∠E：∠F＝ ．
11．（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝ ∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求 的值．
13．如图 1，点 A 是直线 HD 上一点，C 是直线 GE 上一点，B 是直线 HD、GE 之间的一点．
∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的
度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR
平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求
解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠ ，
∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ，问：∠ 、∠ 、∠ 之间有何数量关系？请说明理由． α
②在①的条β件下，如果点γP不在A、αB两β点之间γ运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠ 、∠ 、∠ 间的数量关系．
α β γ
