文档内容
大 招 平行线拐点之
猪蹄、锯齿、铅笔模
型
模型介绍
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；
③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
故答案为：∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P，
2 1 3
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P+…+P ＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
【模型辨析】
①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；
在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，
∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，
∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；
在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规
律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
【模型辨析】
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲
考点一：猪蹄模型
【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，
∵∠C＝44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，
∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，故选：B．
变式训练
【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）
A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°
解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，
∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．
【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝ ∠NBM，∠CDN＝ ∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝ 50° ．解：如图所示，过M作ME∥AB，则
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥CD，
∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°，
又∵∠BMD＝160°，
∴∠ABM+∠CDM＝200°，
又∵∠ABN＝ ∠NBM，∠CDN＝ ∠MDN，
∴∠NBM+∠NDM＝ ×200°＝150°，
∴四边形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°，
故答案为：50°．
【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．
解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
考点二：锯齿模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝ ∠CDE，∠ABF＝ ∠ABE，则∠E：∠F＝ 3 ： 2 ．
解：过E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EM，CD∥FN，
∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN，
∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF，
∵∠CDF＝ ∠CDE，∠ABF＝ ∠ABE
∴∠DFB＝ ∠CDE+ ∠ABE＝ ∠DEB，
∴∠DEB：∠DFB＝3：2， 故答案为：3：2．
变式训练
【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM
的大小是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
解：如图，作GJ∥AB，HK∥AB交MN于K．
∵AB∥GJ，HK∥AB，AB∥CD，
∴AB∥GJ∥HK∥CD，
∴∠AFE＝∠JGF＝30°，
∵∠FGH＝90°，
∴∠JGH＝∠GHK＝60°，∵∠CNP＝∠HKN＝40°＝∠M+∠MHK，∠M＝30°，
∴∠MHK＝40°﹣30°＝10°，
∴∠GHM＝60°﹣10°＝50°，故选：D．
【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E；第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分
1 1 1
线，交点为E；第三次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E…第n次操作，分别作∠ABE
2 2 2 3 n
和∠DCE 的平分线，交点为E．
﹣1 n﹣1 n
如图②，若∠E＝b°，则∠BEC的度数是 2n b ° ．
n
解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，
∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，
1
∴∠CEB＝∠ABE+∠DCE＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
1 1 1
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，
1 1 2
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠CEB＝ ∠BEC；
2 2 2 1 1 1如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，
2 2 3
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠CEB＝ ∠BEC；
3 3 3 2 2 2
…
以此类推，∠E＝ ∠BEC．∴当∠E＝b°时，∠BEC等于2nb°
n n
考点三：铅笔头模型
【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ 180° ．
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （ n ﹣ 1 ） ×180° ．
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，
故答案为：（n﹣1）×180°．
变式训练
【变式3-1】．如图所示，l∥l，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（ ）
1 2
A．55° B．60° C．65° D．70°
解：过点E作EF∥l，标记如图所示．
1
∵l∥l，
1 2
∴l∥l∥EF，
1 2
∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°．
∵∠2＝140°，∠1＝105°，
∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°，
∴∠3＝65°．故选：C．
【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 540° ．
解：如图，根据题意可知：
AB∥EF，
分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，
所以AB∥CG∥DH∥EF，
则∠B+∠BCG＝180°，
∠GCD+∠HDC＝180°，
∠HDE+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．
【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 90 0 °．
解：分别过E点，F点，G点，H点作L，L，L，L平行于AB
1 2 3 4
利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，
∴180×5＝900°．
故答案为：900．
实战演练1．如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
解： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°，
∵∠A＝140°，∠AEC＝120°，
∴∠C＝100°，故选：B．
2．如图，AB∥ED， ＝∠A+∠E， ＝∠B+∠C+∠D，则 与 的数量关系是（ ）
α β β α
A．2 ＝3 B． ＝2 C．2 ＝5 D． ＝3
解：过β C点α作CF∥AB， β α β α β α
∵AB∥ED，
∴CF∥DE，
∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°，
∴ ＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°，
∵βAB∥DE，
∴∠A+∠E＝ ＝180°，
∴2 ＝ ，故选α：B．
3．如图α，β若AB∥EF，用含 、 、 的式子表示x，应为（ ）
α β γA． + + B． + ﹣ C．180°﹣ ﹣ + D．180°+ + +
解：α过βCγ作CD∥AB，过Mβ作γ MαN∥EF， α γ β α γ β
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴ +∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝ ，
∴α∠BCD＝180°﹣ ，∠DCM＝∠CMN＝ ﹣ ， γ
∴x＝∠BCD+∠DCαM＝180°﹣ + ﹣ ， 故β 选γ：C．
4．①如图1，AB∥CD，则∠A+α∠βE+∠γC＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，
AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠ ﹣∠ +∠ ＝
180°．以上结论正确的个数是（ ） α β γ
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故本结论错误，不符合题意；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故本结论正确，符合题意；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故本结论错误，不符合题意；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠ ＝∠BOF，
∵CDα∥EF，
∴∠ +∠COF＝180°，
∵∠γBOF＝∠COF+∠ ，
∴∠COF＝∠ ﹣∠ ，β
∴∠ +∠ ﹣∠α ＝1β80°，
故本γ结论正α 确，β符合题意；
综上结论正确的个数为2，故选：B．
5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是 ．解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE， ∴AB∥FC∥DE，
∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，
∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为
解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，
∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，
又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B．
7．如图，若直线l ∥l ，∠ ＝∠ ，∠1＝30°，则∠2的度数为 150 ° ．
1 2
α β
解：延长AB交l 于E，
2
∵∠ ＝∠ ，
∴ABα∥CDβ，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠3＝∠1＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案为：150°．
8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．
∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．故答案为：64．
9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数
是 ．
解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，
∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，
∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，
∴∠CGH＝30°，
∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故选：C．
10．如图，AB∥CD，∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE，则∠E：∠F＝ ．
解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝ （∠ABE+∠CDE）＝ ∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
11．（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，
∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴所有角的和为（n+1）•180°．
12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝ ∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求 的值．
解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，
证明：如图①，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠ABE＝120°，∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，
∴∠D+∠BED＝120°；
（2）如图②，
∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝ ∠CDE，
即∠CDE＝3∠CDF，
设∠BEF＝ ，∠CDF＝ ，
∴∠DEF＝α2 ，∠DEB＝β3 ，∠CDE＝3 ，∠EDF＝2 ，
由（1）知：α∠BED+∠CDEα＝120°， β β
∴3 +3 ＝120°，
∴ α+ ＝β40°，
∴α2 +β2 ＝80°，
∴∠αEFβD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2 +2 ）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°； α β
（3）如图③，
∵BG⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵∠ABE＝120°．
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，
∵∠CDE＝4∠GDE，∴∠GDE＝ ∠CDE，
∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，
∴∠G+30°＝∠E+ ∠CDE，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴∠CDE＝120°﹣∠E，
∴∠G+30°＝∠E+ （120°﹣∠E），
∴∠G＝ ∠E，
∴ ＝ ．
13．如图 1，点 A 是直线 HD 上一点，C 是直线 GE 上一点，B 是直线 HD、GE 之间的一点．
∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的
度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR
平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．
（1）证明：如图1中，作BK∥DH，∵BK∥DH，
∴∠DAB+∠ABK＝180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，
∴∠CBK+∠BCE＝180°，
∴BK∥CE，
∴AD∥CE．
（2）如图1中，作BK∥DH，
∵DH∥GE，
∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x，
∵2∠B﹣∠F＝90°，
∴2y+4x﹣x﹣2y＝90°，
∴x＝30°，
∠BAH＝60°．
（3）如图3中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠APN＝∠NPQ＝y．∵∠APQ＝∠HAP+∠PQG，
∴2y＝60°+2x，
∴y﹣x＝30°，
∵∠MPQ＝∠PQR＝x，
∴∠MPN＝∠NPQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°．
14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求
解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠ ，
∠ADP＝∠ ，∠BCP＝∠ ，问：∠ 、∠ 、∠ 之间有何数量关系？请说明理由． α
②在①的条β件下，如果点γP不在A、αB两β点之间γ运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠ 、∠ 、∠ 间的数量关系．
α β γ
解：（1）∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为110°．（2）①当点P在A、B两点之间，如图3，作PQ∥AD，
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ＝∠ ，∠CPQ＝∠ ，
∵∠CPD＝∠DβPQ+∠CPQ，γ
∴∠ ＝∠ +∠ ；
α β γ
②当点P在B、O两点之间时，作PQ∥AD，
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠DPQ＝∠ ，∠CPQ＝∠ ，
∵∠CPD＝∠DβPQ﹣∠CPQ，γ
∴∠ ＝∠ ﹣∠ ；
当Pα点在Aβ，M之γ间运动时，此时∠ ＝∠ ﹣∠ ．
综上所述：∠ ＝|∠ ﹣∠ |． α γ β
α β γ
