文档内容
大 招 飞镖模型和 8 字模型
模型介绍
模型一：飞镖模型
（1）角的飞镖模型
结论：
解答：①方法一：延长 交 于点 得证
②方法二：延长 交 于点 得证
③方法三：延长 到在其延长方向上任取一点为点 得证
总结：利用三角形外角的性质证明
（2）边的飞镖模型
结论：
解答：延长 交 于点 +三角形三边关系+同号不等式
大的放左边，小的放在右边得证
模型二：8在模型
（1）角的8字模型
结论：解答：
①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角 的性质得证
总结：①利用三角形内角和等于 证明
推出
②利用三角形外角的性质证明
（2）边的8字模型
结论：
解答：三角形三边关系+同号不等式得证
总结：
①三角形两边之和大于第三边
例题精讲
考点一：飞镖模型
【例1】．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC=_______
解：延长BO，交AC于点D，
∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B
＝20°+70°+40°
＝130°．
变式训练
【变式1-1】．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，则∠P的度数为（
）
A．15° B．20° C．25° D．30°
解：如图，延长PC交BD于E，
∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，
在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，
在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，
∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，
①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，
∴∠P＝ （∠A﹣∠D），
∵∠A＝55°，∠D＝15°，
∴∠P＝ （55°﹣15°）＝20°． 故选：B．
【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（
）
A．80° B．50° C．100° D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠BCI＝ ∠ACB，
∠CBI＝ ∠ABC，
∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣ 100°＝130°；故选：D．
【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA +PB +PC＞ （AB +BC +AC）．证明：在△ABP中：AP +BP＞AB．
同理：BP +PC＞BC，AP +PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA +PB +PC）＞AB +BC +AC，即PA+PB+PC＞ （AB +BC +AC）．
考点二：8字模型
【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，
∴∠2+∠3＝120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，
∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
变式训练
【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 36 0 °．
解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，
在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，
则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是
36 0 度．
解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，
∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，
又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，
∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，
故答案为：360．
【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 36 0 °．
解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C +∠D，
又∵∠1+∠2+∠E +∠F＝360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC
与DF交于点O，则∠BOD的度数是 105° ．
解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，
∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵∠COF＝∠BOD，
∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．
实战演练
1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
解：因为∠AEB与∠DEC是一组对顶角，
所以∠AEB＝∠DEC．
在△ABO中AB⊥BD，∠A＝35°，
所以∠AEB＝65°．
在△DCO中AC⊥CD，∠DEC＝65°，所以∠D＝35°．故选：A．
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）A．120° B．150° C．180° D．200°
解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．
3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若
∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 65°，则
图中角 的度数为 140 ° ．
α解：如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠ ＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．
α
5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝ ，∠BPC＝ ，则∠BQC＝ （ + ） ．（用
， 表示） α β α β
α β
解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3＝ ABP，∠4＝ ACP，
∵∠1+∠2＝180°﹣ ，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣ ，
β α
∴∠3+∠4＝ （ ﹣ ），
β α
∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣ ）﹣ （ ﹣ ），
β β α
即：∠BQC＝ （ + ）．
α β
故答案为： （ + ）．
6．如图，则∠A+∠αB+β∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝ 54 0 度．解：如图，连接CH，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，
由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．
故答案为：540．
7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 230 ° ．
解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，
又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝115°+115°＝230°．
故答案为：230°．
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为
解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，
∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．
9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，
需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 1 0 度．
解：连接CF，并延长至点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°．
∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，
∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，
即110°＝70°+∠D+30°，
∴∠D＝10°，
∴20°﹣10°＝10°，
∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．
故答案为：减少；10．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．
解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，
由三角形的外角的性质可知：
∠C+∠D＝∠1，
∠G+∠H＝∠2，
∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，
∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，
∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，
∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，
∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°
11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并
证明你的结论．
解：过点C作直线MN∥AB，
∵AB∥DE，MN∥AB，
∴MN∥DE，
∴∠DEC＝∠ECN，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，
同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，
∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，
∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．
12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝ （∠A+∠C）
证明：如右图所示，
∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，
∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，
又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，
∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，
∴2∠P＝∠C+∠A，
∴∠P＝ （∠A+∠C）．
13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与
∠B、∠D间的数量关系．
解：∠AMC＝180°﹣ ∠B+ ∠D，理由如下：∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，
∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，
∴∠BAM+∠BCM+ ∠B+ ∠D＝180°，
∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣ ∠B﹣ ∠D，
∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣ ∠B﹣ ∠D＝360°，
∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣ ∠B﹣ ∠D）﹣∠B＝180°﹣ ∠B+ ∠D．
14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如
图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下
列问题：
①仔细观察，在图2中有 3 个以线段AC为边的“8字形”；
②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量
关系，并说明理由．
解：①3； 故答案为3．
②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠P＝ （∠C+∠B），
∵∠C＝80°，∠B＝76°，
∴∠P＝ （80°+76°）＝78°；
③∠P＝ （2∠C+∠B）或∠P＝ （∠C+2∠B）．
证明：设∠CAB＝3 ，∠BDC＝3 ，
i）如图3，∠CAP：α∠BAP＝∠CDβP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2 ，∠BAP＝ ，∠BDP＝ ，∠CDP＝2 ，
∵∠CAP+∠αC＝∠CDP+∠α P，∠BAP+β∠P＝∠BDP+β∠B，
∴∠C﹣∠P＝2 ﹣2 ，∠P﹣∠B＝ ﹣ ，
∴∠C﹣∠P＝2β∠P﹣α2∠B， β α
∴∠P＝ （∠C+2∠B），
ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，
∴∠CAP＝ ，∠BAP＝2 ，∠BDP＝2 ，∠CDP＝ ，
∵∠CAP+∠αC＝∠CDP+∠α P，∠BAP+∠β P＝∠BDP+β∠B，
∴∠C﹣∠P＝ ﹣ ，∠P﹣∠B＝2 ﹣2 ，
∴2（∠C﹣∠Pβ）＝α ∠P﹣∠B， β α
∴∠P＝ （2∠C+∠B），
16．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠ A + ∠ B ＝∠ C + ∠ D
；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 25 ° ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D
之间的数量关系为 ∠ P ＝ ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝ ，∠N＝ ， + ＞180°，四
边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α + ﹣ β 180α ° β （用含有
α β α
和 的代数式表示），∠P＝ ．（用含有 和 的代数式表示）
应用β二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝ ，∠N＝ ，α + β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角
α β α β
∠NCD的角平分线所在的直线相交于点 P，∠P＝ ．（用含有 和 的代数式表
示） α β
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B
之间的数量关系为 ∠ P ＝ ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接
写出结论 2 ∠ P ﹣∠ B ﹣∠ D ＝ 180 ° ．
解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°， 故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝ ．
故答案为：∠P＝ ．
应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝ ，∠N＝ ， + ＞180°，
∴∠AMNα＝180°﹣β，∠α AβNM＝180°﹣ ，
∴∠A＝180°﹣（∠αAMN+∠ANM）＝1β80°﹣（180°﹣ +180°﹣ ）＝ + ﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， α β α β
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A＝ ，
故答案为： + ﹣180°， ；
α β
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝ ，∠N＝ ， + ＜180°，
∴∠A＝1α80°﹣ ﹣β，α β
∵BP平分∠MBαC，βCP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝ ∠A＝ ，故答案为： ；
拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝ ∠CAB，∠PDB＝ ∠CDB，
∴∠P+ ∠CAB＝∠B+ ∠CDB，∠P+ ∠CDB＝∠C+ ∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+ （∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+ （x﹣y）＝ ，
∴∠P＝ ，
故答案为：∠P＝ ；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝ ∠BAD，∠PCD＝90°+ ∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
