文档内容
大 招
飞镖模型和 8 字模型
模型介绍
模型一：飞镖模型
（1）角的飞镖模型
结论：
解答：①方法一：延长 交 于点 得证
②方法二：延长 交 于点 得证
③方法三：延长 到在其延长方向上任取一点为点 得证
总结：利用三角形外角的性质证明
（2）边的飞镖模型
结论：
解答：延长 交 于点 +三角形三边关系+同号不等式
大的放左边，小的放在右边得证
模型二：8在模型
（1）角的8字模型
结论：解答：
①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角 的性质得证
总结：①利用三角形内角和等于 证明
推出
②利用三角形外角的性质证明
（2）边的8字模型
结论：
解答：三角形三边关系+同号不等式得证
总结：
①三角形两边之和大于第三边
例题精讲
考点一：飞镖模型
【例1】．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC=_______
变式训练
【变式1-1】．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，则∠P的度数为（
）A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（
）
A．80° B．50° C．100° D．130°
【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA +PB +PC＞ （AB +BC +AC）．
考点二：8字模型
【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝变式训练
【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是
度．
【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC
与DF交于点O，则∠BOD的度数是 ．实战演练
1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．120° B．150° C．180° D．200°
3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若
∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）A．30° B．37° C．54° D．63°
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 65°，则
图中角 的度数为 ．
α
5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝ ，∠BPC＝ ，则∠BQC＝ ．（用 ， 表
示） α β α β
6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝ 度．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为
9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，
需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并
证明你的结论．
12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝ （∠A+∠C）
13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与
∠B、∠D间的数量关系．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如
图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下
列问题：
①仔细观察，在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”；
②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；
③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量
关系，并说明理由．
16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D
之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝ ，∠N＝ ， + ＞180°，四
边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α β（用α含β有 和 的
代数式表示），∠P＝ ．（用含有 和 的代数式表示） α β
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠β N＝ ， + ＜180°，四边形的内角∠MBC与外角
∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝α β α ．β（用含有 和 的代数式表示）
【拓展延伸】 α β
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B
之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接
写出结论 ．
