文档内容
模块五 题型全通关
专题 3 解答题题型
第 8 讲 综合与实践题
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，，整合数
学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解
决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、
金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提
高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力．
考点讲解：跨章节的综合与实践，就是利用同板块的内容解决问题，但这些内容来自
初中的不同年级的不同章节．
【例1】
（2023·宁夏·统考中考真题）
1．综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了
极大兴趣并展开探究．探究发现
如图1，在 中， ， ．
（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交
于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么
______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试
证明： ；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中
的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱
形较长对角线的长．
试卷第2页，共3页【变1】
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
2．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角
线 上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， .
【活动猜想】
（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：
_________.
【问题解决】
（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理
由.
（4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ，
， 之间满足的等量关系，并说明理由.
考点讲解：跨板块的综合与实践，就是利用不同数学模块的内容综合解决问题，但这
些板块都来自于初中所学的知识，是这些知识的综合应用．
【例1】
（2023·广西南宁·统考二模）3．综合与实践：
【问题情境】随着“乙类乙管”等疫情防控政策的优化实施，各地旅游景区全面复苏，
迎来大批游客．某市积极推出了一系列具有地方民俗特色的文化旅游消费活动，拉动
旅游消费再创新高．某校一个数学兴趣小组准备进行一个疫情后本市旅游业发展现状
与前景预测的调研．
【收集数据】该兴趣小组成员从网上搜查资料，了解到有相关部门在第一季度对每周
来本市旅游的人数进行了统计，数据如下表：
第一 第二 第三 第四 第五 第六 第七 第八
周次x
周 周 周 周 周 周 周 周
来访旅客量y（万
8 11 12 11 15 17 18 20
人次）
【整理数据】如图（1），根据统计表中的数据，他们建立以周次为横坐标，来访旅客
量为纵坐标的平面直角坐标系，并将表格中的数据描绘在平面直角坐标系中．他们发
现这些数据大致分布在直线 某部分的附近，这条直线可近似地反映来该市
旅游的人数变化趋势．
另外该兴趣小组在本市各个景区随机对来访旅客游玩天数的调查中，得到如图（2）所
示的统计图．
【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题：
(1)这8周每周来访旅客的平均人数有______万人；
(2)求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数；
(3)请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1）
【变1】
（2023·山东济南·统考中考真题）
4．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块 种植农作物，地块一边
靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
试卷第4页，共3页【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 为 ， 为 ．由矩形地块面积为 ，得到 ，满足条件的 可看
成是反比例函数 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ，得到
，满足条件的 可看成一次函数 的图象在第一象限内点的坐
标，同时满足这两个条件的 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 的图象与直线 ： 的交点坐标为 和
_________，因此，木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ，
；或 ___________m， __________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若 ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象
并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为 时，小颖建立了一次函数 ．发现直线 可以看成是直线 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 时，直线 与
反比例函数 的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线 过点 时的图象，并求出 的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ 与 图
象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于 ，请直接写出 的
取值范围．
考点讲解：跨学科的综合与实践，就是利用数学知识和方法解决其它学科的问题，或
者把数学与其它学科结合起来，共同解决实际问题．
【例1】
（2022·广西·统考中考真题）
5．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分
类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶
的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
试卷第6页，共3页平均
中位数 众数 方差
数
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
【问题解决】
(1)上述表格中， ________， ________；
(2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长
约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）
(3)现有一片长 ，宽 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的
哪种树?并给出你的理由．
【变1】
（2023·广西·统考中考真题）
6．【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学
中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请
完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：
.其中秤盘质量 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与
秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距
离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定 ， ，最大可称重物质量为1000克，零刻线
与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出
关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
（2023·广东·统考中考真题）
7．综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个
角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上 与纸盒上 的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
（2023·广西北海·统考二模）
8．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描
述是：如图2，已知点 ， 是 的边 上的两个定点， 是 边上的一个动
点，当且仅当 的外接圆与 边相切于点 时， 最大．人们称这一命题
为米勒定理．
试卷第8页，共3页(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门
进攻，当甲带球冲到 点时，乙已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己
射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越
容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．
(2)【问题解决】如图3，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上
的一动点，当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大．当 最大
时，求点 的坐标．
（2023·山东临沂·统考中考真题）
9．综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮
妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）日销售量
（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
（2022·宁夏·中考真题）
10．综合与实践
知识再现
如图 ， 中， ，分别以 、 、 为边向外作的正方形的面
积为 、 、 ．当 ， 时， ______．
问题探究
如图， 中， ．
（1）如图 ，分别以 、 、 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 、 、
，则 、 、 之间的数量关系是______．
（2）如图 ，分别以 、 、 为边向外作的等边三角形的面积为 、 、 ，
试猜想 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图 ，将图 中的 绕点 逆时针旋转一定角度至 ， 绕点
试卷第10页，共3页顺时针旋转一定角度至 ， 、 相交于点 ．求证： ；
（2）如图 ，分别以图 中 的边 、 、 为直径向外作半圆，再以所
得图形为底面作柱体， 、 、 为直径的半圆柱的体积分别为 、 、 ．若
，柱体的高 ，直接写出 的值．
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
11．综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗
址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的
角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 ，在
圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的
另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D
四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四
点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图
确定圆心O．如图3，点A，B，C在 上， ，且 ，请作出圆心
O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆
心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点
A，B，C在 上， ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，
用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 上任
意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写
出你确定圆心的理由：______________________________．
（2023·广西桂林·统考一模）
12．综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型
测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗
杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立
测高模型并测量学校旗杆的高度．
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方
法：用卷尺测量测角仪 的高度和测角仪底部 与旗杆底部 之间的距离，用测角
仪测量旗杆顶端 的仰角 ；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高，撰写研究报告．
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
测量组
的长（米） 的长（米） 仰角 计算 的高（米）
别
位置1
试卷第12页，共3页位置2
位置3
平均值
研究结论：旗杆的高为 米
(1)表中
的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平
均数作为研究结论，这样做的目的是 ．
(2)该测量模型中，若 ，仰角为 ，用含 的代数式表示旗杆
的高度为 ．
[拓展应用]
(3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，
固定测角仪的高度为 m，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角 ，然后朝旗杆方
向前进 m到达点H处，再次测得旗杆顶端B的仰角 ，请你帮他们求出旗杆
的高度（结果保留根号）．
（2022·山西·中考真题）
13．综合与实践
问题情境：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中
∠EDF=90°，将三△角板的直角顶点D放在Rt ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕
点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边△AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN
的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
（2023·江苏·统考中考真题）
14．综合与实践
定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它
的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
试卷第14页，共3页（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并
作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点
为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的
第二步、第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这
个定值，并说明理由．
（2023·青海·统考中考真题）
15．综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面
有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，
以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ，
，圆心角 .此时中心轨迹最高点是C（即 的中点），
转动一次前后中心的连线是 （水平线），请在图2中计算C到 的距离 .
(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车
轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ， ，
圆心角 .此时中心轨迹最高点是C（即 的中点），转动一次前后中心的
连线是 （水平线），请在图4中计算C到 的距离 （结果保留根号）.
(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以
试卷第16页，共3页车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ，圆心角
______.此时中心轨迹最高点是C（即 的中点），转动一次前后中心的连线是
（水平线），在图6中计算C到 的距离 ______（结果保留根号）.
(4)归纳推理：比较 ， ， 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形
边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填
“越大”或“越小”）.
(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平
地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 ______.这
样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.参考答案：
1．（1） （2）证明见解析，拓展应用：
【分析】（1）利用等边对等角求出 的长，翻折得到
， ，利用三角形内角和定理求出，
， ，表示出 即可；
（2）证明 ，利用相似比进行求解即可得出 ；
拓展应用：连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，得到 为黄金三角形，
进而得到 ，求出 的长即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵将 折叠，使边 落在边 上，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为： ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，整理，得： ，
解得： （负值已舍掉）；
经检验 是原分式方程的解．
∴ ；
拓展应用：
如图，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为黄金三角形，
∴ ，
∴ ．即菱形的较长的对角线的长为 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解
题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角
形的底边与腰长的比为 ．
答案第2页，共2页2．（1）菱形；（2）证明见解答；（3） ，证明见解析；（4）
，理由见解析
【分析】（1）由折叠可得： ， ，再证得 ，可得
，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设 与 交于点 ，过点 作 于 ，利用勾股定理可得 ，再
证明 ，可求得 ，进而可得 ，再由 ，可求
得 ， ， ，运用勾股定理可得 ，运用勾股
定理逆定理可得 ，进而可得 ，即可证得结论；
（3）设 ，则 ，利用折叠的性质和平行线性质可得：
，再运用三角形内角和定理即可求得 ，利用解直角三角形即可求
得答案；
（4）过点 作 于 ，设 交 于 ，设 ， ，利用解直角三角
形可得 ， ，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点 与点 重合时，四边形 是菱形．
理由：设 与 交于点 ，如图，
由折叠得： ， ，
，
四边形 是矩形，
，
，，
，
四边形 是菱形．
故答案为：菱形．
（2）证明： 四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
，
，
如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ，
由折叠得： ， ， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
答案第4页，共2页，
，
， ，
，
，
，
点 ， ， 在同一条直线上．
（3）当 时，始终有 与对角线 平行．
理由：如图，设 、 交于点 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
设 ，
则 ，
由折叠得： ， ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，，
；
（4） ，理由如下：
如图，过点 作 于 ，设 交 于 ，
由折叠得： ， ， ，
设 ， ，
由（3）得： ，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
答案第6页，共2页，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角
三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
3．(1)14
(2)2.8万人
(3)估计第9周来访的旅客量约是21.7万人
【分析】（1）根据平均数的概念求解即可；
（2）根据游玩一天所占的百分比求解即可；
（3）将 代入 求解即可．
【详解】（1） ，
∴这8周每周来访旅客的平均人数有14万人，
故答案为：14；
（2） 万人
答：平均每周到访该市只游玩一天的游客人数为2.8万人；
（3）由题意可得，当 时，
，
答：估计第9周来访的旅客量约是21.7万人．
【点睛】此题考查了统计图和扇形统计图，求一次函数值等知识，解题的关键是熟练掌握
以上知识点．
4．（1） ；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析， ；（4）【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据 得出， ，在图中画出 的图象，观察是否与反比例函数
图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点 作 的平行线，即可作出直线 的图象，将点 代入
，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程 有实数根，根据根的判别式得出 ，
再得出反比例函数图象经过点 ， ，则当 与 图象在点 左边，
点 右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数 ，直线 ： ，
∴联立得： ，
解得： ， ，
∴反比例函与直线 ： 的交点坐标为 和 ，
当木栏总长为 时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ，
．
故答案为： 4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为 ，
∴ ，则 ，
画出直线 的图象，如图中 所示：
答案第8页，共2页∵ 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形；
（3）如图中直线 所示， 即为 图象，
将点 代入 ，得： ，
解得 ；
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与 图象在第一象
限内交点的存在问题，
即方程 有实数根，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，令 ， ，过点 ， 分别作直线 的平行线，
由图可知，当 与 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据
题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
5．(1)3.75，2.0
(2)②
(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和
众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；
（3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树．
【详解】（1）芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为
，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
答案第10页，共2页（2）合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，
所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长
宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
（3）这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长 ，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确
的计算是解决问题的关键．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；（3）解：由（1）（2）可得： ，
解得： ；
（4）解：由任务一可知： ，
∴ ，
∴ ；
（5）解：由（4）可知 ，
∴当 时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
7．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1） 和 均是等腰直角三角形， ；
（2）证明 是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接 ，
答案第12页，共2页设小正方形边长为1，则 ， ，
，
为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是
解答此题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可；
（2）当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大，连接 ， ，过点
作 于点 ，根据垂径定理，勾股定理，即可求出 ．
【详解】（1）证明：由图 可知：∵ ， 是 所对的圆周角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大，∴连接 ， ，过点 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵点 ， 的坐标分别是 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角
的关系，垂径定理，圆的切线定理．
9．(1)见解析
(2)售价每涨价2元，日销售量少卖4盆
(3)①定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；②售价定为 元时，每天
能够获得最大利润
【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；
（2）根据表格数据，进行求解即可；
（3）①设定价应为 元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
答案第14页，共2页②设每天的利润为 ，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
2
售价（元/盆） 18 20 26 30
2
日销售量 4
54 50 38 30
（盆） 6
（2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）①设：定价应为 元，由题意，得：
，
整理得： ，
解得： ，
∴定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为 ，由题意，得：
，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 元．
答：售价定为 元时，每天能够获得最大利润．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确
的列出方程和二次函数，是解题的关键．
10．知识再现 ；
问题探究：（1） ；（2） ；理由见解析；
实践应用：（1）见解析；（2） ．
【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出 ， ， ，由勾股
定理可得 ，即可求S+S=S；
4 5 6
实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是
等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则 ，
，再由 ，可证明 ．
(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S、以BC为直径的圆的面积为S、
3 1
以AC为直径的圆的面积为S，可得S+S=S，又由 ，即可求
2 1 2 3
．
【详解】知识再现：解： 中， ，
，
，
， ，
，
故答案为： ；
问题探究： 解： 中， ，
，
，
，
答案第16页，共2页故答案为： ；
解： 中， ，
，
过点 作 交于 ，
在等边三角形 中， ， ，
，
，
同理可得 ， ，
，
；
实践应用： 证明：设 ， ， ，
， ， ，
是等边三角形， 是等边三角形，
， ，，
是等边三角形，四边形 是平行四边形，
， ，
是直角三角形，
，
，
；
解：设 ， ， ，以 为直径的圆的面积为 、以 为直径的圆
的面积为 、以 为直径的圆的面积为 ，
是直角三角形，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性
质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
答案第18页，共2页【分析】（1）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定
理得出确定圆心的理由即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°， BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌
握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
12．(1) ；减小误差
(2)
(3)旗杆 的高度为 m
【分析】（1）表中n的值为三次测量的平均值： ；该小组选择不同的位置测量三次，
再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减小误差;
（2）在 中， ，根据锐角三角函数即可得出 ，即
可得出答案；
（3）根据 是 的外角，即可得到出 ，故 ，可
得出 ，在 中，根据锐角三角函数即可得出 ，
即可得出旗杆 的高度为 ．
答案第20页，共2页【详解】（1）解：表中n的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计
算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减小误差，
故答案为： ；减小误差；
（2）由题意得： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）由题意得： ， ， ，
，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴旗杆 的高度为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解
答此题的关键．
13．（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）由三角形中位线定理得到 ，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可
证明结论；
（2）证明 NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明 CGN∽ CAB，利用相
似三角形的△性质即可求解； △ △
（3）延长ND，使DH=DN，证明 BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明
∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN△为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴ ，∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
△
∴∠B+∠C=90°， ．
∵点D是BC的中点，
∴CD= BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG= CD= ．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴ CGN∽ CAB．
△ △
∴ ，即 ，
∴ ；
答案第22页，共2页（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH= x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=( x)2，
解得x= ，
∴线段AN的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，
勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14．（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）将 代入 ，即可求解．
（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则
，在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
故答案为： ．
（2）如图（2），连接 ，
设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
答案第24页，共2页∴
解得：
∴
∴矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
矩形 是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，在 中，
∴
解得：
∴
当 时，
∴矩形 是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
答案第26页，共2页整理得，
∴四边形 的边长为
矩形 的周长为 ，
∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．(1)1
(2)
(3)
(4) ，越小
(5)0
【分析】（1） 是等边三角形，进而求得 ，进一步得出结果；
（2） 是等腰直角三角形，进而求得 ，进一步得出结果；
（3） 是等边三角形，进而求得 ，进一步得出结果；
（4）比较大小得出结果；
（5）圆的半径相等，从而得出结果．
【详解】（1）解：图1，
， ，
，
，
是等边三角形，，
∵C为 的中点， 为半径，
∴ ，
；
（2）解：如图2，
， ， ，
，
，
；
（3）解：如图3，
， ，
是等边三角形，
，
在 中，
，
，
答案第28页，共2页故答案为： ， ；
（4）解： ，
，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
故答案为： ；越小．
（5）解： 圆的半径相等，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，
解决问题的关键是弄清数量间的关系．
