文档内容
模型介绍
全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在
重复.
模型一、截长补短模型
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型
模型四、旋转全等模型
模型五、手拉手全等模型
例题精讲
模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝ 27 ° ．
解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，DE＝BD，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝54°，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，
∴∠C＝∠EAC＝ ∠AEB＝27°，故答案为：27°．
变式训练
【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接 AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且
CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CAB+∠ABC＝120°
∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，
∴∠CAP＝∠BAP＝ ∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC，∠ACP＝∠BCP，
∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP
∴△ACP≌△ECP（SAS）
∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP
∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE，
∴AP＝BE，
∴BE＝PE，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP
∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°，
∴∠PAB＝40°，
∴∠CAB＝80°故选：C．
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD．
在△ABD和△EBD中， ，
∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．
∵AD＝CD，
∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．
∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．
【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，
∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF＝EF．（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴CD＝CE＝2AD＝4，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴S△ECD ＝ •CD•CE＝ ×4×4＝8．
（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，
∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，
∴△ECM≌△DCF，
∴CM＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴CF＝MF，
∴EF＝EM+MF＝DF+CF．
模型二、平移全等模型
【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB＝6时，求CD的长．（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，
∵E是AB中点，∴AE＝EB，
∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，
∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，
∵AB＝6，∴CD＝ AB＝3．
变式训练
【变式 2-1】．如图 1，A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且 DE＝AF，求证：
△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？
如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
∵DE∥AF，
∴∠A＝∠D．
在△AFC和△DEB中， ，
∴△AFC≌△DEB（SAS）．
在（2），（3）中结论依然成立．
如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，
即AC＝BD，
∵AF∥DE，
∴∠A＝∠D．
在△ACF和△DEB中， ，
∴△ACF≌△DEB（SAS）．
【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
证明：（1）∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
，∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．
（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠BOD+∠AOD＝90°，∠AOC+∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO＝45°，
又∠BAO＝45°，
∴∠CAD＝90°，
∵AD＝1，∠ADC＝60°，∴CD＝2AD＝2．
模型三、对称全等模型
【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点
P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝ ∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
变式训练
【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．
求证：AM＝AN．解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，
在△DBC和△EBC中
∴△DBC≌△EBC，
∴∠BDC＝∠BDE，
∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△AMD和△ANE中
∵
∴△AMD≌△ANE
∴AM＝AN．
【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方
形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．
解：设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，
∵AB＝12，AE＝6，
∴BE＝6，EG＝6，∴EF＝6+x，
在Rt△BEF中，
BE2+BF2＝EF2，
62+（12﹣x）2＝（x+6）2，
x＝4， 即CF的长为4．
【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角
边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵ ，
∴△PCE≌△PDF（ASA）， ∴PC＝PD．
模型四、旋转全等模型
【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位
置关系，并证明你的猜想．解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，
理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°．
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．
变式训练
【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是 3+ 4
．
解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，
则PE＝ PB＝4 ，
∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°，
∴∠ABE＝∠CBP，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴AE＝PC，
由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE＝AP+PE＝3+4 ，
所以，PC的最大值是3+4 ． 故答案为：3+4 ．
模型五、手拉手全等模型
【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且 AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝
∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．
（1）求证：△AEC≌△ADB．
（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．
理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD．
变式训练
【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正
三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，（故①正确）；
②又∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°，∠DAC＝∠EBC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴AP＝BQ，（故②正确）；
③∵△ACP≌△BCQ，
∴AP＝QB，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣AP＝BE﹣QB，
∴DP＝EQ，
∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故③错误）；
④∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故④正确）．
∴正确的有：①②④．故选：C．【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，
若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．
（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？证明：（1）∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
解：（2）图2、图3、图4中，BE和AD还相等，
理由是：如图图2、图3、图4，∵∠BCA＝∠ECD，∠ACD+∠BCA＝180°，∠ECD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．实战演练
1.如图，已知 ， ，且 ， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
在△ABC和△ADE中 ∴ △ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE
∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°
在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故选：C
2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD
交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4 ，
则BC2＝ 3 2 ﹣ 1 6 ．
解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，
则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为4 ，
∴CM＝4 ，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴AM＝AC＝4，
作BN⊥AC于N．则BN＝ AB＝2，AN＝2 ，CN＝4﹣2 ，
∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2 ）2＝32﹣16 ，
故答案为：32﹣16 ．
4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC
于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②S△FGC ＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝
GC．其中正确的有 ①③④ （填序号）．
解：∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，
∴DE＝2，EC＝4，
∵将△ADE沿AE折叠至△AFE，
∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴①正确；
∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，
设BG＝x，则：
GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，
∵CG2+CE2＝GE2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝3，CG＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，
∴④正确；
∵EF＝ED，GB＝GF，
∴GE＝GF+EF＝BG+DE，
∴③正确；
∵S△GCE ＝ GC•CE＝ ×3×4＝6，
∵GF＝3，EF＝ED＝2，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC ：S△FCE ＝3：2，
∴S△GFC ＝ ×6＝ ≠3，
∴②不正确， 故答案为：①③④．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求AF的长度．
（1）证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′，
∴△AD′F≌△CBF（AAS），
∴CF＝AF；
（2）解：设AF＝CF＝x，
∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF的长度为5．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边
作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝3cm，则BE＝ 6 cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵DB＝AB＝3cm，
∴BE＝2×3cm＝6cm；
（3）解：BE与AD垂直．理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠1＝∠2，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：CD＝2BE+DE．
证明：（1）如图，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝∠ADC+∠ACD＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠EBA＝∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中， ，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE＝AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED＝∠AGD＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD＝AD．
∴在△BED与△AGD中， ，
∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED＝GD，BE＝AG，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE＝45°∴∠FAG＝45°
∴∠GAF＝∠GFA，
∴GA＝GF，
∴CF＝BE＝AG＝GF，
∵CD＝DG+GF+FC，
∴CD＝DE+BE+BE，
∴CD＝2BE+DE．
8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且
DE⊥DF．
（1）若设BE＝a，CF＝b，满足 +|b﹣5|＝ + ，求BE及CF的长．
（2）求证：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．
（1）解：由题意得 ，
解得m＝2，
则 +|b﹣5|＝0，
所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，
a＝12，b＝5，
即BE＝12，CF＝5；
（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，
在△EDF和△PDF中，
，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF＝FP，
∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，
∵BE＝CP，PF＝EF，
∴BE2+CF2＝EF2；
（3）解：连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，
∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF＝ ＝13，
设DE＝DF＝x，
根据勾股定理得：x2+x2＝132，
解得：x＝ ，即DE＝DF＝ ，
则S△DEF ＝ DE•DF＝ × × ＝ ．
9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰
△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE
于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为 AE ＝ BD ；请直接写出∠APD＝ 30 ° ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说
明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
（1）解：如图1中，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMP＝∠DMC，∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE ＝S△DCB （全等三角形的面积相等），
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），
∵∠APD＝∠BPE，∠APC＝∠DPC+∠APD，∠BPC＝∠EPC+∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
10．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C
＞∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，
据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．
感悟与应用：
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间
的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，
①求证：∠B+∠D＝180°；
②求AB的长．
解：（1）BC﹣AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA+∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，
∵BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC，∴BC﹣AC＝AD．
（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△AMC（SAS），
∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，
∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，
∵∠CMB+∠CMA＝180°，∴∠B+∠D＝180°；
②设BN＝a，
过点C作CN⊥AB于点N，∵CB＝CM＝12，
∴BN＝MN＝a，
在Rt△BCN中，CN2＝BC2﹣BN2＝122﹣a2，
在Rt△ACN中，CN2＝AC2﹣AN2＝162﹣（8+a）2，
则122﹣a2＝162﹣（8+a）2，
解得：a＝3，
即BN＝MN＝3，则AB＝14．
11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角
形ABC的边长．
（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明
△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．
（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝ ，BP＝ ，PC＝1：类比第一小题的方法求
∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠AP′B＝∠BPC，
由旋转得：∠P'BP＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝PB＝ ，∠BP′P＝60°，
∵AP′＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝ P'B＝ ，
由勾股定理得：P′M＝ ，
AM＝AP'+P'M＝1+ ，
由勾股定理得：AB＝ ；
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，如图丙，
与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝ ，∠BPC＝∠AEB，
∴∠EBP＝∠ABC＝90°，
∴∠BEP＝45°，
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP＝ ，EP＝2，
∴AE2+PE2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB＝45°，
∴FE＝BF＝1，
∴AF＝2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝ ，
∴正方形ABCD的面积为5．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的面积为5．
12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线
BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为 30 ° ．
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍
成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．
解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠ADE＝∠AED＝ （180°﹣120°）＝30°，故答案为30°．
（2）（1）中的结论还成立．
理由：如图2中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
又∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°，
又∵CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°．
（3）∵AB＝AC，AB＝12，
∴AC＝12，
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴ ，
∴AD2＝AF•AC，
∴AD2＝12AF，
∴ ，
∴当AD最短时，AF最短、CF最长，
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，
此时 ． ，∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9， ∴CF的最大值为9
