文档内容
模块五 题型全通关
专题 3 解答题题型
第6讲 阅读题
数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式．通过数学的思维，可以提示
客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系；能够根
据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系；能够运用符号运算、
形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题．
阅读题为我们提供了一种情境，一种思想，一种方法，一种策略，再利用这些思想、
方法、策略去解决问题．
考点讲解：题目以”阅读材料”的形式呈现，材料可以是一种情境，一种数学思想，
一种数学方法，一种数学策略，阅读后用材料里面出现的方法或策略去完成一些数学
任务．
【例1】
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
1．阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当 ， 时， ______， ______；
(2)当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从
（1）中的计算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且
，求T的值．
【变1】
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
2．［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究 的值，其中 ．
例求 的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即 ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图②可知
试卷第2页，共2页的结果等于 ， ， ，…， …等各条竖直线段的
长度之和，
即两个函数图象的交点到 轴的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为1，
所以， ．
【实践应用】
任务一 完善 的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
______．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，所以， ______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 的值．
任务三 用方法2，求 的值（结果用 表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的
新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 的值．
考点讲解：阅读过程，就是阅读用数学知识解决问题的过程，过程不完整的需要补充
完整，过程中有错误的需要指出错误，再做正确的解题过程，类比这种方法去解决其
它数学问题．
【例1】
（2023·宁夏·统考中考真题）
3．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
试卷第4页，共2页第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①
的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【变1】
（2023·浙江金华·统考中考真题）
4．如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形 分割成 的小正方形网
格．在该矩形边上取点 ，来表示 的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问
题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
①在 上取点 ，使 ，
． 点 表示 ．
②以 为圆心，8为半
，
径作弧，与 交于点
点 表示 ．
．
③分别以 为圆心，
大于 长度一半的长
为半径作弧，相交于点 …
，连结 与 相
交于点 ．
④以 为圆心， 的
长为半径作弧，与射线
…
交于点 ，连结
交 于点 ．(1)分别求点 表示的度数．
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点 ，使该点表示 （保留作图痕迹，不写作
法）．
考点讲解：阅读与思考，就是先阅读，从中提炼一些数学思想、数学方法、数学策略，
用它们去解决数学问题或实际问题．
【例1】
（2022·山西·中考真题）
5．阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数
的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交
点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根
也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用
抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式
，分别分 和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，
……
（2） 时，抛物线开口向下．
……
试卷第6页，共2页任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方
程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例
如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【变1】
（2020·山西·统考中考真题）
6．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木
板，他已经在木板上画出一条裁割线 ，现根据木板的情况，要过 上的一点 ，
作出 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 上量出 ，然后分别以
， 为圆心，以 与 为半径画圆弧，两弧相交于点 ，作直线 ，则
必为 ．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 ， 两点，然
后把木棒斜放在木板上，使点 与点 重合，用铅笔在木板上将点 对应的位置标记
为点 ，保持点 不动，将木棒绕点 旋转，使点 落在 上，在木板上将点 对
应的位置标记为点 ．然后将 延长，在延长线上截取线段 ，得到点 ，作
直线 ，则 ．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直
角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是
_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明 ；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 作出 的垂线（在木板上保留作图痕
迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
（2023·云南·统考中考真题）
7．
调查主题 某公司员工的旅游需求
调查人员 某中学数学兴趣小组
试卷第8页，共2页调查方法 抽样调查
背景介绍
某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费
旅游，这5个示范区为：
A．保山市腾冲市； B．昆明市石林彝族自治县； C．红河哈尼族彝族自治州弥物
市； D．大理白族自治州大理市； E．丽江市古城区．
某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了
调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．
报告内容
请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)求本次被抽样调查的员工人数；
(2)该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．
（2022·宁夏·中考真题）
8．下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
（2022·湖北黄石·统考中考真题）
9．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方
程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以上
这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足 ， ，且 ，显然m，n是方程
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程 的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足： ， 且 ，求 的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足： ， 且 ，求 的值．
（2022·江苏南通·统考中考真题）
10．【阅读材料】
老师的问题：
小明的作法：
已知：如图， ．
（1）以A为圆心， 长为半径画弧，交
求作：菱形 ，使点C，D分别在
于点D；
上．
（2）以B为圆心， 长为半径画弧，交
于点C；
（3）连接 ．
四边形 就是所求作的菱形，
试卷第10页，共2页【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形 是菱形．
（2022·湖南·统考中考真题）
11．阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．
证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证：
；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中
的一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面
积．（结果保留根号．参考数据： ，
（2022·贵州黔东南·统考中考真题）
12．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， 和 都是等边三角形，点 在 上．求证：以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接 ，根据已知条件，可以证明 ，
，从而得出 为钝角三角形，故以 、 、 为边的三角形是
钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形 和四边形 都是正方形，点 在 上．
①试猜想：以 、 、 为边的三角形的形状，并说明理由．
②若 ，试求出正方形 的面积．
（2022·浙江金华·统考中考真题）
13．如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作
法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；
③连接 ．
(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到
试卷第12页，共2页正n边形，求n的值．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
14．阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式 的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程 的两根为 ， ，可得函数 的图像与
x轴的两个交点横坐标为 、 ，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐
标的范围是不等式 的解集．
方法2 不等式 可变形为 ，问题转化为研究函数 与
的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是 、3；
的图像在 的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3 当 时，不等式一定成立；当 时，不等式变为 ；当
时，不等式变为 ．问题转化为研究函数 与 的图像关系…
任务：
(1)不等式 的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
（2023·福建·统考中考真题）
15．阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南
北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测
量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测
得 的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过
程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测
量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你
的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ，
表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ，且测量的次数最少，才能
得满分）．
（2023·山西·统考中考真题）
16．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边 ， 的中
点，顺次连接 ，得到的四边形 是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼
翁 是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四
边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正
方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如
下：
试卷第14页，共2页证明：如图2，连接 ，分别交 于点 ，过点 作 于点 ，交
于点 ．
∵ 分别为 的中点，∴ ．（依据1）
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ．
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．（依据2）∴ ．
∵ ，∴ ．同理，…
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形
，使得四边形 为矩形；（要求同时画出四边形 的对角线）
(3)在图1中，分别连接 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与
对角线 长度的关系，并证明你的结论．参考答案：
1．(1) ，
(2)猜想结论： ，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当 ， 时，
原式 ；
当 ， 时，
原式 ；
（2）猜想结论：证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
2．任务一，方法1： ；方法2： ， ；任务二， ；任务三， ；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数 和 得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到 轴
的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
答案第2页，共2页，……进而得出则
的值等于长宽之比为 的矩形减
去1个面积为 的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为： ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为 ，
所以， ．
故答案为： ， ．
任务二：参照方法2，借助函数 和 的图象， ，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为 ，
．
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……
则 的值等于长宽之比为 的矩形
减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解
题的关键．
3．任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集
即可．
【详解】解：任务一：∵ ，
∴ ；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式
①的正确解集是 ；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
答案第4页，共2页∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一
个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
4．(1)点 表示 ；点 表示
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可求出 度数，根据线段垂直平分线的性质 度
数，即可求出 的度数，从而知道 点表示度数；利用半径相等即可求出
，再根据平行线的性质即可求出 以及对应的度数，从而知
道 点表示度数．
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【详解】（1）解：① 四边形 是矩形，
．
由作图可知， 是 的中垂线，
．
．．
点 表示 ．
②由作图可知， ．
．
又 ，
．
．
∴点 表示 ．
故答案为：点 表示 ，点 表示 ．
（2）解：如图所示，
作 的角平分线等．如图2，点 即为所求作的点．
∵点 表示 ，点 表示 ．
．
∴ 表示 ．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性
质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．
5．(1)AC
答案第6页，共2页(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论
思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思
想，
故答案为：AC；
（2）解：a>0时，抛物线开口向上．
当 =b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a△>0，
∴顶点纵坐标 ﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认
识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解
的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴
的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
6．（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【分析】（1）利用 说明△DCE是直角三角形，说明 ，进而得出
利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出： ， ，得出 ，
，利用三角形内角和得出 ，即 ，说明垂直
即可；
（3）①以点 为圆心，任意长为半径画弧，与 有两个交点，分别以这两个交点为圆心，
以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点 ，连接 即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这
个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知： ， ，
， ．
又 ，
．
．
即 ．
（3）解：①如图，直线 即为所求；
答案第8页，共2页图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或 ）；等腰三角形顶角的平分
线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端
点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
7．(1)100人
(2)270人
【分析】（1）根据保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可求出本次被抽样调查的员
工人数；
（2）用该公司总的员工数乘以样本中保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可估计出
该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．
【详解】（1）本次被抽样调查的员工人数为： （人），
所以，本次被抽样调查的员工人数为100人；
（2） （人），
答：估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数为270人．
【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
8．任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一： 以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为： 一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
9．(1) ， ， ，
(2) 或
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 =a，-n=b，则 +a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y= ，则有 -5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴ =2， =3，
∴ =2或3，
∴ ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ；
答案第10页，共2页（2）解：∵ ，
∴ 或
①当 时，令 ， ，
∴ 则 ， ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
此时 ；
②当 时， ，
此时 ；
综上： 或
（3）解：令 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ， 是方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等
知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．10．见解析
【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据 可得四边形ABCD是平行四边形，
再由AD＝AB可得结论．
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵ ，即 ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定
理是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点 作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
；
（2）解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
答案第12页，共2页在 中，
又 ，
即 ，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数
的定义是解决问题的前提．
12．(1)钝角三角形；证明见详解
(2)①直角三角形；证明见详解；②S ABCD=
四边形
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证
△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可
得△ADC为钝角三角形即可；
（2）①以 、 、 为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出
∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出
AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理
求出AC= ，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
（2）证明：①以 、 、 为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
答案第14页，共2页∴以 、 、 为边的三角形是直角三角形；
②连结BD，
∵△AGC为直角三角形， ，
由（2）可知，AE=CG，
∴AC= ，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD= ，
∴S ABCD= ．
四边形
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，
掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．
13．(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则
(优弧所对圆心角) ，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得出结
论．
【详解】（1）解：∵正五边形 ．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ (优弧所对圆心角) ，
∴ ；
（2）解： 是正三角形，理由如下：
连接 ，
由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
（3）∵ 是正三角形，
∴ ．
答案第16页，共2页∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，
熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
14．(1)
(2)D
(3)图像见解析，不等式 的解集为
【分析】（1）如图1，作 的图像，由方法1可知，不等式 的解集
为 ；
（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；
（3）如图2，作函数 与 的图像，由图像可得， 的解集为
，或 ，进而可得 的解集．
【详解】（1）解：如图1，作 的图像，
由方法1可知，不等式 的解集为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，
故选：D；（3）解：如图2，作函数 与 的图像，
由图像可得， 的解集为 ，或 ，
综上， 的解集为 ．
【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例
函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．
15．(1)① ；②
(2)相似三角形的判定与性质
(3)最大宽度为 ，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得
；用皮尺测得 ；
求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得 ，
， ，根据 ，即可求得．
【详解】（1）∵ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
答案第18页，共2页∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
故小水池的最大宽度为 ．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得 ，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得
；
（ⅱ）用皮尺测得 ．
求解过程：
由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．
在 中， ，
即 ，所以 ．
同理， ．
在 中， ，
即 ，所以 ．
所以 ．故小水池的最大宽度为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出
几何图形，建立数学模型是解题的关键．
16．(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平
行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形 的周长等于对角线 与 长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，
即可得妯结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的
一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩
形均可．例如：如图即为所求
（3）瓦里尼翁平行四边形 的周长等于四边形 的两条对角线 与 长度的
和，
证明如下：∵点 分别是边 的中点，
∴ ．
∴ ．
同理 ．
答案第20页，共2页∴四边形 的周长 ．
即瓦里尼翁平行四边形 的周长等于对角线 与 长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位
线定理是解题的关键．
