文档内容
模块四 思想全把握
专题 4 数形思想
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难
为易，化繁为简．把代数和几何相结合，几何问题用代数方法解答，代数问题用几何
方法解答．
在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、
几何直观、空间观念与创新意识．通过对现实世界中基本数量关系与空间形式的观察，
学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景；数形结合是实现这一目标的重要手
段．
考点解读：实数与数轴上的点是一一对应的，有序实数对与平面坐标系中的点是一一
对应的，数轴和坐标系就是数形结合的基本工具．
【例1】（2023·浙江·统考中考真题）
1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如： 的几何意义是数轴
上表示数 的点与表示数 的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表
示数2的点的距离．当 取得最小值时， 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
考点解读：多项式乘多项式、完全平方公式都有几何背景，勾股定理提示了直角三角
形三边的关系，表示为一个等式，挖掘式与形的关系，用数形结合，综合解决问题．
【例1】（2023·湖北随州·统考中考真题）
3．设有边长分别为a和b( )的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形
纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类
纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要C类纸片
的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【变1】（2011·四川凉山·中考真题）
4．.如图，圆柱底面半径为 ，高为 ，点 分别是圆柱两底面圆周上的点，
且 、 在同一母线上，用一棉线从 顺着圆柱侧面绕3圈到 ，求棉线最短为
．
考点解读：构造图形能够解方程，用方程解决图形的问题，方程与图形是数形思想的
试卷第2页，共3页提升．
【例1】（2023·湖南益阳·统考中考真题）
5．将不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】（2023·山东日照·统考中考真题）
6．要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为 的
正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为 ， ， 的长方体无盖木盒，
如图1．现有200张规格为 的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方
式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板
材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；
(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木
盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的
木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售
单价定为 元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）
的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求
出最大利润．考点解读：函数把解析式、表格、图形三者有机统一起来，是数形思想应用的主要平
台．
【例1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）
7．如图，点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数
图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形 是面积为9的正方形，则实数k的
值为 ．
【变1】（2023·天津·统考中考真题）
8．已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍 ，体育
场离宿舍 ，张强从宿舍出发，先用了 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了
，之后匀速步行了 到文具店买笔，在文具店停留 后，用了 匀
速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中
张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为________ ；
③当 时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张强离开体育场 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，
如果李明的速度为 ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多
试卷第4页，共3页少？（直接写出结果即可）
一、选择题
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
9．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
10．已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若 ，数
在数轴上用点 表示，则点 在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·广西·中考真题）
11．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．C． D．
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
12．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的
解集是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏·统考中考真题）
13．折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开
始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转
身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 的折返跑，用
时 在整个过程中，他的速度大小v（ ）随时间t（ ）变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
14．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图
所示，小星根据图象得到如下结论：
试卷第6页，共3页①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
15．如图，直线 过点 ， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
16．如图，直线 与双曲线 交于点 和点 ，
则不等式 的解集是（ ）A． B．
C． 或 D． 或
（2023山西太原模拟）
17．如图， 是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路
线上往返行车，需印制（ ）种车票，共有（ ）种票价．
A． ； B． ； C． ； D． ；
（2023·山东淄博·统考中考真题）
18．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从 ， ，
三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的
概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·宁夏·统考中考真题）
19．如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中点，线段
，则点 表示的数是 ．
（2023·甘肃兰州·统考中考真题）
20．如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形 分别绕原点O顺时
针旋转，使 ， 落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则
．
试卷第8页，共3页（2023·浙江·统考中考真题）
21．如图，分别以 为边长作正方形，已知 且满足 ，
．
（1）若 ，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为 ，图2四边形 的面积为 ，则图2阴影部分的
面积是 ．
（2021·广西梧州·统考中考真题）
22．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l：y x 与直线l：y＝kx+3相交于点
1 2
A，则方程组 的解为 ．
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
23．如图，点 和 在反比例函数 的图象上，其中．过点A作 轴于点C，则 的面积为 ；若 的面积
为 ，则 ．
（2021·湖北宜昌·统考中考真题）
24．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜
色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记
下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的
频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多
的是 （填“黑球”或“白球”）．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
25．如图，在底面为正三角形的直三棱柱 中， ，点M
为 的中点，一只小虫从 沿三棱柱 的表面爬行到M处，则小虫爬行
的最短路程等于 ．
三、解答题
试卷第10页，共3页（2022·湖北随州·统考中考真题）
26．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里
程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数
结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推
出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式
______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 的方
法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中， ，D为BC的中点，E为边AC上任
意一点（不与端点重合），过点E作 于点G，作 F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为 ，△ABD与△AEH
的面积之和为 ．
①若E为边AC的中点，则 的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
27．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家 ，图
书馆离小明家 ．小明从家出发，匀速步行了 去食堂吃早餐；吃完早餐后接
着匀速步行了 去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了 回到家图（ ）
反映了这个过程中，小明离家的距离 与时间 之间的对应关系．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________ ；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________ ；
③小明读报所用的时间为__________ ．
④小明离开家的距离为 时，小明离开家的时间为__________ ．
试卷第12页，共3页(2)当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．
（2023·青海·统考中考真题）
28．为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展
2023年“5·19中国旅游日”活动.青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，
对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，
请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图1中的条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前
往青海湖景区的游客约有多少万人；
(4)若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们
选择同一景区的概率.
（2021·贵州贵阳·统考中考真题）
29．（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数
学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示
的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方
形 的中心 ，作 ，将它分成4份．所分成的四部分和以 为边的正
方形恰好能拼成以 为边的正方形．若 ，求 的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形
的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设
大正方形 的边长为定值 ，小正方形 的边长分别为 ．已知
，当角 变化时，探究 与 的关系式，并写出该关系
式及解答过程（ 与 的关系式用含 的式子表示）．（2023·山东淄博·统考中考真题）
30．如图，一条抛物线 经过 的三个顶点，其中 为坐标原点，点
，点 在第一象限内，对称轴是直线 ，且 的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
试卷第14页，共3页(2)求点 的坐标；
(3)设 为线段 的中点， 为直线 上的一个动点，连接 ， ，将 沿
翻折，点 的对应点为 ．问是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．D
【分析】根据 对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得： ， ，
故选项A不符合题意；
∵ ，∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ， ，∴ ，故选项C不符合题意；
∵ ， ，∴ ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题
的关键．
2．C
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由 可得：点 、 、 分别表示数 、
2、 ， ．
的几何意义是线段 与 的长度之和，
当点 在线段 上时， ，当点 在点 的左侧或点 的右侧时，
．
取得最小值时， 的取值范围是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
3．C
【分析】计算出长为 ，宽为 的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡
片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为 ，宽为 的大长方形的面积为：；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解 结
果中 项的系数即为需要C类卡片的张数．
4．
【分析】将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可.
【详解】圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路
线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，
A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；
又∵圆柱高为9πcm，
∴小长方形的一条边长是3πcm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；
∴AC+CD+DB=15πcm；
故答案为15π．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一
个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱
的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．B
【分析】先解不等式 ，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即
答案第2页，共2页可．
【详解】解： ，
由② 得： ，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
，
∴不等式组的解集为： ；
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练
的使用数轴工具是解本题的关键．
6．(1) ，
(2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方
式切割的木板50张
(3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润
最大，最大利润为1750元
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为 的木板5个，制作一个B种
木盒需要长、宽均为 的木板1个，长为10cm、宽为 的木板4个；甲种方式可切
割长、宽均为 的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为 的木板8个；列关
系式求解即可；
（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性
质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒 个；
∵有200张规格为 的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材 张；故答案为： ， ．
（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出 个长、宽均为 的木板，
使用乙种方式切割的木板材 张，则可切割出 个长为 、宽为 的
木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为 的木板 个，
制作B种木盒 个，则需要长、宽均为 的木板 个，需要长为 、
宽为 的木板 个；
故
解得： ，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8
元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为 （元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即 ，
解得： ，
故 的取值范围为 ；
设利润为 ，则 ，
整理得： ，
答案第4页，共2页∵ ，故 随 的增大而增大，
故当 时， 有最大值，最大值为 ，
则此时B种木盒的销售单价定为 （元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润
最大，最大利润为1750元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一
次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
7．
【分析】如图：由题意可得 ，再根据 进行
计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，
∴
∵四边形 是面积为9的正方形，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
8．(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③ ；
(2)【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时
间求解即可；③当 时，直接根据图象写出解析式即可；当 时，设y与
x的函数解析式为 ，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直
接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为
，求解即可．
【详解】（1）① ，
由图填表：
张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60
张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6
故答案为：0.12，1.2，0.6；
②张强从体育场到文具店的速度为 ，
故答案为：0.06；
当 时，
；
当 时，设y与x的函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ；
综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为 ；
（2）当张强离开体育场 时，即 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直
接回宿舍，
当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，
答案第6页，共2页∴
解得 ，
当 时， ，
所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是 ．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问
题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．C
【分析】根据数轴的性质可得 ， ，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知， ， ．
A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，
，则此项正确，符合题意；
D、 ，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
10．B
【分析】先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定
即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由 ， ， 得
出 是解题的关键．
11．A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的
面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的
关键．
12．D
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【详解】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不
等式组的解集是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等
式组解集的方法是正确解答的前提．
13．D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速
再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（ ）随时间t（ ）变化的图像可能是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数
的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．
14．B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次
函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数 的图象过一，二，四象限， 的值随着 值的增大而减
答案第8页，共2页小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组 的解为 ，即方程组 的解为 ；
故②符合题意；
由一次函数 的图象过 则方程 的解为 ；故③符合题意；
由一次函数 的图象过 则当 时， ．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的
解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
15．B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观
察图象得出答案是解此题的关键．
16．B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线 与双曲线 交于点
和点 ，
∴当 时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式 的解集是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
17．C
【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需
要印制 种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．
【详解】解： ， ，
∴需印制20种车票，共有10种票价．
故选：C．
【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个
车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
18．B
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，
然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率 ,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，
再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件 或事件 的概率．
19．
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点 是 的中点，线段 ，
∴ ，
答案第10页，共2页∴点 表示的数是： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以
及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
20．
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵正方形 的面积为7，正方形 的面积为9
∴ ，
即 ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的
关键．
21．
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出 ，根据题意得出 ，进而得出
，根据图2阴影部分的面积为 ，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形 的面积为 ，
∴ ， ，即
∴ （负值舍去）
∵ ， ．
解得：
∵ ①
∴ ，
∴ ，
∴ ②
联立①②解得： （ 为负数舍去）或
∴ ，
图2阴影部分的面积是
故答案为： ．
答案第12页，共2页【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程
组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
22．
【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵直线l：y x 与直线l：y＝kx+3相交于点A（2，1），
1 2
∴方程组 的解为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点
坐标就是这两条直线组成的方程组的解．
23． 2
【分析】根据 ，得出 ，根据三角形面积公式，即可求出 的面
积；过点B作 轴于点D， 交 于点E，根据 ，
，得出 ，进而得出 ，根据梯形
面积公式，列出方程，化简得 ，令 ，则 ，求出x的值，根据
，得出 ，即 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
过点B作 轴于点D， 交 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
令 ，
则 ，
解得： （舍）， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ，2．
答案第14页，共2页【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象
上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
24．白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
25．
【分析】：如图，连接 ，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱 ，
，点M为 的中点，当 在右侧处时，可得 ，
当 在下方时，由等边三角形的性质可得： ，此时
，如图，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作
于 ，作 于 ，则 ，四边形 为矩形，可得 ，
， ， ，此时 重合，可得
，从而可得答案．【详解】解：如图，连接 ，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱 ，
，点M为 的中点，
当 在右侧处时，
∴ ， ，
∴ ，
当 在下方时，由等边三角形的性质可得： ，
此时 ，
如图，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作
于 ，则 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，
答案第16页，共2页∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴此时 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴小虫爬行的最短路程等于 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角
形的性质，含 的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关
键．
26．(1)①，②，④，③
(2)证明见解析
(3)①2
②结论仍成立，理由见解析
【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积
+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；
（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH
是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S、S 进行计算即可；②由题意可得
1 2
△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设
BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S、S 进行计算即可．
1 2
【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形
DGEH是正方形，
设 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，
∴ ；
故答案为：2；
②成立，证明如下：
由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩
形，
设 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，
∴ 仍成立．
【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结
答案第18页，共2页合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．
27．(1)① ；② ；③ ；④ 或 ．
(2)
【分析】（1） ①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂
用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用 减去 即可得解；
④设小明离开家的距离为 时，小明离开家的时间为 ，分小明去时和小明返回时
两种情况构造一元一次方程求解即可；
（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当 、 和 时
三段对应的函数解析式即可．
【详解】（1）解：① ，
∴小食堂离图书馆的距离为 ，
故答案为∶ ；
②根据题意，
∴小明从图书馆回家的平均速度是 ，
故答案为： ；
③ ，
故答案为： ；
④设小明离开家的距离为 时，小明离开家的时间为 ，
当去时，小明离开家的距离为 时，
∵ ，∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足 ，
由题意得 ，
解得 ，
当返回时，离家的距离为 时，根据题意，得 ，
解得 ；
故答案为： 或 ．
（2）解：设 时 ，
∵ 过 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 时 ，
由图可知，当 时 ，
设 时， ，
∵ 过 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
综上所述，当 时， 关于 的函数解析式为 ．
答案第20页，共2页【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，
解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．(1)200
(2)见详解
(3)6.65万
(4)
【分析】（1）用 组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；
（2）先计算出 组的人数，然后补全条形统计图；
（3）用19万乘以样本中 组人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人选择同一景区的结果数，然后根
据概率公式计算．
【详解】（1）解：此次抽样调查的样本容量为 ；
故答案为：200；
（2）解： 组的人数为 （人 ，
条形统计图补充为：
（3）解： （万 ，
所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人；
（4）解：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为4，
所以他们选择同一景区的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件 或事件 的
概率．也考查了统计图．
29．（1）见详解；（2）EF= 或 ；（3）c+b=n，理由见详解
【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积
的和，即可得到结论；
（2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解；
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知：
，结合勾股定理，可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中
间小正方形面积的和．
∴c2＝ ab×4＋（b−a）2，
化简得：a2＋b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
答案第22页，共2页设EF=a，FD=b，
∴a+b=12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴ ， ， ，
当EF>DF时，
∵ ，
∴a-b=5，
∴ ，解得：a= ，
∴EF= ；
同理，当EF
