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模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 9 讲 二次函数的实际应用
一、拱桥问题
1.模型化：拱桥当作抛物线，桥面所在的直线为x轴，过最高点垂直桥面的直线为y轴，
建立平面直角坐标系；
2.解题策略：找出水面与拱桥的交点坐标，确定水面与搭桥的竖直距离；
二、销售问题
1.模型化：价格作为自变量，价格的变化，导致销售量的变化，利润的变化，销售额
的变化，总利润的变化，根据题意，选择合适的量作为因变量，构建函数关系式；
2.解题策略：正确表示数量与价格的变化关系，确定二次函数有关系式，转化为顶点
式求最值；
三、投球问题
1.模型化：站立点为坐标原点，从站立点也球落地点形成的直线为x轴，人所在的直线
为y轴建立平面直角坐标系；
2.解题策略：确定球落地点的坐标，球飞行的最大高度；
四、喷水问题
1.模型化：以喷管在地面上的点为原点，原点与水落地点形成的直线为x轴，喷管所在
的直线为y轴建立平面直角坐标系；
2.解题策略：确定喷水点和落地点的坐标，喷水的最大高度；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.会通过分好析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
2.初步形成二次函数的模型观念，会用二次函数解决简单的实际问题。
【例1】
（2023·陕西·统考中考真题）
1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与
拱高之积为 ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了
两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点N在x轴上，
， ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ．其中，点 在x轴上，
， ．
要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案
一中，矩形框架 的面积记为 ，点A、D在抛物线上，边 在 上；方案二
中，矩形框架 的面积记为 ，点 ， 在抛物线上，边 在 上．现知，
小华已正确求出方案二中，当 时， ，请你根据以上提供的相关
信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当 时，求矩形框架 的面积 并比较 ， 的大小．
【变1】
（2023·贵州·统考中考真题）
试卷第2页，共3页2．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑
物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称
轴 与水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，
点 在抛物线上，点 到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ，同时使拉杆的
长度之和最短，请你帮小星找到点 的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，
当 时，函数 的值总大于等于9．求 的取值范围．
【例1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
3．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克
4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元
时，每天售出大米 ；当每千克售价为6元时，每天售出大米 ，通过分析销
售数据发现：每天销售大米的数量 与每千克售价 （元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【变1】
（2023·浙江湖州·统考中考真题）
4．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克） 存在一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售
价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【例1】
（2022·河南·统考中考真题）
5．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头
P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建
立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）
是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走
动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
6．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是
一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置
的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头
试卷第4页，共3页水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾
影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置
上的点 处，另一端与路面的垂直高度 为1.8米，且与喷泉水流的水平距离 为
0.3米．点 到水池外壁的水平距离 米，求步行通道的宽 ．（结果精确到
0.1米）参考数据：
【例1】
（2023·浙江温州·统考中考真题）
7．一次足球训练中，小明从球门正前方 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．
当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为
2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带
球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【变1】
（2023·北京房山·统考二模）
8．排球场的长度为 ，球网在场地中央且高度为 ．排球出手后的运动路线可
以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 ．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 11 12
竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系 ；
②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系 ，请问该运动员此次发球是否出
界，并说明理由．
【例1】
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
9．某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2
分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 与时间 的近似函数图象．启航
阶段的函数表达式为 ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶
段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程 与时间 的函数表达式为
．
试卷第6页，共3页(1)求出启航阶段 关于 的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当 时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， 视为达标，请说明该龙舟
队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至
终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【变1】
（2022·湖北黄石·统考中考真题）
10．某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解
学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单
位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：
数据如下表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8
28 64
累计人数y（人） 0 150 390 … 640
0 0
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟
检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分
钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
一、选择题
（2023·浙江·统考中考真题）
11．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 （秒）时球距离地面的高度 （米）适用公式 ，那么球弹起后又回到地面所花的时间 （秒）是
（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）
12．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型
可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数 确定，其中
1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
（2023·陕西榆林·统考二模）
13．物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的
高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结
论：①小球在空中经过的路程是 ；②h与t之间的函数关系式为 ；
③小球的运动时间为 ；④小球的高度 时， ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·山东枣庄·统考一模）
14．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物
线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位： ）与足球被踢出后经过的时
间t（单位： ）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 ……
1
h 0 8 14 18 20 20 14 ……
8
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 ；②足球飞行路线的对称轴是直线
试卷第8页，共3页；③足球被踢出 时落地；④足球被踢出 时，距离地面的高度是 ，其
中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·浙江台州·统考一模）
15．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度
是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一
样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现
在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
（2022·四川广安·统考中考真题）
16．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，
水面宽8米．
（2023·山西运城·校联考模拟预测）
17．标准大气压下，质量一定的水的体积 与温度 之间的关系满足二次函
数 ，则当温度为 时，水的体积为 ．
（2022·四川南充·中考真题）
18．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下
移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅
调试发现，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点
．那么喷头高 m时，水柱落点距O点 ．三、解答题
（2022·湖北黄冈·统考中考真题）
19．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小
型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉
种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用
为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的
3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少
元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的
取值范围．
（2023·浙江·模拟预测）
20．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 的形状，
现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．
试卷第10页，共3页(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位
置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为 的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位
置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近
距离为多少米？
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
21．某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的
生产成本为 万元/件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的
函数解析式是 ，其中 是正整数．当 时， ；当
时， ．
(1)求 ， 的值；
(2)设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且y与x满足关系式 ．
当 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当 时，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，求实数 的取值范
围．
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
22．某商场销售 两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；如果售出 种10件， 种15件，销售总额为660元．
(1)求 两种商品的销售单价．
(2)经市场调研， 种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可
增加10件； 种商品的售价不变， 种商品售价不低于 种商品售价．设 种商品降
价 元，如果 两种商品销售量相同，求 取何值时，商场销售 两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
（2023·河南·统考中考真题）
23．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行
技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网 与y轴的水平距离 ，
，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 与水平距离
近似满足一次函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 与水平
距离 近似满足二次函数关系 ．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更
近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
（2023·广东深圳·校考模拟预测）
24．已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在
雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐
标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关
系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，
轴于点C，相关数据如下：
试卷第12页，共3页水平距离x（米） 5 10 20 30
空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0
(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足 ，
则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为 ______米，d______30，成绩是
否达标？______．（填写是或否）
（2023·浙江·统考中考真题）
25．根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线
是抛物线．点A距离地面 ，当球到OA的水平距离为 时，达到最大高度为
．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方 处（如图）架起距离地面高为
的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离 ．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离 ．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．参考答案：
1．(1)
(2) ，
【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；
（2）在 中，令 得： ，求出 或 ，得出
，求出 ，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴ ；
∴方案一中抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：在 中，令 得： ，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待
定系数法则，求出函数解析式．2．(1)
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 ， 代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点 ，则 ，求出直线 与y轴的交点
坐标即可；
（3）分 和 两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为 ，
， ，
， ，
将 ， 代入 ，得：
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 抛物线的解析式为 ，点 到对称轴的距离是1，
当 时， ，
，
作点B关于y轴的对称点 ，
则 ， ，
答案第2页，共2页，
当 ， ，A共线时，拉杆 长度之和最短，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，位置如下图所示：
（3）解： 中 ，
抛物线开口向下，
当 时，
在 范围内，当 时，y取最小值，最小值为：
则 ，
解得 ，
；
当 时，
在 范围内，当 时，y取最小值，最小值为：
则 ，解得 ，
；
综上可知， 或 ，
的取值范围为 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根
据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图
象和性质，第3问注意分情况讨论．
3．(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点 ，y与x的函数关系式为
，将 代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据
二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点 ，
设y与x的函数关系式为 ，
将 代入得：
，解得： ，
∴y与x的函数关系式为 ，
（2）解；根据题意可得： ，
答案第4页，共2页∴ ，
整理得： ，
解得： ，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵ ，函数开口向下，
∴当 时，w随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，此时 ，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际
应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，
根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
4．(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为 ，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为 ．
将 和 分别代入，得：
，解得： ，
∴y关于x的函数表达式是： ；
（2）解： ，
∵ ，
∴当 时，在 的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
5．(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，
代入即可求解；
（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）由 ，令 ，
得 ，
答案第6页，共2页解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
6．3.2米
【分析】先以点O为坐标原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角
坐标系，则 ， ，设设抛物线的解析式为 ，把 代入，
求得 ，即 ，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知： ， ，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，解得： ，
∴ ，
∴ (米)，
答：步行通道的宽 的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的
图象性质是解题的关键．
7．(1) ，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求
出a的值即可得到函数表达式，再把 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较
即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
答案第8页，共2页把点 代入得 ，
解得 （舍去）， ，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等
知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．(1)① ；②能，理由见详解
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点 ，则设 ，再把
表格中其它任意一组数据代入即可求出a值，
②当 时，求得 ，再与球网高度比较即可得出答案．
（2）令 ，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点 ，
设 ，
把 代入得 ，
∴所求函数关系为 ，
②当 时，则 ，
∴能；
（2）解：判断：没有出界
令 ，则 ，
解得 （舍）， ，
∵ ，
∴没有出界．【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象
性质是解题的关键．
9．(1)
(2)①龙舟划行的总路程为 ；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【分析】（1）把 代入 得出 的值，则可得出答案；
（2）①设 ，把 代入，得出 ，求得 ，当 时，求
出 ，则可得出答案；
②把 代入 ，求得 ，则可得出答案；
（3）由（1）可知 ，把 代入 ，求得 ．求出
，则可得出答案．
【详解】（1）把 代入 得 ，
解得 ，
启航阶段总路程 关于时间 的函数表达式为 ；
（2）①设 ，把 代入，得 ，
解得 ，
．
当 时， ．
当 时，龙舟划行的总路程为 ．
② ，
把 代入 ，
得 ．
，
该龙舟队能达标．
答案第10页，共2页（3）加速期：由（1）可知 ，
把 代入 ，
得 ．
函数表达式为 ，
把 代入 ，
解得 ．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图
象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
10．(1) ， ，
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次
函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，
检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成
体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【详解】（1）（1）将 ， ， 代入 ，
得 ，
解之得 ， ， ；（2）设排队人数为w，由（1）知 ，
由题意可知， ，
当 时， ，
∴ 时，排队人数 的最大值是490人，
当 时， ， ，
∵ 随自变量 的增大而减小，
∴ ，
由 得，排队人数最大值是490人；
（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间 （分钟）
设从一开始增加n个检测点，则 ，解得 ，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的
性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
11．D
【分析】根据球弹起后又回到地面时 ，得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间 （秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
12．C
【分析】由 可得其对称轴为： ，当 时， ，即
有 ，解方程即可求解．
答案第12页，共2页【详解】由 可得其对称轴为： ，
根据 ，
可知：当 时， ，
即有： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出
当 时， ，是解答本题的关键．
13．A
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为： ，
把 代入得 ，
解得 ，
函数解析式为 ，
故②错误；
③令 ， ，
解得： 或6，
小球的运动时间为 ，
故③正确；
④把 代入解析式得， ，解得： 或 ，
小球的高度 时， 为 秒或 秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，
熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键．
14．C
【分析】由题意，抛物线经过 ，所以可以假设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得 ，可得 ，由此即可一一判断．
【详解】解：∵当 和 时，h的值相同，
∴抛物线的对称轴为直线 ，故②正确；
∵当 时， ，
∴当 时， ，即足球被踢出 时落地，故③错误；
∴可设抛物线的解析式为 ，
把 代入得
解得 ，
∴ ，
∴足球距离地面的最大高度为 ，故①正确，
∴足球被踢出 时落地，故③错误，
∵ 时， ，故④正确．
∴正确的有①②④，共3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键．
15．B
答案第14页，共2页【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【详解】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线 ，
∴设二次函数解析式为 ，
代入原点得 ，
解得 ，
∴ ，
令 得 ，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴ ，解得 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题
的关键．
16． ##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（ 3，0），求出二次函数解析式，
再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（ 3，0）代入得，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为： ；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把 代入解析式，得 ；
∴水面下降 米；
故答案为： ；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式
是解决问题的关键．
17．120
【分析】把 代入解析式求值即可．
【详解】解： ，
当 时， ，
水的体积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
18．8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高
2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可
设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高
为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出 ， ，
答案第16页，共2页设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为 ，
将（4，0）代入可得 ，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接
利用二次函数的平移性质是解题关键．
19．(1) ；
(2)①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
② 或 ．
【分析】（1）根据函数图像分两种情况， 时y为常数， 时y为一次函数，
设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案
案；
②分两段利用 ，建立不等式求解，即可求出答案．
【详解】（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积 m2时，费用y保持不变，为30
（元/m2），
所以此区间的函数关系式为： ，
当甲种花卉种植面积 m2时，函数图像为直线，
设函数关系式为： ，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
，
解得： ，∴
∴当 时，y与x的函数关系式应为：
；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
，
即 ，
①当 时，
由（1）知， ，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
，
∴当x=90时， ，
，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当 时，
由①知， ，
∵种植总费用不超过6000元，，
，
即满足条件的x的范围为 ，
当 时，
由①知， ，
∵种植总费用不超过6000元，
答案第18页，共2页，
（不符合题意，舍去）或 ，
即满足条件的x的范围为
综上，满足条件的x的范围为 或 .
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，
仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．
20．(1)22米
(2) 米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点， 方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系
数法求得抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ，设
为抛物线上一点，过点M作 轴于F，交 于
G，则 ，由 可求解．
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则 ，
（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点， 方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，设此时抛物线的解析式为 ，
由于斜坡的坡度为 ，且 米，
∴ 米，
而 （米），
∴ ；
∵ ，
， 坐标两点分别代入解析式中，得
，解得 ，
∴ ，
即 ，
即抛物线的顶点坐标为 ；
过点M作 轴于F，交 于G，
∵坡度为 ，
∴ （米），
∴ （米），
答案第20页，共2页答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为 米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解
答的关键．
21．(1) ， ；
(2) ， ； ．
【分析】（ ）用待定系数法求出 ， 的值即可；
（ ） 当 ，根据利润 (售价 成本) 设备的数量，可得出 关于 的二次函
数，由函数的性质求出最值；
当 时， 关于 的函数解析式，再画出 关于 的函数图象的简图，由题意可
得结论．
【详解】（1）把 时， ； 时， 代入 得：
，解得： ， ；
（2） 设第 个生产周期创造的利润为 万元，由（ ）知，当 时，
，
∴ ，
，
，
∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴工厂第 个生产周期获得的利润最大，最大的利润是 万元；
当 时， ，
∴ ，∴ ，
则 与 的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，
∴当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
∴ 的取值范围 ．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数
的性质并分类讨论是解题的关键．
22．(1) 的销售单价为 元、 的销售单价为 元
(2)当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【分析】（1）设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，根据题中售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；售出 种10件， 种15件，销售总额为660元列方程组求
解即可得到答案；
（2）设利润为 ，根据题意，得到 ，结合二次函数性质及题中限制
条件分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，则
，解得 ，
答： 的销售单价为 元、 的销售单价为 元；
（2）解： 种商品售价不低于 种商品售价，
答案第22页，共2页，解得 ，即 ，
设利润为 ，则
，
，
在 时能取到最大值，最大值为 ，
当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列
出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
23．(1) ， ，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上 ，令 ，可求得 ，再代入
即可求得 的值；
（2）由题意可知 ，令 ，分别求得 ， ，即
可求得落地点到 点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数 ，
令 时， ，
∴ ，
将 代入 中，可得： ，
解得： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
选择扣球，则令 ，即： ，解得： ，即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
选择吊球，则令 ，即： ，解得： （负值舍去），
即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
∵ ，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的
关键．
24．(1) ；
(2) ；＞；是．
【分析】 （1）设该二次函数的解析式为 ，根据点 的坐标，利用待
定系数法求解即可得；
（2）求出当函数 的函数值为 时， 的值，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为 ，
米，
，
将点 代入 得： ，
解得 ，
则该二次函数的解析式为 ，
答案第24页，共2页故答案为： ．
（2）解：对于二次函数 ，
当 时， ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
则 ，
，
，
即 ，
故答案为： ；＞；是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
25．任务一：4m；任务二： ；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出
点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的
解析式为 ，过点 ，利用待定系数法求出解析式，当 时求出x的
值即可得到 ；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵
坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
得 （舍去），
∴素材1中的投掷距离 为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为 ，
由题意得，过点 ，
∴ ，
答案第26页，共2页解得 ，
∴
∴顶点纵坐标为 ，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为 ；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正
确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．
