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模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 8 讲 二次函数与几何图形
一、关系式的建立
1.公式法：根据图形的周长、面积、体积公式建立关系式；
2.性质法：根据图形的性质中的数量关系建立关系式；
3.定理法则法：根据勾股定理、全等、相似、位似等建立关系式；
二、动点问题
1.动点与二次函数：一般以动点的横坐标为自变量，所求最值为因变量建立二次函数；
2.动点与等腰三角形：设动点的坐标，根据等腰三角形两条边相等，结合勾股定理建
立方程；等腰三角形的分类：以顶角顶点分三类；
3.动点与直角三角形：设动点的坐标，根据勾股定理建立方程；直角三角形的分类：
以直角边为分类依据，分三类；有时也需要构建相似三角形，根据相似三角形的性质
建立方程；
4.动点与平行四边形：设动点的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点
坐标公式建立方程；平行四边形的分类：从一个顶点出发，以对角线分三类；也可以
采用平移的方式，根据平移的性质建立方程；
4.动点与菱形．先舍去平面上任意的一点，其它三个点构造等腰三角形，转化为动点与等腰三角形来解决；
5.动点与矩形．先舍去平面上任意的一点，其它三个点构造直角三角形，转化为动点
与直角三角形来解决；
6.动点与等腰直角三角形（正方形）．通常构造全等三角形来解决．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
2.形成二次函数的模型观念，解决简单的问题；
【例1】
（2022·山东淄博·统考中考真题）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点
D（1，4）在直线l：y＝ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G
是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若
不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【变1】
（2023·宁夏·统考中考真题）
2．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知
试卷第2页，共2页点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交
于点 ．依题意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
【例1】
（2022·广西贵港·中考真题）
3．如图，已知抛物线 经过 和 两点，直线 与x轴相
交于点C，P是直线 上方的抛物线上的一个动点， 轴交 于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若 轴交 于点E，求 的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与 相似，请直接写出所有满足条件的点P，点
D的坐标．
【变1】
（2022·吉林·统考中考真题）
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ， 是常数）经过点 ，
点 ．点 在此抛物线上，其横坐标为 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点 在 轴上方时，结合图象，直接写出 的取值范围；
(3)若此抛物线在点 左侧部分（包括点 ）的最低点的纵坐标为 ．
①求 的值；
②以 为边作等腰直角三角形 ，当点 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点
的坐标．
【例1】
（2023·四川南充·统考中考真题）
5．如图1，抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ．
试卷第4页，共2页(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 的直线（直线 除
外）与抛物线交于G，H两点，直线 ， 分别交x轴于点M，N．试探究
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【变1】
（2023·黑龙江·统考中考真题）
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴上， ， 的
长是一元二次方程 的根，过点C作x轴的垂线，交对角线 于点D，
直线 分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿
向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿 向终点E运动．两
点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线 的解析式．
(2)连接 ，求 的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【例1】
（2023·山东烟台·统考中考真题）
7．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物
线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，
求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小
值．
【变1】
（2023·四川乐山·统考中考真题）
8．已知 是抛物 （b为常数）上的两点，当
时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
试卷第6页，共2页②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E，
外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在
一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．
（2023·山东东营·统考中考真题）
9．如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段 上（点B在
点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有
两个交点G，H，且直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
10．如图①，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点
C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形
时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点 从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），
自点P分别作 ，交AC于点E，作 ，垂足为点D．当m为何值时，
面积最大，并求出最大值．
（2023·四川内江·统考中考真题）
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过
点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三
角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（2021·重庆·统考中考真题）
试卷第8页，共2页12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（0，﹣1），B（4，
1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作
PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是
新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N
为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出
来．
（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）
13．如图，抛物线 与x轴交于点 , ．与y轴交于点
C， ，直线 交抛物线于点E，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线 上一点，点N为直线EC上一点，求 的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）
14．综合与探究
如图，已知直线 与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线 经
过点A，B，点P为线段 上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点
N，交直线 于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当 ，t的值为___________；
(3)若点N到直线 的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接
写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·湖南·统考中考真题）
15．已知二次函数 ．
(1)若 ，且该二次函数的图像过点 ，求 的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系 中，该二次函数的图像与 轴交于点
，且 ，点D在 上且在第二象限内，点 在 轴正半轴
上，连接 ，且线段 交 轴正半轴于点 ， ．
试卷第10页，共2页①求证： ．
②当点 在线段 上，且 ． 的半径长为线段 的长度的 倍，若
，求 的值．参考答案：
1．(1)y = x²+2x+3
(2)最大值
(3)定值16
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设
， ，推出 最大时， 的值最大，
求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
（3）如图，设 ，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求
出FG的长，可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设 ，
点 ，在直线l： 上，
∴ ，
∴ ，∴直线DT的解析式为 ，
令 ，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 最大时， 的值最大，
∵ ， ，
∴直线BD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∵二次项系数 ，
∴ 时， 最大，最大值为11，
∴ 的最大值 ；
（3）解：四边形AFBG的面积不变．
答案第2页，共2页理由：如图，设 ，
∵ ， ，
∴直线AP的解析式为 ，
∴ ，
∵E，G关于x轴对称，
∴ ，
∴直线PB的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AFBG的面积 ，
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解
题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题．
2．(1)
(2)点 ， 的最小值为(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到 ，得到当 三点共线时，
的值最小，为 的长，求出直线 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点
的坐标，两点间的距离公式求出 的长，即为 的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设 ，得到 ， ，将
的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
（2）当 时， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴ ，
答案第4页，共2页∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴ ；
∴点 ， 的最小值为 ；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，
∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以
及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
3．(1)
(2)最大值为
(3) 或 ，
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标为 ，然后证明 ，设点P的坐标为
，其中 ，则点D的坐标为 ，分别表示出 和 ，再
答案第6页，共2页由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当 ∽ 时；当 ∽ 时；分
别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 和 两点，
∴
解得： ， ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）解：∵ ，
∴直线 表达式为 ，
∵直线 与x轴交于点C，
∴点C的坐标为 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
设点P的坐标为 ，其中 ，
则点D的坐标为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ．
（3）解：根据题意，
在一次函数 中，令 ，则 ，
∴点C的坐标为（2，0）；
当 ∽ 时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵ 轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为： ，
∴点P的坐标为（2，3）；
当 ∽ 时，如图，则 ，
答案第8页，共2页设点 ，则点P为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，点P的坐标为 ；
∴满足条件的点P，点D的坐标为 或 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解
题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的
思想进行分析．
4．(1)
(2) 或
(3)① 或3；② 或 或【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，再画出函数
图象，由此即可得；
（3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点 的坐标，再分 和 两种情况，
分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；
②设点 的坐标为 ，分 和 两种情况，分别根据等腰直角三角形的定
义建立方程组，解方程组即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则此抛物线的解析式为 ．
（2）解：对于二次函数 ，
当 时， ，解得 或 ，
则此抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
画出函数图象如下：
则当点 在 轴上方时， 的取值范围为 或 ．
答案第10页，共2页（3）解：①二次函数 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
即 ，
（Ⅰ）如图，当 时，
当 时， 随 的增大而减小，
则此时点 即为最低点，
所以 ，
解得 或 （不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当 时，
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以 ，解得 ，符合题设，
综上， 的值为 或3；
②设点 的坐标为 ，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当 时，设对称轴直线 与 轴的交点为点 ，
则在等腰 中，只能是 ，
垂直平分 ，且 ，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得 ，
则此时点 的坐标为 或 ；
（Ⅱ）当 时，
由（3）①可知，此时 ，
则点 ，
答案第12页，共2页，
，
，
当 时， 是等腰直角三角形，
则 ，即 ，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点 ；
当 时， 是等腰直角三角形，
则 ，即 ，
解得 ，
所以此时点 的坐标为 ；
当 时， 是等腰直角三角形，
则 ，即 ，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点 ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识
点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．(1)(2) 或 或
(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将 两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过 作 轴，交抛物线于 ，过
作 ，交 轴于 ，可得 ，由 ，可求解；②在 轴的负半轴
上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使 ，连接 、 ，过
作 轴，交 轴于 ， ，即可求解；③当 为平行四边形的对角线时，
在①中，只要点Q在点B的左边，且满足 ，也满足条件，只是点P的坐标仍是①
中的坐标；
（3）可设直线 的解析式为 ， ， ，
可求 ，再求直线 的解析式为 ，从而可求
，同理可求 ，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于 两点，
，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
答案第14页，共2页（2）解：①如图，过 作 轴，交抛物线于 ，过 作 ，交 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得： ， ，
；
②如图，在 轴的负半轴上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使
，连接 、 ，过 作 轴，交 轴于 ，四边形 是平行四边形，
，
在 和 中，
，
( )，
，
，
，
解得： ， ，
；
如上图，根据对称性： ，
③当 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且 时，也
满足条件，此时点P的坐标仍为 ；
答案第16页，共2页综上所述： 的坐标为 或 或 ．
（3）解：是定值，
理由：如图， 直线 经过 ，
可设直线 的解析式为 ，
、 在抛物线上，
可设 ， ，
，
整理得： ，
， ，
，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，则有，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
，
同理可求： ，
；
当 与 对调位置后，同理可求 ；
故 的定值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数
图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理
解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并
会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
答案第18页，共2页6．(1) ；
(2) ；
(3)存在，点Q的坐标是 或 ．
【分析】（1）过点A作 于H，解方程可得 ，然后解直角三角形求出 、
和 的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明 是等边三角形，求出 ，然后分情况讨论：①当点N
在 上，即 时，过点N作 于P，②当点N在 上，即
时，过点N作 于T，分别解直角三角形求出 和 ，再利用三角形面积公式列
式即可；
（3）分情况讨论：①当 是直角边时，则 ，过点N作 于K，首先求出
，然后解直角三角形求出 和 ，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当 是
对角线时，则 ，过点N作 于L，证明 ，可得
，然后解直角三角形求出 ，再利用平移的性质得出点Q的坐标．
【详解】（1）解：解方程 得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
过点A作 于H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：由（1）知在 中， ， ，
∴ ， ，
∵直线 与 y轴交于点E，
∴ ，
∴ ，
答案第20页，共2页∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
①当点N在 上，即 时，
由题意得： ， ，
过点N作 于P，
则 ，
∴ ；
②当点N在 上，即 时，
由题意得： ， ，
过点N作 于T，
则 ，
∴ ；综上， ；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当 是直角边时，则 ，过点N作 于K，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴将点N向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴ ；
答案第22页，共2页②如图，当 是对角线时，则 ，过点N作 于L，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵ ，
∴ ；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或
．【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，
等边三角形的判定和性质，含 直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性
质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思
想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
7．(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为 或 或
(3)
【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解
析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为
，解方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出
直线 的解析式为 ，解方程组 ，即可得到点M的坐标；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到
，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，
即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，
答案第24页，共2页∴ ，
将 代入直线 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，
∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ．
∴当 时， ，
∴ ，
①当 时，
设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
得 或 ，
∴点M的坐标为 ；
②当 时，
设直线 的解析式为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，
解得 或 ，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为 或 或 ；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，、
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
答案第26页，共2页【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角
三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各
知识点是解题的关键．
8．(1)0
(2)① ②
【分析】（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后
即可得到结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题可知：
时，总有 ，
．
则 ，
∴ ，
∴ 总成立，且 ，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题
意的两种临界情形：（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，
解得 或 （舍），
综上， ，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
答案第28页，共2页此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或0（舍）．
综上 ，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段 的垂直平分线上．令 ，解得 ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，即 ，
．
答案第30页，共2页，即 ，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结
合和分类讨论是解题的关键．
9．(1)
(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的
坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩
形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质
和平移的性质推出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，
点A的坐标为 ，则 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ．
∵当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
将点C坐标代入表达式，得 ，
解得 ．∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：由抛物线的对称性得： ，
∴ ．
当 时， ．
∴矩形 的周长为
．
∵ ，
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ．
（3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ．
∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P．．
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴P是 的中点．
答案第32页，共2页∴ ．
当 时，点A的坐标为 ，
∴ ．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平
移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数
图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
10．(1)
(2)点Q坐标 ，或 或 ；
(3) 时， 有最大值，最大值为 ．
【分析】（1）将 ， 代入 ，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数 ，求得点 ，设点 ，点 ，
分类讨论：当 为边， 为对角线时，当 为边， 为对角线时，运用平行四边形
对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作 ，过点E作 ，垂足为G，F，
可证 ， ；运用待定系数法求直线 解析式 ，直
线 解析式 ；设点 ， ，则 ，
， ， ，运用解直角三角形， 中，
， ， 中， ，可得， ， ； 中，
，可得， ， ，
，于是 ，从而确定
时，最大值为 ．
【详解】（1）将 ， 代入 ，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数 ，当 时，
∴点
设点 ，点 ，
当 为边， 为对角线时，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， 互相平分
∴ 解得， （舍去）或
点Q坐标 ；
答案第34页，共2页当 为边， 为对角线时，
同理得，
解得， 或 ，
∴
∴点Q坐标 或
综上，点Q坐标 ，或 或 ；
（3）如图，过点D作 ，过点E作 ，垂足为G，F，∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，同理可得
设直线 的解析式为：
则 ，解得
∴直线 ：
同理由点 ， ，可求得直线 ：
设点 ， ，
则 ， ， ，
中， ，
∴ ，
中，
∴ ，解得 ，
答案第36页，共2页∴
∵
∴ ；
中，
∴ ，解得，
∴
∵
∴
∴ ，
即 ．
∵
∴ 时， ， 有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，
解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
11．(1)
(2)存在， 的最大值为 ，
(3) 或【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求
，从而可求 ，即可求解；
（3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于
，连接 ，设 ， 可求 ， ，由
，可求 ，进而求出直线 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
答案第38页，共2页设 （ ），
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ，
，
．故 的最大值为 ， ．
（3）解：存在，
如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于
，连接 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，
，
，
，
，
，
答案第40页，共2页解得： ，
；
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
，且经过 ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，
；
综上所述：存在， 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的
判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
12．（1） ；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为 ， 点
P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，
12），过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P ，其中0
