文档内容
模块二 知识全整合
专题 3 函数及图像
第 7 讲 二次函数与方程、不等式综合
一、二次函数与一元二次方程
1．抛物线与x轴交点的横坐标
抛物线 ，令y=0，则 ，方程的解就是抛物线与x轴交点的
横坐标；
2．抛物线与x轴交点情况
（1）抛物线 与x轴的交点个数由判别式 的值的正负确定；
（2）当 时，抛物线与x轴有两个交点；
当 时，抛物线与x轴只有一个交点；
当 时，抛物线与x轴没有交点；
3．利用二次函数求一元二次方程的近似根
对于一元二次方程 ，令 ，画出函数的图像，抛物线与x轴
的交点的横坐标就是方程的解；
二、二次函数与不等式1．二次函数与一元二次不等式
的解集就是抛物线 在x 轴上方的那部分图像对应的自变
量的取值范围．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．知道二次函数和一元二次方程之间的关系；
2．会根据二次函数的求其图像与坐标轴的交点坐标；
3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；
【例1】（2023·四川巴中·统考中考真题）
1．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例
如：函数 与 互为“Y函数”．若函数 的图象
与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
【变1】（2023·河南鹤壁·统考三模）
2．已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
(1)抛物线对称轴为 ，A点坐标为 ．
(2)当 时，不等式 的解集为 ．
试卷第2页，共3页(3)已知点 、 ，连接 所得的线段与该抛物线有一个交点，求m的
取值范围．
【例1】（2023·四川成都·校考三模）
3．在探究关于x的二次三项式 的值时，小明计算了如下四组值：
小明说，他通过这四组值能得到方程 的一个近似根，这个近似根的个
位是 ，十分位是 ．
【变1】
（2023·河南商丘·统考二模）
4．为解方程 ，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究
的过程，请补充完整：
(1)先研究函数 ，列表如表：
x 0 1 2
y 0 0 m 0
表格中，m的值为__________．
(2)如图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描
出的点，画出了函数 图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．(3)观察图象，当 时，满足条件的x的取值范围是__________．
(4)在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 ．根据图象直接写出方程
的近似根（结果保留一位小数）
【例1】（2021·广西贺州·统考中考真题）
5．如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于
的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【变1】（2023·山西太原·校联考二模）
6．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
利用二次函数图象解不等式
数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一
次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？
例如解不等式 ，同学们以小组为单位展开了讨论．
善思小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为 ，如图1，画出函
试卷第4页，共3页数 的图象，抛物线与x轴相交于 和 两点，这两个点将x轴分为三
段，当 或 时，二次函数的图象位于x轴上方，此时 ，所以 ，
即 ，所以此不等式的解集为 或 ．
勤学小组受善思小组的启发，画出函数 的图象和直线 ．如图2
所示，它们相交于 和 两点，当 或 时，二次函数的图象位于直线
的上方，此时 ，即 ，所以不等式的解集为 或 ．
任务：
(1)两个小组的方法主要运用的数学思想是______（从下面的选项中选择一个即可）．
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．公理化思想
(2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式 ．请将函数图象画在图3的平
面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．
【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）
7．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线 经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【变1】（2023·江苏·统考中考真题）
8．已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图像与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
①则 的值是_________，点 的坐标是_________；
②当 时，借助图像，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求
和 的值以及 的取值范围．
一、选择题
（2023·湖北恩施·统考中考真题）
9．如图，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，抛物线 的
对称轴为 ，与x轴的一个交点位于 ， 两点之间．下列结论：①
； ② ；③ ； ④若 ， 为方程 的两个根，则
．其中正确的有（ ）个．
试卷第6页，共3页A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·河北·统考中考真题）
10．已知二次函数 和 （m是常数）的图象与x轴都有两个交点，
且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为
（ ）
A．2 B． C．4 D．
（2023·湖南·统考中考真题）
11．已知 ，若关于x的方程 的解为 ．关于x的
方程 的解为 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川自贡·统考中考真题）
12．经过 两点的抛物线 （ 为自变
量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
13．已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两
点．若点 ， 都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）
14．如图，二次函数与x轴交点坐标为 ， ，当 时，x的取值范围是
（2023·江苏镇江·统考二模）
15．已知一次函数 和二次函数 的自变量和对应
函数值如表：
x … 0 4 7 …
… 0 1 5 8 …
x … 0 4 …
… 5 0 5 …
当时，自变量x的取值范围是
（2023·云南昆明·统考二模）
16．如图，在平面直角坐标中，抛物线 和直线 交于点
和点 ，则不等式 的解集为 ．
（2023·江苏南京·统考二模）
17．二次函数 （ 是常数）的图象如图所示，则不等式
试卷第8页，共3页的解集是 ．
（2023·湖南永州·统考二模）
18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列
材料，回答问题：
例：已知关于x的方程 有实数根，求t的最大值？
解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当 时，
即
∴
设函数
当 时，
综上
(1)已知关于x的方程 有实数根，则m的最大值为 ；
(2)已知方程 有实数根，则x-2y的最大值为 ．
三、解答题
（2022·山东青岛·统考中考真题）
19．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
（2023·广东广州·统考模拟预测）
20．如图，抛物线 与直线 交于点A(2，0)和点 ．（1）求 和 的值；
（2）求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
（3）点 是直线 上的一个动点，将点 向左平移 个单位长度得到点 ，若线
段 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
（2023·河南南阳·统考三模）
21．如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)请结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为
图象G（包含A，B两点）．若点 在直线 上，且直线 与图象G
有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围．
（2023·云南·统考中考真题）
22．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具
有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用
数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问
题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
试卷第10页，共3页同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函
数 （实数 为常数）的图象为图象 ．
(1)求证：无论 取什么实数，图象 与 轴总有公共点；
(2)是否存在整数 ，使图象 与 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 的值；
若不存在，请说明理由．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则
称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：① ；② ，其中，_________为函数
的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数 （ 为常数， ）的图象与 轴交于点 ，其轴点函数
与 轴的另一交点为点 .若 ，求 的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数 （ 为常数， ）的图象与 轴、 轴分别交于 ，
两点，在 轴的正半轴上取一点 ，使得 .以线段 的长度为长、线段
的长度为宽，在 轴的上方作矩形 .若函数 （ 为常数， ）的轴
点函数 的顶点 在矩形 的边上，求 的值．参考答案：
1． 或
【分析】根据题意 与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴
的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即 和 两种情况，求出
与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当 时，函数的解析式为 ，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当 时，可得 ，解得 ，
与x轴的交点坐标为 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ；
①当 时，
函数 的图象与x轴只有一个交点，
，即 ，
解得 ，
函数的解析式为 ，
当 时，可得 ，
解得 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解
题意，进行分类讨论是解题的关键．2．(1) ；
(2) 或
(3)m的取值范围为 或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令 ，求出x的值，即可得出答案．
（2）由题意得， ，求出方程 的解，进而可得答案．
（3）分别求出抛物线顶点在线段 上、抛物线经过点M或点N时m的值，进而可得答
案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
在B的左侧，
，
故答案为： ； ；
（2） ，
，
解方程 ，得 ，
的解集为 或 ，
即不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）当抛物线 的顶点在 上时，
即 有两个相等的实数根，
答案第2页，共2页，
解得 （舍去）， ；
当抛物线经过线段 的左端点N时，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
当抛物线经过线段 的右端点M时，
把 代入 ，
得 ，
解得 ；
综上所述，m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下
位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不
等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点问题．
3． 1 1
【分析】根据表格可得 ，则方程 的一个近似根取值范围为：
，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴方程 的一个近似根取值范围为： ，
∴这个近似根的个位是1，十分为是1，
故答案为：1，1．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的
数据，根据表格得出近似根的取值范围．
4．(1)(2)见解析
(3) 或
(4)
【分析】（1）将 代入函数解析式进行求解即可；
（2）根据表格，描点，连线画出函数图象即可；
（3）结合图象即可得出结果；
（4）图象法解方程即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）根据（1）中表格数据，描点，连线，如图，
（3）解：由图象可知，
当 或 时，图象在 轴上方，即： ，
故答案为： 或 ；
（4）解：作图如下：
答案第4页，共2页由图象可得：方程的解为 ．
【点睛】本题考查函数的图象和性质．熟练掌握函数图象的画法，利用图象法解不等式和
方程，是解题的关键．
5．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，
以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直
线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 与直线 的交点和与直线 的交点也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解
决函数问题更是如此．理解 与 关于y轴对称是解题的关键．
6．(1)A
(2)见解析【分析】（1）根据材料中两个小组的做法进行判别即可；
（2）根据材料中两个小组的解题步骤进行解答即可．
【详解】（1）两个小组都是画出了坐标系函数图象，通过观察图象得出的结论，
∴主要运用的是数形结合的思想，
故答案为：A；
（2）①选择善思小组的方法：将不等式进一步变形为 ，
画出函数 的图象，
观察图象可知：抛物线与x轴相交于 和 两点，这两个点将x轴分为三段，
当 时，二次函数的图象位于x轴下方，
此时 ，即 ，
∴不等式 的解集为 ．
②选择勤学小组的方法：画出函数 的图象和直线 ，
答案第6页，共2页观察图象可知：函数 的图象和直线 相交于 和 两点，
当 时，二次函数的图象位于直线 的下方，
此时 ，即 ，
∴不等式的解集为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合，熟练运用数形结合的思想方法是解题的关
键．
7．B
【分析】①可得 ，从而可求 ，即可求解；②可得 ，由
，可得 ，即可求解；③可判断抛物线也过 ，从而可得方程
的一个根为 ，可求抛物线 的对称轴为直线
，从而可得抛物线 与 轴的另一个交点为 ，即可求解；④
当 ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：① 直线 经过点 ，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ，故①正确；
② ，
由①得 ，
，
，
，
抛物线 与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当 时，
，
抛物线也过 ，
由 得
方程 ，
方程的一个根为 ，
抛物线 ，
，
抛物线 的对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，
关于x的方程 有两个根 ， ，
故③正确；
答案第8页，共2页④当 ，当 时， ，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式
等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
8．(1)① ② 或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令 ，求出点 的坐标即可；②画出函
数图像，图像法求出 的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，
得到 和 关于对称轴对称，进而求出 的值，得到 为 的函数值，求出 ，推
出直线 过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与 轴交于 两点，点 坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
故答案为： ；② ，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图像如下：
由图可知：当 时， 或 ；
（2）∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
∵对于一切实数 ，若函数值 总成立，
∴ ；
（3）∵ ，
答案第10页，共2页∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
又当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，
∴直线 与抛物线的两个交点为 ，直线 在抛物线的下方，
∴ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 有最小值 ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
9．B
【分析】由图象得 ， ，由对称轴 得 ， ， ；
抛物线与x轴的一个交点位于 ， 两点之间，由对称性知另一个交点在 ，
之间，得 ，于是 ，进一步推知 ，由根与系数关系知
；
【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴， ，
对称轴 ， ， ，故① 错误；
故② 错误；
抛物线与x轴的一个交点位于 ， 两点之间，对称轴为 ，故知另一个交点在
， 之间，故 时，
∴ ，得 ，故③ 正确；
由 ， ， 知 ，
∵ ， 为方程 的两个根，
∴
∴ ，故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函
数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
10．A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则 和 ，
解得 或 或 或 ，
答案第12页，共2页不妨设 ，
∵ 和 关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴ 与原点关于点 对称，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∵抛物线 的对称轴为 ，抛物线 的对称轴为 ，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件．
11．B
【分析】把 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，把 看做是
直线 与抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 交于A、B两点，直线 与
抛物线 交于C、D两点，
∵ ，关于x的方程 的解为 ，关于x的方程
的解为 ，
∴ 分别是A、B、C、D的横坐标，∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成
直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
12．B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与
轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
答案第14页，共2页∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
13．C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与 轴的交点和二次函数的性质，即可
解答．
【详解】解： ，
，
点 ， 都在直线 的上方，且 ，
可列不等式： ，
，
可得 ，
设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
的开口向上，
的解为 ，
根据题意还可列不等式： ，
，
可得 ，
整理得 ，设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
抛物线 开口向下，
的解为 或 ，
综上所述，可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正
确列出不等式是解题的关键．
14． ##
【分析】写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及
数形结合的数学思想．
15． 或 ## 或
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为 和 ，画出草图，从而得到当
时，自变量x的取值范围．
【详解】解：∵当 时， ；
当 时， ；
∴直线与抛物线的交点为 和 ，
答案第16页，共2页画出草图如图所示，
当 时， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数 （a、b、c是常数，
）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取
值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
16．
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当 时，直线在抛物线上方，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
17． 或
【分析】利用图象法解不等式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
将不等式转化为两个函数： 与 的交点问题，
由图可知：点 在抛物线 ，又∵ 满足直线 的解析式，
∴两个函数的交点坐标为： ，
由图象可知：当 或 时， ，
∴不等式 的解集是 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交
点的问题，利用数形结合的思想进行求解．
18．
【分析】（1）仿照例题得出 ，进而根据二次函数的性质即
可求解．
（2）令 ，则 ，将 代入，得 ，根
据题意得出 ，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵关于x的方程 ，即
有实数根，
∴ ， ， ，
即
∴
答案第18页，共2页设函数
当 时，
综上 ，
故答案为：5．
（2）令 ，则 ，将 代入，
整理得 ，该方程有实数根，
∴
∴
有最大值
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
19．(1)m=1
(2)二次函数 的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出 的值是解
题关键． △
20．（1） ， ；（2）不等式 > 的解集为 或 ；（3）点
M的横坐标 的取值范围是： 或 ．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得 和 的值；
（2）解方程 求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在 与 上，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 ，
解方程 ，得： ．
∴点B的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当 或 时，抛物线在直线的上方，
∴不等式 > 的解集为 或 ；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A、B，
1 1
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A (-1，0)，点B (-4，3)，
1 1
∴A A BB 3，且A A∥BB，即MN为A A、BB 相互平行的线段，
1 1 1 1 1 1
对于抛物线 ，
答案第20页，共2页∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线 只有一个公共点，
此时 ，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线 也只有一个公共点，
此时点M 的纵坐标为-1，则 ，解得 ，
1
综上，点M的横坐标 的取值范围是： 或 ．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函
数的性质求解是关键．
21．(1) 和
(2) 或
(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入 ， 求出m、b的值即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；
（3）求出点P的坐标为 ，直线 与抛物线对称轴的交点为 ，结合图象即可
得出答案．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
解得： ，将点 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线和直线的解析式分别为 和 ．
（2）解：联立 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴根据图象可知，不等式 的解集为 或 ；
（3）解：把 代入 得： ，
∴点P的坐标为 ，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
把 代入 得： ，
∴直线 与抛物线对称轴的交点为 ，
根据图象可知，当直线 与图像G有公共点时， ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交
答案第22页，共2页点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，以及求出两个函数解析式和交点
坐标．
22．(1)见解析
(2) 或 或 或
【分析】（1）分 与 两种情况讨论论证即可；
（2）当 时，不符合题意，当 时，对于函数 ，
令 ，得 ，从而有 或 ，根据整数 ，使
图象 与 轴的公共点中有整点，即 为整数，从而有 或 或 或
或 或 或 或 ，解之即可．
【详解】（1）解：当 时， ，函数 为一次
函数 ，此时，令 ，则 ，解得 ，
∴一次函数 与 轴的交点为 ；
当 时， ，函数 为二次函数，
∵ ，
∴
，
∴当 时， 与 轴总有交点，
∴无论 取什么实数，图象 与 轴总有公共点；
（2）解：当 时，不符合题意，当 时，对于函数 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ 或
∴ 或 ，
∵ ，整数 ，使图象 与 轴的公共点中有整点，即 为整数，
∴ 或 或 或 或 或 或 或
，
解得 或 或 （舍去）或 （舍去）或 或 或 （舍去）或
（舍去），
∴ 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次
函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数
的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
23．（1）①；（2） 或 ；（3） 或 或
【分析】（1）求出函数 与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上
即可；
（2）求出函数 与坐标轴的交点，再由 求出点 坐标，代入二次函数解
析式计算即可；
（3）先求出 ， 的坐标，再根据 的顶点 在矩形 的边上分类讨
论即可．
【详解】（1）函数 交 轴于 ，交 轴于 ，
答案第24页，共2页∵点 、 都在 函数图象上
∴① 为函数 的轴点函数；
∵点 不在 函数图象上
∴② 不是函数 的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数 交 轴于 ，交 轴于 ，
∵函数 的轴点函数
∴ 和 都在 上，
∵
∴
∵ ，
∴
∴ 或
当 时，把 代入 得
，解得 ，
当 时，把 代入 得
，解得 ，
综上， 或 ；（3）函数 交 轴于 ，交 轴于 ，
∵ ，以线段 的长度为长、线段 的长度为宽，在 轴的上方作矩形
∴ ， ， ,
∵函数 （ 为常数， ）的轴点函数
∴ 和 在 上
∴ ，整理得
∴
∴ 的顶点 坐标为 ，
∵函数 的顶点 在矩形 的边上
∴可以分三种情况讨论：当 与 重合时；当 在 上时；当 在 上时；
当 与 重合时，即 ，解得 ；
当 在 上时， ，整理得 ，解得
此时二次函数开口向下，则
∴ 整理得： ，
由 整理得 ，
答案第26页，共2页∴
解得 ，
∴ ，
当 在 上时， ，整理得 ，解得
∴
此时对称轴左边y随x的增大而增大，
∴
∴ 整理得：
∴代入 、 后 成立
∴ ，
综上所述， 或 或
【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义．
