文档内容
模块二 知识全整合
专题 3 函数及图像
第 6 讲 确定二次函数的解析式
一、列二次函数的解析式
1．找出常量和变量；
2．用代数式表示变量之间关系；
3．确定自变量的取值范围；
二、用待定系数法求二次函数的解析式
1．利用一般式
（1）适用条件：已知图像上的三个点的坐标或三组变量的值；
（2）设二次函数的解析式为： ，（a≠0）；再把三个点的坐标（或三组
变量的值）代入构建方程组；
2．利用顶点式
（1）适用条件：已知顶点坐标或对称轴与最值；
（2）设二次函数的解析式为： （a≠0），先确定h、k的值，再把图像
上一个点的坐标（或一组变量的值）代入构建方程；3．利用交点式
（1）适用条件：已知抛物线与x轴的交点的横坐标；
（2）设二次函数的解析式为： （a≠0），先确定 ，再把图像上
一个点的坐标（或一组变量的值）代入构建方程；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
2．会用待定系数法确定二次函数的解析式；
【例1】（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）
1．如图， 和 是边长分别为5和2的等边三角形，点 、 、 、 都
在直线 上， 固定不动，将 在直线 上自左向右平移．开始时，点 与
点 重合，当点 移动到与点 重合时停止．设 移动的距离为 ，两个三角形
重叠部分的面积为 ，请写出 与 之间的函数关系式 ．
【变1】（2022·广东佛山·统考二模）
2．如图，在 中， ， ， ．在它的内部作一个矩形 ，
使得 在边 上， 、 分别在边 、 上．设 ，矩形 的面积为
．
(1)写出图中的一对相似三角形；
(2)写出 关于 的函数关系式；
试卷第2页，共3页(3)若 、 是平面直角坐标系中的两个点，判断线段 与（2）中
函数图象的交点情况，并求出对应 的取值范围．
【例1】（2022·山东泰安·统考中考真题）
3．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
【变1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）
4．如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【例1】（2023·浙江·模拟预测）
5．已知两个二次函数为 ，当 时， 取最小值6且 ，二次函数
的最小值为 ， ．求：
(1) 的值；(2)二次函数 表达式．
【变1】（2023·上海·统考中考真题）
6．在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，y轴交于点B，点
C在线段 上，以点C为顶点的抛物线M： 经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 ，且 轴，如果点
P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【例1】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
7．已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，顶
点为D．
试卷第4页，共3页(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛
物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
【变1】（2022·四川内江·统考中考真题）
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C
（0，2）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的
最大值及此时点D的坐标；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
求点P的坐标．
一、选择题
（2022·广东佛山·统考模拟预测）
9．如图是二次函数 的部分图象，抛物线的对称轴为直线 ，与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ．给出下列结论：
① ；
②点 的坐标为 ；
③抛物线与 轴另一个交点的坐标为 ；
④抛物线的顶点坐标为 ；⑤函数最大值为 ．
其中正确的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
10．在平面直角坐标系 中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部（包
括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 ．
若二次函数 图象的关联矩形恰好也是矩形 ，则
．
（2022·贵州六盘水·统考中考真题）
11．如图是二次函数 的图像，该函数的最小值是 ．
三、解答题
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
试卷第6页，共3页12．如图，抛物线 经过坐标原点 ，且顶点为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与 轴正半轴的交点为 ，点 位于抛物线上且在 轴下方，连接 、
，若 ，求点 的坐标．
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
13．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求 的面积．
注：抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是
．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
14．如图，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ．(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
15．设二次函数 ，（ ， 是实数）．已知函数值 和自变量 的部
分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
(1)若 ，求二次函数的表达式；
(2)在（1）问的条件下，写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
（2022·广东广州·统考中考真题）
16．已知直线 ： 经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点P（ ， ）在直线 上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求 的取值范围；
②设抛物线G与直线 的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q'
也在G上时，求G在 ≤ ≤ 的图象的最高点的坐标．
试卷第8页，共3页参考答案：
1．
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当 时，两个三角形重叠部分为
的面积，当 时，两个三角形重叠部分为 的面积，当 时，两个三角
形重叠部分为 的面积，分别求解即可．
【详解】解：①当 时，如图1所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
和 是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作 于点E，
，
，
，
即 ；
②当 时，如图2所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
过点 作 于点E，
，
，
即 ；
③当 时，如图3所示，两个三角形重叠部分为 的面积，
由题意得， ，
和 是边长分别为5和2的等边三角形，是等边三角形，且 ，
过点D作 于点E，
，
，
即 ；
综上，写出 与 之间的函数关系式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三
角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
2．(1)△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB
(2)
(3)当 时，此时MN与抛物线没有交点；当 时，MN与抛物线有2个交点；
当 或 或 时，MN与抛物线只有一个交点．
答案第2页，共2页【分析】（1）只需要证明 ADG∽△GCF∽△FEB∽ ACB即可；
△ △
（2）根据相似三角形的性质求出 即可得到答案；
（3）利用二次函数图象的性质求解即可.
【详解】（1）解：∵四边形DEFG是矩形，
∴∠ADG=∠BEF=∠C=90°， ，
∴∠A=∠CGF，∠B=∠CFG，
∴△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB；
（2）解：∵在 中， ， ， ，
∴
∵△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∵四边形DEFG是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为（5，12），
∵ 、 ，
∴MN与x轴平行，
当 ，即 时，此时MN与抛物线没有交点；当 ，即 时，此时MN与抛物线只有一个交点，
当 ，即 时，令 ， ，
解得 或 （舍去），
∴当 时，MN与抛物线有2个交点， 时，MN与抛物线只有一个交
点，
当 时，MN与抛物线只有一个交点，
综上所述，当 时，此时MN与抛物线没有交点；当 时，MN与抛物线有
2个交点；当 或 或 时，MN与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，二次函数与
几何的应用，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
答案第4页，共2页∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法
正确，不符合题意；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
4．(1) ，顶点坐标为 ；
(2)
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再把
解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，
∴
解得： ， ，如图，当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利
用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
5．(1)
(2) ，
【分析】（1）由题意得 ，进而解一元二次方程即可求解；
（2）设 ， ，根据对应项系数相等列方程，然后解方程
即可．
【详解】（1）解：∵当 时， 取最小值6且 ， ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：由题意，设 ， ，
由 ，
答案第6页，共2页∴ ，解得 ，
∴ ， ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值问题、解一元二
次方程，根据题意得出相关方程（组）是解决问题的关键．
6．(1) ，
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）根据题意，分别将 ， 代入直线 即可求得；
（2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将 代入可求
得 ，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得b，c；
（3）根据题意，设 ， ，根据平移的性质可得点 ，点 向下平移的
距离相同，即列式求得 ， ，然后得到抛物线N解析式为： ，将
代入可得 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，y轴交于点B，
当 时，代入得： ，故 ，当 时，代入得： ，故 ，
（2）设 ，
则可设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线M经过点B，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴将 代入 ，
整理得： ，
故 ， ；
（3）如图：
∵ 轴，点P在x轴上，
∴设 ， ，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点 ，点 向下平移的距离相同，
∴ ，
答案第8页，共2页解得： ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴抛物线N的函数解析式为： ，
将 代入可得： ，
∴抛物线N的函数解析式为： 或 ．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，
二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点 的坐标，再利用中点坐标公式可得点 的坐标，
然后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则该抛物线的解析式为 ．
（2）解：抛物线 的顶点坐标为 ，
当 时， ，即 ，
为 的中点，且 ，，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是
解题关键．
8．(1)
(2) ，点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法
求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的
代数式表示出DG，然后利用 得到 ，可得出关于m的
二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S PCB：S PCA= 即可求解．
△ △
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点
C（0，2）．
∴ ，
解得： ，
答案第10页，共2页∴抛物线的解析式为 ；
（2）（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴
∴ ，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，∴ ，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值 ．
此时 ，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S PCB：S PCA＝ ，
△ △
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或 ，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝ x+2，
联立方程组 或 ，
解得：x＝6或﹣ （不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，
答案第12页，共2页锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
9．C
【分析】待定系数法得出 的值即可判断①，令 ，即可得出 ,进而判断②根
据对称性得出抛物线与 轴另一个交点的坐标为 ，即可判断③，进而得出顶点坐标，
即可判断④和⑤， 即可求解．
【详解】解： 二次函数 的对称轴为直线 ，与 轴交于点 ，
，抛物线与 轴另一个交点的坐标为 ，故③正确，符合题意；
解得 ，
，故①错误，不符合题意；
函数解析式为 ，
当 时， ， 点 的坐标为 ，故②正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标为 ，故④正确，符合题意；
函数图象开口向上，当 时，取得最小值 ，故⑤错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
10． 或
【分析】根据题意求得点 ， ， ，根据题意分两种情况，待定系数法
求解析式即可求解．
【详解】由 ，当 时， ，
∴ ，∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
①当抛物线经过 时，将点 ， 代入 ，
∴
解得：
②当抛物线经过点 时，将点 , 代入 ，
∴
解得：
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解
题的关键．
11．
【分析】先根据二次函数的对称轴为直线 可求出 的值，再将点 代入可求出
的值，然后求出 时， 的值即可得．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线 ，函数的图像经过点 ，
则 ， ，
解得 ，
将 代入 得： ，解得 ，
则二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
答案第14页，共2页即该函数的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．
12．(1)
(2) ，
【分析】（1）设抛物线的表达式为 ，将 代入可得 ；
（2）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，设 ，求出 ；根据
， ，得 ，故 ，从而
，即可解得答案．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
；
（2）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，如图：
设 ，
在 中，令 得 或 ，；
， ，
，
，
，
，
，
，
解得 或 （此时 与 重合，舍去），
， ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题
的关键是证明 ，用对应边成比例列式求出 的值．
13．(1)抛物线对应的解析式 ，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可；
（2）求出点 和抛物线顶点 ， ， 利用
即可得到答案．
【详解】（1） 抛物线 经过点 ， ，
，
解这个方程组，得 ．
答案第16页，共2页抛物线对应的解析式 ．
点是抛物线的顶点坐标，
，即： ， ，
．
（2）如图，连接OP．
， ， ， ，
，
，
．
，
．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数
形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键．
14．(1)
(2)存在，点 的坐标为 或【分析】（1）采用待定系数法，将点 和点 坐标直接代入抛物线 ，即可
求得抛物线的解析式．
（2）过线段 的中点 ，且与 平行的直线上的点与点 ，点 连线组成的三角形的
面积都等于 ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线
解析式联立，即可求得答案．
【详解】（1）解：因为抛物线 经过点 和点 两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为： ．
（2）解：如图，设线段 的中点为 ，可知点 的坐标为 ，过点 作与 平行
的直线 ，假设与抛物线交于点 ， （ 在 的左边），（ 在图中未能显示）．
答案第18页，共2页设直线 的函数解析式为 ．
因为直线 经过点 和 ，所以
，
解得 ，
所以，直线 的函数解析式为： ．
又 ，
可设直线 的函数解析式为 ，
因为直线 经过点 ，所以
．解得 ．
所以，直线 的函数解析式为 ．
根据题意可知，
．
又 ，
所以，直线 上任意一点 与点 ，点 连线组成的 的面积都满足
．
所以，直线 与抛物线 的交点 ， 即为所求，可得
，
化简，得
，
解得 ，
所以，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
故答案为：存在，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、
一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 ；再根据抛物线的增减性求
解即可．
答案第20页，共2页（3）先把 代入 ，得 ，从而得 ，再求出
， ， ，从而得 ，然后m、n、p这三个实数中，只有一个
是正数，得 ，求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在 图象上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，则 时， 随 的增大而减小，
（3）解：把 代入 ，得
，
∴
∴
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，∴ ，解得： ．
【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练
掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
16．(1)直线 解析式为： ；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线 上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）
不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线 的上方，可求m的取值范围，
然后结合点P不能在 轴上得出答案；
②先根据点Q，点 的对称，得QQ'=1，可表示点Q和 的坐标，再将点 的坐标的代
入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，
求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线 经过点（0，7）和点（1，6），
∴ ，
解得 ，
∴直线 解析式为： ；
（2）解：①设G： （ ），
∵点P（ ， ）在直线 上，
∴ ；
∴G： （ ）
∵（0，-3）不在直线 上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
答案第22页，共2页而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线 的上方，
则 ， ，
另一方面，点P不能在 轴上，
∴ ，
∴所求 取值范围为： ，且 ；
②如图，QQ'关于直线 对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为 ，
而点Q在 上，∴Q（ ， ），Q'（ ， ）；
∵Q'（ ， ）在G： 上，
∴ ， ，
∴ G： ，或 ．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴ ，
即 ，
， ；
当 时，抛物线G为 ，对称轴为直线 ，
对应区间为-2≤ ≤-1，整个区间在对称轴 的右侧，
此时，函数值 随着 的增大而减小，如图，∴当 取区间左端点 时， 达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当 时，对应区间为 ≤ ≤ ，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二
次函数的极值等．解题的关键是掌握当 时，顶点在直线 与 轴的交点（0，7），此
时抛物线不可能过点（0，-3），因此， 可能会被忽视．
答案第24页，共2页
