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模块二 知识全整合
专题3 函数及图象
第5讲 二次函数的图象和性质
一、二次函数的概念
1．二次函数：用自变量的二次整式表示的函数；
2．一般形式： ，（a、b、c为常数，a≠0）；
3．特殊形式
（1）顶点式： ，（a≠0）；
（2）交点式： ，（a≠0）；
二、二次函数的图象和性质
1． 的图象和性质
a的正 开口 顶点坐
对称轴 增减性 最值
负 方向 标
当x0 向上
Y轴（直线 （0， x>0时，y随x增大而增大； 值=0
x=0） 0）
a<0 向下 当x0时，y随x增大而减小； 值=0
2． 的图象和性质
a的正 开口 顶点坐
对称轴 增减性 最值
负 方向 标
当x0 向上
x>0时，y随x增大而增大； 值=c
Y轴（直线 （0，
x=0） c）
当x0时，y随x增大而减小； 值=c
2． 的图象和性质
a的正 开口 对称 顶点坐
增减性 最值
负 方向 轴 标
当xh 最小
a>0 向上
时，y随x增大而增大； 值=0
直线 （h，
x=h 0）
当xh 最大
a<0 向下
时，y随x增大而减小； 值=0
3． 的图象和性质
a的正 开口 对称 顶点坐
增减性 最值
负 方向 轴 标
当xh 最小
a>0 向上
时，y随x增大而增大； 值=k
直线 （h，
x=h k）
当xh 最大
a<0 向下
时，y随x增大而减小； 值=k
4． 的图象和性质
a的 开口
对称轴 顶点坐标 增减性 最值
正负 方向
当x< 时，y随x增大而
最小值=
a>0 向上
减小；当x> 时，y随x
直线x=
增大而增大；
，
最大值=
当x< 时，y随x增大而
a<0 向下
增大；当x> 时，y随x
试卷第2页，共3页增大而减小；
三、二次函数的系数与图象的关系
1．a决定开口方向和大小
a>0，开口向上；a<0，开口向下； 越大，开口越小；
2．a、b一起决定对称轴的位置
当ab>0时，对称轴在y轴的左侧；当ab<0时，对称轴在y轴的右侧；简称“左同右
异”；
3．c决定图象与y轴的交点的位置
当c>0时，与y轴正半轴相交；当c<0时，与y轴负半轴相交；当c=0时，抛物线经过
原点；
四、二次函数图象的平移
1．平移的规律：左加右减自变量，上加下减因变量；
2．平移后系数a的值不改变，抛物线的开状和大小、开口方向都不改变；抛物线的位
置发生改变，其对称轴和顶点坐标都随之改变；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．会用描点法画二次函数的图象，会利用一些特殊的点画出二次函数的草图；
2．通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系；
3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并由此得出二次函数的顶
点坐标，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值；
【例1】
（2023·福建南平·统考一模）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·北京·统考二模）
2．如图，某小区有一块三角形绿地 ，其中 ．计划在绿地上建造
一个矩形的休闲书吧 ，使点P，M，N分别在边 上．记
，图中阴影部分的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【例1】
（2023·四川甘孜·统考中考真题）
3．下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与 轴没有交点
C．当 时， 随 增大而增大 D．图象的顶点坐标是
【变1】
（2023·湖南·统考中考真题）
4．已知 是抛物线 （a是常数， 上的点，现有
以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若
，则 ；④若 ，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例1】
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
5．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；②
；③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该
试卷第4页，共3页图象上，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【变1】
（2023·四川乐山·统考中考真题）
6．如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：
① ；② ；③ ；④若点 在抛物线上，则
．其中，正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例1】
（2023·江苏徐州·统考中考真题）
7．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再
向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．【变1】
（2023·西藏·统考中考真题）
8．将抛物线 通过平移后，得到抛物线的解析式为 ，则平
移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【例1】
（2023·山东淄博·统考中考真题）
9．如图，在直线 ： 上方的双曲线 上有一个动点 ，过点 作
轴的垂线，交直线 于点 ，连接 ， ，则 面积的最大值是 ．
【变1】
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
10．如图，在四边形 中， ， ， ，
若线段 在边 上运动，且 ，则 的最小值是（ ）
试卷第6页，共3页A． B． C． D．10
一、选择题
（2023·北京石景山·统考二模）
11．如图，在 中， ， ．点P是 边上一动点（不
与C，B重合），过点P作 交 于点 ．设 ， 的长为 ，
的面积为 ，则 与x，S与 满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
（2023·辽宁大连·统考中考真题）
12．已知抛物线 ，则当 时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
13．已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两
点．若点 ， 都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东日照·统考中考真题）14．在平面直角坐标系 中，抛物线 ，满足 ，已知点
， ， 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
15．设二次函数 是实数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
16．已知点 在直线 上，点 在抛物线
上，若 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·辽宁营口·统考中考真题）
17．如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交
于点C．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时，
；④当 时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实
数）其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
试卷第8页，共3页18．关于 的二次函数 的结论
①对于任意实数 ，都有 对应的函数值与 对应的函数值相等．
②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 时， ．
③若 ，对应的 的整数值有 个，则 或 ．
④当 且 时， ，则 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
（2023·广东广州·统考中考真题）
19．已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
（2023·福建·统考中考真题）
20．已知抛物线 经过 两点，若 分别
位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
21．将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，
得到的新抛物线经过原点．
（2023·四川乐山·统考中考真题）
22．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为
“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
（2023·山东临沂·统考中考真题）23．小明利用学习函数获得的经验研究函数 的性质，得到如下结论：
①当 时，x越小，函数值越小；
②当 时，x越大，函数值越小；
③当 时，x越小，函数值越大；
④当 时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
三、解答题
（2023·北京·统考中考真题）
24．在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若对于 ， 有 ，求 的值；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
（2022·广东深圳·统考中考真题）
25．二次函数 先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在
平面直角坐标系上．
试卷第10页，共3页(1) 的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出 与 的交点坐标；
(3)点 在新的函数图象上，且 两点均在对称轴的同一侧，若
则 （填“ ”或“ ”或“ ”）
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
26．探究函数 的图象和性质，探究过程如下：
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下其中， ________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画
出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一
条性质；
(2)点 是函数 图象上的一动点，点 ，点 ，当
时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；
(3)在图2中，当 在一切实数范围内时，抛物线 交 轴于 ， 两点（点
在点 的左边），点 是点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分
别交线段 ， （不含端点）于 ， 两点．当直线 与抛物线只有一个公共点时，
与 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
试卷第12页，共3页参考答案：
1．A
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】A项， 是二次函数，故本项符合题意；
B项， 不是二次函数，故本项不符合题意；
C项， 不是二次函数，故本项不符合题意；
D项， 不是二次函数，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二
次函数的一般式是 ，其中 ．
2．A
【分析】先求出 ，再证明 都是等腰直角三角形，从而推出
， ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
3．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与 轴的交点个数，
由此解答即可．
【详解】解：A、 ，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、 ，
，
即图象与 轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、 ，
图象的顶点坐标是 ，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．B
【分析】根据对称轴公式 可判断①；当 时， ，可判断②；根
据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 ，可以
判断④．
【详解】解：∵抛物线 （a是常数， ，
∴ ，
故①正确；
当 时， ，
答案第2页，共2页∴点 在抛物线上，
故②正确；
当 时， ，
当 时， ，
故③错误；
根据对称点的坐标得到 ，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5．D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得 ，
， ，故①不符合题意；当 与 时的函数值相等，可得
，故②符合题意；当 时函数值最大，可得 ，故③
不符合题意；由点 和点 在该图象上，而 ，且离抛
物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不符合题意；
∵对称轴为直线 ，
∴当 与 时的函数值相等，
∴ ，故②符合题意；
∵当 时函数值最大，
∴ ，∴ ；故③不符合题意；
∵点 和点 在该图象上，
而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴ ．故④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点
坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
6．B
【分析】抛物线 经过点 ，且 ，，可以得到 ，
，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出 ，则
，即可判断②；由图象可知，当 时， ，即 ，所以有 ，
从而可得出 ，即可判断③；利用 ，再根据 ，所以
，从而可得 ，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，
∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴
∴ ，故②正确；
由图象可知，当 时， ，即 ，
答案第4页，共2页∴
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数
图象性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单
位长度，所得拋物线对应的函数表达式为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
8．D
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线
的顶点坐标为 ，
而点 向左平移2个，再向下平移3个单位可得到 ，所以抛物线 向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可
求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式．
9．3
【分析】设 ，则 ，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二
次函数的最值，即可求解．
【详解】解：依题意，设 ，则 ，
则
∴
∵ ，二次函数图象开口向下，有最大值，
∴当 时 面积的最大值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关
系式是解题的关键．
10．B
【分析】过点C作 ，过点B作 ，需使 最小，显然要使得
和 越小越好，则点F在线段 的之间，设 ，则 ，求得
关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：过点C作 ，
答案第6页，共2页∵ ， ，
∴ ，
过点B作 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
需使 最小，显然要使得 和 越小越好，
∴显然点F在线段 的之间，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时取得最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的
性质是解题的关键．
11．A
【分析】先求出 ，再求出 ，然后解 得到 ，
，进而得到 ， ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ 与x，S与 满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出
， 是解题的关键．
12．D
【分析】把抛物线 化为顶点式，得到对称轴为 ，当 时，函数的最小
值为 ，再分别求出 和 时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与 轴的交点和二次函数的性质，即可
解答．
【详解】解： ，
，
点 ， 都在直线 的上方，且 ，
可列不等式： ，
，
可得 ，
答案第8页，共2页设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
的开口向上，
的解为 ，
根据题意还可列不等式： ，
，
可得 ，
整理得 ，
设抛物线 ，直线 ，
可看作抛物线 在直线 下方的取值范围，
当 时，可得 ，
解得 ，
，
抛物线 开口向下，
的解为 或 ，
综上所述，可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正
确列出不等式是解题的关键．14．C
【分析】利用解不等式组可得 且 ，即可判断二次函数的对称轴位置，再
利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得: ，且
所以对称轴 的取值范围在 ，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是 ，其次是 ，最远的是 ，
即根据增减性可得 ，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质
是解题的关键．
15．A
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线
对称轴为直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求
解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
答案第10页，共2页故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴
是解题的关键．
16．A
【分析】设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点坐
标为 ，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出 的范围，根据二次函数的性质得出
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，
设抛物线顶点坐标为
联立
解得： 或
∴ ，
由 ，则 ，对称轴为直线 ，
设 ，则点 在 上，∵ 且 ，
∴ 点在 点的左侧，即 ， ，
当 时，
对于 ，当 ， ，此时 ，
∴ ，
∴
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
17．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得 ，根据 和点
可得抛物线的对称轴为直线 ，即可判断②；推出 ，即可判断①；根据
函数图象即可判断③④；根据当 时，抛物线有最大值 ，即可得到
，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵抛物线与x轴交于点 和点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，故②正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
答案第12页，共2页由函数图象可知，当 时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当 时， ，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，即当 时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，抛物线有最大值 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物
线的相关知识是解题的关键．
18．B
【分析】先求出该函数对称轴为直线 ，再得出 和 关于直线 对称，
即可判断①；把 代入 ，求出 ，则当 时，y随x
的增大而增大，得出 ，即可判断②；根据
，然后进行分类讨论：当 时，当 时，即可
判断③；根据当 且 时，得出y随x的增大而减小，根据 时，
，求出 ，则当 时， ，求出n的值，即可判
断④．
【详解】解：①∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵ ， ，∴ ，即 和 关于直线 对称，
∴ 对应的函数值与 对应的函数值相等，故①正确，符合题意；
②把 代入 得： ，
解得： ，
∴二次函数表达式为 ，
∵ ，该函数的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②不正确，不符合题意；
③∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
当 时，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，对应的 的整数值有 个，
答案第14页，共2页∴四个整数解为： ，
∴ ，解得： ，
综上： 或 ，故③正确，符合题意；
④当 且 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 的对称轴
为 ，顶点坐标为 ； 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减
小，在对称轴右边，y随x的增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x
的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
19．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解： 的对称轴为y轴，
∵ ，
∴开口向上，当 时， y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开
口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
20．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在
对称轴的右侧，且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．2或4##4或2
【分析】先求出抛物线 向下平移1个单位长度后与 的交点坐标，然后再求出
新抛物线经过原点时平移的长度．
答案第16页，共2页【详解】解：抛物线 向下平移1个单位长度后的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴抛物线 与 的交点坐标为 和 ，
∴将抛物线 向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左
加右减，上加下减是解题关键．
22．
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到
，解得 （不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理
得到 ，由 得到 ，则 ，由 进
一步得到 ，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值
范围．
【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，
当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练
掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
23．②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x 1 2
答案第18页，共2页y 3 3 5
描点、连线，图象如下，
根据图象知：
①当 时，x越小，函数值越大，错误；
②当 时，x越大，函数值越小，正确；
③当 时，x越小，函数值越大，正确；
④当 时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会
画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的
右侧，根据对称性求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于 ， 有 ，∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为 ．
∴ ；
（2）解：∵当 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
25．(1)
(2)图见解析， 和
(3) 或
【分析】（1）把点 代入 即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，
解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若 ，则
，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若 ，则 ，进而可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ．
答案第20页，共2页（2）平移后的图象如图所示：
由题意得： ，
解得 ，
当 时， ，则交点坐标为： ，当 时， ，则交点坐标为： ，
综上所述： 与 的交点坐标分别为 和 ．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴 ， ，
∴当 时， 随x的增大而减小，当 时， 随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若 ，则 ，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若 ，则 ，
综上所述：点 在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若
，则 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，
利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
26．(1)2，图见解析，图象关于 轴对称
(2) 或 或
(3)是定值，
【分析】（1）把 代入解析式，求出 的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图
形写出一条性质即可；
（2）利用 ，进行求解即可．
（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点 的坐标，进而求出直线 的解析
式，设直线 的解析式为 ，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，
答案第22页，共2页得到 ，得到 ，分别联立直线 和直线 的解析式，求出
的坐标，利用锐角三角形函数求出 的长，再进行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：
由图象可知：图象关于 轴对称；
故答案为： ．
（2）解：∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时： ，
解得： ，∴ 或 ，
当 时： ，
解得： ，
∴ ；
综上： 或 或 ；
（3）是定值；
∵ ，当 时， ，解得： ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， ，
∵点 是点 关于抛物线顶点的对称点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则： ，解得： ，
∴ ，
设直线 ： ，
联立 和 ，得： ，
∵直线 与抛物线只有一个交点，
∴ ，
答案第24页，共2页∴ ，
联立 ， ，得： ，
联立 ， ，得： ，
如图：∵ 关于 对称，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，过点 作 ，
则： ，
∴ ，
∴；
∴ 与 的和为定值： ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．解题的关键是掌握描点法画函数
图象，利用数形结合的思想进行求解．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
答案第26页，共2页
