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模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 4 讲 反比例函数
一、反比例函数的概念
1．反比例函数：形如 （K为常数，K≠0）的函数；
2．反比例函数的形式：
（1）一般形式： ，（K≠0）；
（2）特殊形式： ， ，（K≠0）；
二、反比例函数的图象与性质
1．K对图象的影响
K的正负 图象所在的象限 函数的增减性
K>0 第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小
K<0 第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数的图象的对称性
（1）双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；
（2）双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；三、K的几何意义
（1）过双曲线 上任意一点，分别引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的
矩形的面积为 ；
（2） 越大，图象越远离原点；
四、反比例函数的实际应用
构建反比例函数的解析式，结合反比例函数的图象和性质，解决实际问题．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义；
2．能根据已知条件确定反比例函数的表达式；
3．会用描点法画出反比例函数的图象；
4．知道当k>0和K<0时反比例函数 图象的整体特征；
5．能用反比例函数解决简单的实际问题．
【例1】
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关
系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
【变1】
（2023·北京·统考中考真题）
2．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，
则m的值为 ．
试卷第2页，共3页【例1】
（2023·河北·统考中考真题）
3．如图，已知点 ，反比例函数 图像的一支与线段 有交点，
写出一个符合条件的k的数值： ．
【变1】
（2023·山东泰安·统考中考真题）
4．一次函数 与反比例函数 （a，b为常数且均不等于0）在同一坐标
系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例1】
（2023·广东广州·统考中考真题）5．已知正比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象位于第一、
第三象限，则一次函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变1】
（2023·湖北宜昌·统考中考真题）
6．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，则，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
7．如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图象上，且
轴， 轴于点C，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变1】
（2023·黑龙江·统考中考真题）
8．如图， 是等腰三角形， 过原点 ，底边 轴，双曲线 过
两点，过点 作 轴交双曲线于点 ，若 ，则 的值是（ ）
试卷第4页，共3页A． B． C． D．
【例1】
（2023·山东滨州·统考中考真题）
9．如图，直线 为常数 与双曲线 （ 为常数）相交于 ，
两点．
(1)求直线 的解析式；
(2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小
关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【变1】
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
10．在平面直角坐标系 中，点 ， 的位置和函数、 的图像如图所示．以 为边在x轴上方作正方形
， 边与函数 的图像相交于点E， 边与函数 、 的图像分别相交于点
G、H，一次函数 的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接 ．
(1) ， ，求函数 的表达式及 的面积；
(2)当a、m在满足 的条件下任意变化时， 的面积是否变化？请说明理
由；
(3)试判断直线 与 边的交点是否在函数 的图像上？并说明理由．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
11．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，
浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 （单位： ）的反比例函数，
当密度计悬浮在密度为 的水中时， ．
(1)求h关于 的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时， ，求该液体的密度 ．
试卷第6页，共3页【变1】
（2022·山东枣庄·统考中考真题）
12．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排
污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企
业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓
度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规
律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与
时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓
度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什
么？
一、选择题
13．如果 的压力 作用于物体上，产生的压强 要大于 ，则下列关于物体
受力面积 的说法正确的是（ ）
A． 小于 B． 大于 C． 小于 D． 大于
14．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则
， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
16．在反比例函数 的图象上有两点 ，当 时，有
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象可能是
（ ）
A． B． C．
试卷第8页，共3页D．
18．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支
上，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．3
19．已知在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数
的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点 和点
在函数 的图象上( 且 )，点 和点 在函数
的图象上．当 与 的积为负数时，t的取值范围是( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题
20．如图，在矩形 和正方形 中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴
正半轴上，点D在边 上， ， ．若点B，E在同一个反比例函数的
图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．21．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强
是气球体积 的反比例函数，且当 时， ．当气球内的气
体压强大于 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于
．
22．如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上．点 的
坐标为 ．连接 ．若 ，则 的值为 ．
23．如图， 与 位于平面直角坐标系中， ，
， ，若 ，反比例函数 恰好经过点C，则
．
三、解答题
24．在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于
试卷第10页，共3页点 、 ．C是y轴上的一点，连接 、 ．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若 的面积是6，求点C的坐标．
25．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气
体体积 （ ）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计
气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 ， 取3）；
(2)请你利用 与 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
26．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通过调节
滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如
图），已知串联电路中，电流与电阻 之间关系为 ，通过实验得出如下
数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
(1) _______， _______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象；
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 时， 的解集为
________．
27．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特
征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数 的图象，并探究该
函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
试卷第12页，共3页(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
28．如图，在平面直角坐标系中， ， ，反比例函数 在第一象
限的图象经过点C， ， ，过点C作直线 轴，交y轴于点
E．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合）， 的平分线交直线 于点F，请直
接写出点F的坐标．参考答案：
1．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线 过点 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，故 不在直线 上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，
，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入 得
，解得 ，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待
定系数法是解题的关键．
2．3
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数 的图象经过点 和
∴把点 代入得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，
熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
3．4（答案不唯一，满足 均可）
【分析】先分别求得反比例函数 图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范
围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数 图像过 时， ；
当反比例函数 图像过 时， ；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足 均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
4．D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出 的符号，由此可以确定反比
例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
答案第2页，共2页D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图
象的关系是解决本题的关键．
5．C
【分析】根据正比例函数 的图象经过点 ， 在第四象限，推出 ，根据
反比例函数 的图象位于第一、第三象限，推出 ，则一次函数 的图象经
过第一、二、四象限，即可解答．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ， 在第四象限，
∴正比例函数 经过二、四象限，
∴ ，
∵反比例函数 的图象位于第一、第三象限，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数 的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键
是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
6．C
【分析】先根据点 求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，则反比例函数的解析式为 ，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大，
又 点 在函数 的图象上，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例
函数的图象与性质是解题关键．
7．B
【分析】延长 交 轴于点 ，根据反比例函数 值的几何意义得到 ，
，根据四边形 的面积等于 ，即可得解．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
∵ 轴于点C， 轴，点B在函数 的图象上，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ；
答案第4页，共2页故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中 的几何意
义，是解题的关键．
8．C
【分析】设 ，根据反比例函数的中心对称性可得 ，然后过点A作
于E，求出 ，点D的横坐标为 ，再根据 列式求出 ，进而
可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．
【详解】解：由题意，设 ，
∵ 过原点 ，
∴ ，
过点A作 于E，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，点D的横坐标为 ，
∵底边 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知
识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
9．(1)
(2)当 或 时， ；当 时，
(3) 或
【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求得 ，将点 代入 ，得出
，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而
增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点 代入反比例函数 ，
∴ ，
∴
将点 代入
∴ ，
将 ， 代入 ，得
答案第6页，共2页解得： ，
∴
（2）∵ ， ，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，
∴当 或 时， ，
当 时，根据图象可得 ，
综上所述，当 或 时， ；当 时， ，
（3）根据图象可知， ， ，当 时， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定
系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是
解题的关键．
10．(1)函数 的表达式为 ， 的面积为
(2)不变，理由见解析
(3)在，理由见解析
【分析】（1）由 ， ，可得 ， ， ， ，则 ，当
， ，则 ；当 ， ，解得 ，则 ；当 ，
，解得 ，则 ；待定系数法求一次函数 的解析式为 ，当 ， ，则 ，根据 ，计算求解即可；
（2）求解过程同（1）；
（3）设直线 的解析式为 ，将 ， ，代入
得， ，解得 ，即 ，当 ，
，则直线 与 边的交点坐标为 ，当 ，
，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
当 ， ，则 ；
当 ， ，解得 ，则 ；
当 ， ，解得 ，则 ；
设一次函数 的解析式为 ，
将 ， ，代入 得， ，解得 ，
∴ ，
当 ， ，则 ，
答案第8页，共2页∴ ；
∴函数 的表达式为 ， 的面积为 ；
（2）解： 的面积不变，理由如下：
∵ ， ， ， ，
∴ ，
当 ， ，则 ；
当 ， ，解得 ，则 ；
当 ， ，解得 ，则 ；
设一次函数 的解析式为 ，
将 ， ，代入 得， ，解得 ，
∴ ，
当 ， ，则 ，
∴ ；
∴ 的面积不变；
（3）解：直线 与 边的交点在函数 的图像上，理由如下：
设直线 的解析式为 ，将 ， ，代入 得， ，解得 ，
∴ ，
当 ， ，
∴直线 与 边的交点坐标为 ，
当 ， ，
∴直线 与 边的交点在函数 的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．(1) ．
(2)该液体的密度 为 ．
【分析】（1）由题意可得，设 ，把 ， 代入解析式，求解即可；
（2）把 代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于 的函数解析式为 ，
把 ， 代入解析式，得 ．
∴h关于 的函数解析式为 ．
（2）解：把 代入 ，得 ．
解得： ．
答：该液体的密度 为 ．
答案第10页，共2页【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是
理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
12．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝ （x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解
析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值
即可；
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y= ，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y= =0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和
常数项是解题关键．
13．A【分析】根据压力压强受力面积之间的关系 即可求出答案.
【详解】解：假设 为 ，
为 ，
.
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积
之间的关系以及 越大， 越小
14．C
【分析】根据题意建立函数模型可得 ，即 ，符合反比例函数，根据反比例函
数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
， 且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
15．C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点
的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解： 在反比例函数 中， ，
此函数图象在二、四象限，
，
点 ， 在第二象限，
， ，
答案第12页，共2页函数图象在第二象限内为增函数， ，
．
， 点在第四象限，
，
， ， 的大小关系为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的
坐标特点，比较简单．
16．C
【分析】根据题意可得反比例函数 的图象在一三象限，进而可得 ，解不
等式即可求解．
【详解】解：∵当 时，有 ，
∴反比例函数 的图象在一三象限，
∴
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数 的图象在
一三象限是解题的关键．
17．A
【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象的综合问题，对比例系数进行分类讨论，结
合反比例函数和一次函数图象所在象限的特点即可得出答案，掌握函数图象所在象限的特
点和数形结合的思想是关键．
【详解】解：分两种情况讨论：当 时，一次函数 的图象过一二三象限，
反比例函数 的图象过一三象限，A选项符合题意；
当 时，一次函数 的图象过二三四象限，反比例函数 的图象过二四象限，
这种情况无符合题意的选项．故选：A．
18．A
【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为
，点 在 上，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
19．D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得 ．令 ，
代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别
求出 与 的表达式，代入解不等式 并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵ 的图象与反比例函数 的图象的两个交点中，有
一个交点的横坐标为1，
答案第14页，共2页∴ ．
令 ，则 ， ．
将点 和点 代入 ，得 ；
将点 和点 代入 ，得 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
①当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去；
②当 时， ，
∴ 符合要求；
③当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去；④当 时， ，
∴ 符合要求；
⑤当 时， ，
∴ 不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
20．
【分析】设正方形 的边长为m，根据 ， ，得到 ，根据矩形
对边相等得到 ，推出 ，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得
到 ，得到 ，推出 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
设正方形 的边长为m，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设反比例函数的表达式为 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
答案第16页，共2页∴这个反比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，
反比例函数性质，k的几何意义．
21．
【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设 ，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 随着 的增大而减小，
当 时， ，
∴当 时， ，
即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例
函数的性质，进行求解，是解题的关键．
22． ##
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，进而根据全等三角形的性质得出 ，根据点 ，进而得出
，根据点 在反比例函数 的图象上．列出方程，求得 的值，
进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∵点 的坐标为 ．
∴ ，
∴
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴
解得： 或 （舍去）
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点 的坐
答案第18页，共2页标是解题的关键．
23．
【分析】过点C作 轴于点D，由题意易得 ，然后根据
含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作 轴于点D，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反
比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1) ，
(2) 或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B
的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点 ，点E是一次函数 与y轴的交点，求出 ，则 ，
再由 ，得到 ，问题随之得解．
【详解】（1）解： 点 在比例函数 上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵点 在反比例函数 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得： ，
答案第20页，共2页∴一次函数解析式为 ．
（2）解：如图，所示：
根据题意：设点 ，
∵点E是一次函数 与y轴的交点，
∴点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点C的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题
的关键．
25．(1)气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为 ，用待定系数法可得 ，即可得当 时，
，从而求出 ；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为 ，
根据图象可得： ，
，
当 时， ，
，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
要使气球不会爆炸， ，此时 ，
气球的半径至少为 时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握
待定系数法求出反比例函数的解析式．
26．(1)2，
(2)①见解析；②函数值 逐渐减小
(3) 或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意， ，
答案第22页，共2页当 时，由 得 ，
当 时， ，
故答案为：2， ；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数 的图象如图：
②由图象可知，随着自变量 的不断增大，函数值 逐渐减小，
故答案为：函数值 逐渐减小；
（3）解：当 时， ，当 时， ，
∴函数 与函数 的图象交点坐标为 ， ，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，如图，由图知，当 或 时， ，
即当 时， 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根
据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
27．(1)①1；②见解析，③见解析
(2) 的图象关于 轴对称轴（答案不唯一）
(3)① 或 ；② 或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时， ，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得： 的图象关于y轴对称，
故答案为： 的图象关于y轴对称；
答案第24页，共2页（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴ 的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函
数图象获取信息是解题的关键．
28．(1)
(2) 或
【分析】（1）作 轴于点G，如图，证明四边形 是矩形，得到 ，
推出 ，证明 ，得到 ，得出矩形 是
正方形，可得 ，然后由A、B的坐标求出 ，进而得到点C的坐标为
，再代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据（1）中结论可得 ，由 ，利用两点距离公式求得 ，再由
轴， ， 的平分线交直线 于点 ，证明 ，即可分别求出 的横纵
坐标．
【详解】（1）解：作 轴于点G，如图，
图1∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，解得： ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
代入 ，得 ；
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：当 在A点右侧时：如图1中图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
答案第26页，共2页∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F的坐标是 ．
， ，
当 在A点左侧时，如图2：
轴， 的平分线交直线 于点 ，
点纵坐标为2， ，
，
，
点横坐标为 ，
，
综上所述：F 或 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方
形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知
识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
