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模块二 知识全整合
专题 5 几何变换
第 2 讲 锐角三角函数与解直角三角形
一、锐角三角函数
1．锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b；
（1）正弦： ；
（2）余弦： ；
（3）正切： ．
2．几个重要公式：设α是一个锐角，则（1）sinα=cos（90°-α）；
（2）cosα=sin（90°-α）；
（3）sin2α＋cos2α=1．
3．锐角三角函数值的变化规律：
（1）当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大而 增大 ；
（2）当0°＜α＜90°时，cosα随着角度的增大而 减小 ．
4．特殊角的三角函数值：
二、解直角三角形
1．解直角三角形的常用关系（理论依据）：
（1）三边关系：a2＋b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A＋∠B=90°；
（3）边与角关系： ， ， ；
（4）任意角满足：sin2A＋cos2A=1．
2．解直角三角形类型：
类型 已知条件 解法
两直角边a、b c= ； tanA= ； ∠B=90°-∠A
两边
一直角边a，斜边c b= ； sinA= ； ∠B=90°-∠A
一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A； b=a·cotA； c=
一边一锐
角
斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A； a=c·sinA； b=c·cosA
4．解直角三角形的应用常用
（1）仰角和俯角：
①仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；
②俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角；
试卷第2页，共3页（2）坡度和坡角：
①坡度（坡比）：坡面的 铅直高度h 与 水平宽度l 的比 ，叫做坡度或坡比；
一般用i表示；即： ；
②坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα；
坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．探索并认识锐角三角函数；
2．知道30°、45°、60°的三角函数值；
3．会使用计算器求三角函数值和锐角的度数；
4．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；
【例1】
（2023·内蒙古·统考中考真题）
1．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方
形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
2．如图， 为 的直径，点 在 的延长线上， ， 与 相切，切点分
别为C，D．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
3．计算： ．
【变1】
（2023四川成都模拟）
4．在 中， 、 均为锐角，且 ，则 是
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角
形
试卷第4页，共3页【例1】
（2023·青海西宁·统考中考真题）
5．在 中， ， ， ，则 的长约为 ．
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ）
【变1】
（2023·四川雅安·统考中考真题）
6．如图，在 中， ，以 为直径的 与 交于点D，点 是
的中点，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，点P是 上一动点，求 的最大值．
【例1】
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
7．在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展
综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点 处，探测器显示，热气球到铜
像底座底部所在水平面的距离 为 ，从热气球 看铜像顶部 的俯角为 ，看
铜像底部 的俯角为 ．已知底座 的高度为 ，求铜像 的高度．（结果保
留整数．参考数据： ， ， ， ）【变1】
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
8．如图，堤坝 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与对面的山之
间有一深沟，山顶D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁
塔顶端C刚好在视线 上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角 为 ．求堤坝高
及山高 ．（ ， ， ，小明身高忽略
不计，结果精确到 ）
一、选择题
（2023·吉林长春·统考中考真题）
9．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳
到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成 角（即 ）、彩旗绳固定
在地面的位置与图书馆相距32米（即 米），则彩旗绳 的长度为（ ）
试卷第6页，共3页A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
（2023·江苏南通·统考中考真题）
10．如图，四边形 是矩形，分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画
弧，两弧相交于点 ，连接 ， ， ．若 ， ，则 的正切值
为（ ）
A． B． C． D．
（2010·江苏苏州·中考真题）
11．如图，在菱形 中， ， ， ，则 的值是
( )
A． B．2 C． D．
二、填空题
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
12．如图，点E在矩形 的边 上，将 沿 折叠，点D恰好落在边
上的点F处，若 ． ，则 ．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
13．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
点A、B、C三点都在格点上，则 ．
（2023·山东·统考中考真题）
14．如图， 是边长为6的等边三角形，点 在边 上，若 ，
，则 ．
（2023·江苏连云港·统考中考真题）
15．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在第
一象限，对角线 轴，交 轴于点 ．若矩形 的面积是6，
，则 ．
试卷第8页，共3页（2023·浙江湖州·统考中考真题）
16．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对
角互补的四边形 ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰
和等腰 ，③和④分别是 和 ，⑤是正方形 ，
直角顶点E，F，G，H分别在边 上．
（1）若 ， ，则 的长是 cm．
（2）若 ，则 的值是 ．
（2023·山东淄博·统考中考真题）
17．如图，与斜坡 垂直的太阳光线照射立柱 （与水平地面 垂直）形成的影
子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若 米， 米，斜坡的坡
角 ，则立柱 的高为 米（结果精确到 米）．科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
18．如图，某飞机于空中 处探测到某地面目标在点 处，此时飞行高度 米，
从飞机上看到点 的俯角为 飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行
直线上同向运动．当飞机飞行 米到达点 时，地面目标此时运动到点 处，从点
看到点 的仰角为 ，则地面目标运动的距离 约为 米．（参考数据：
）
三、解答题
（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）
19．计算： ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
20．某中学依山而建，校门A处有一坡角 的斜坡 ，长度为30米，在坡顶B
处测得教学楼 的楼顶C的仰角 ，离B点4米远的E处有一个花台，在
试卷第10页，共3页E处测得C的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结
果保留根号）．
（2023·湖北·统考中考真题）
21．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 ，
斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20
米， ，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据：
）
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
22．【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位
置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的
距离 ， ， ，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出
；再将镜子移动至 处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出
．经测得，小军的眼睛离地面距离 ， ，求这个广告牌
AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如
下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离
），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能
看到塔顶B；②测出 ；③测出坡长 ；④测出坡比为 （即
）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
数）．
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
23．小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，
形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 上的定
试卷第12页，共3页点， ， 的长度固定， 的大小可变．
(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时， ， ，求 的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此
时门的位置 ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中， 的最大值为______．（参考数据：
）
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
24．如图，点D，E在以 为直径的 上， 的平分线交 于点B，连接
， ， ，过点E作 ，垂足为H，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
（2022·湖南·统考中考真题）
25．阅读下列材料：
在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证： ．证明：如图1，过点 作 于点 ，则：
在 中， CD=asinB
在 中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，求证：
；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中
的一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面
积．（结果保留根号．参考数据： ，
（2023·江苏·统考中考真题）
26．如图，二次函数 的图像与x轴相交于点 ，其顶点是
C．
(1) _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ；将原抛物线向左平移，
使得平移后的抛物线经过点D，过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后
的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
试卷第14页，共3页(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落
在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知 是直角三角形，求点P的坐标．参考答案：
1．D
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设
直角三角形短的直角边为 ，则较长的直角边为 ，再接着利用勾股定理得到关于 的
方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出 的值即可.
【详解】∵小正方形的面积为 ，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形短的直角边为 ，则较长的直角边为 ，其中 ，
∴ ，其中 ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关
概念是解题关键.
2．D
【分析】连接 、 、 ， 交 于 ，如图，利用切线的性质和切线长定理得到
， ， 平分 ，根据等腰三角形的性质得到 ，则
，根据圆周角定理得到 ，所以 ，然后求出
即可．
【详解】解：连接 、 、 ， 交 于 ，如图，
， 与 相切，切点分别为 ， ，
， ， 平分 ，
，，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在 中， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理
和解直角三角形．
3．1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌
握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值
以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
4．C
【分析】先根据非负数的性质求出 与 的值，再根据特殊角的三角函数值求出
答案第2页，共2页、 的值即可．
【详解】解： ，
， ，
， ，
， ， ，
在 中， ，且 ，
是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是
熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．
5．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∵ ,
∴ ，
则 ，
故选：
【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．(1)证明见解析；
(2)
(3)【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得到 ，由直角三角形斜边中
线的性质结合等腰三角形的性质证得 ，由等腰三角形的性质得到
，根据 ，得到 ，由切线的判定即可证得
与 相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出 ，根据三角函数的定义即可求出 ；，
（3）设 的 边高为 ，由 可得 ，即可
得出当 取最大值时， 取最大值，根据 进而求解即
可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
答案第4页，共2页∴ 与 相切；
（2）解：由（1）知， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵在 中， ，即： ，
∴ （负值以舍去），
∴ ；
（3）设 的 边高为 ，
由（2）可知 ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取最大值时， 也取最大值，
又∵ ，
∴当 取最大值时， 取最大值，此时 边高为 取最大值为 半径 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：
（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得 ．
（3）将 的最大值转化为 的面积最大值．
7．铜像 的高度是 ；
【分析】根据题意可得 ，从而求出 ，即可求解．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴铜像 的高度是 ；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出 ．
8．堤坝高为8米，山高 为20米．
答案第6页，共2页【分析】过B作 于H，设 ， ，根据勾股定理得到
，求得 ，过B作 于F，则
，设 ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作 于H，
∵坡度i为 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过B作 于F，
则 ，
设 ，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵坡度i为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
答：堤坝高为8米，山高 为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．D
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解： 表示的是地面， 表示是图书馆，
，
为直角三角形，
（米）.
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余
弦值的概念.
10．C
【分析】设 ， 交于点 ，根据矩形的性质以及以点 ， 为圆心，线段 ，
长为半径画弧得到 ， ，设 ，故
，在 中求出 的值，从而得到 ，从
而得到 ，即可求得答案．
【详解】解：设 ， 交于点 ，
由题意得 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，
故 ，
在 中， ，
答案第8页，共2页即 ，
解得 ，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题
中得到 是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，欲求 的值，只需通过解直
角三角形 求得 的值即可．
【详解】解：设菱形 边长为 ，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：B．
12．5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得 ， ，可得
， ，设 ，则 ，
利用勾股定理可得 ，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
根据折叠可知，可知 ， ，
则，在 中， ，则 ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
即： ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相
等线段是解决问题的关键．
13．
【分析】取 的中点 ，连接 ，先根据勾股定理可得 ，
再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
答案第10页，共2页，
，
又 点 是 的中点，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦
的求解方法是解题关键．
14．
【分析】过点A作 于H，根据等边三角形的性质可得 ，再由 ，
可得 ，再根据 ，可得 ，从而可得
，利用锐角三角函数求得 ，再由
，求得 ，即可求得结果．
【详解】解：过点A作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明
是解题的关键．
15．
【分析】方法一：根据 的面积为 ，得出 ， ，在 中，
，得出 ，根据勾股定理求得 ，根据 的几何意义，即可
求解．
方法二：根据已知得出 则 ，即可求解．
答案第12页，共2页【详解】解：方法一：∵ ，
∴
设 ，则 ，
∴
∵矩形 的面积是6， 是对角线，
∴ 的面积为 ，即
∴
在 中，
即
即
解得：
在 中，
∵对角线 轴，则 ，
∴ ,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴ ，
方法二：∵ ，
∴
设 ，则 ，
∴ ，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数 的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比
例函数的性质是解题的关键．
16． 4 3
【分析】（1）将 和 用 表示出来，再代入 ，即可求出 的长；
（2）由已知条件可以证明 ，从而得到 ，设 ，
， ，用x和k的式子表示出 ，再利用 列方程，
解出x，从而求出 的值．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）设 ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
答案第14页，共2页∴ ，
∴ ，
，
∵四边形 对角互补，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程
的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
17．19.2米
【分析】如图，过点D作 ，垂足为H，过点C作 ，垂足为G，则四边
形 为矩形，可得 米， ， ．于是
．解 ，得 ，从而 （米），
解 中， （米）．于是 （米）．
【详解】解：如图，过点D作 ，垂足为H，过点C作 ，垂足为G，
则四边形 为矩形，
∴ 米， ．
∴ ．
∴ ．中， ，
（米）．
∴ （米）．
中， ，
∴ （米）．
∴ （米）．
故答案为：19.2米．
【点睛】本题考查解直角三角形；添加辅助线，构造直角三角形、矩形，从而运用三角函
数求解线段是解题的关键．
18．
【分析】根据题意可得， ， ， ， ，
， ，如图所述，过点 作 于点 ，在 中，根据正
切的计算方法可求出 的值，在 中根据角的正切值可求出 的值，由此即可求
解．
【详解】解：根据题意可得， ， ， ， ，
， ，
∴如图所述，过点 作 于点 ，
答案第16页，共2页∵ ，即 ，且 ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，即 ， ，
在 ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函
数的计算方法是解题的关键．
19．10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，
进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂
运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
20． 的长为 米
【分析】作 于点 ，首先根据坡度求出 ，并通过矩形的判定确定出
，然后通过解三角形求出 ，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作 于点 ，则由题意，四边形 为矩形，∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
由题意， ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，即： ，
解得： ，经检验， 是上述方程的解，且符合题意，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
21．斜坡 的长约为10米
【分析】过点 作 于点 ，在 中，利用正弦函数求得 ，在
中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
答案第18页，共2页在 中， ，
．
∴ ．
∵ ，
∴在 中， （米）．
答：斜坡 的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐
角三角函数的定义是解题的关键．
22．[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值
求解即可得到答案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列
出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证 ，
得 ，再由锐角三角函数定义得 ，设 ， ，
则 ， ，进而由勾股定理求出 ，然后由相似三角形的性质得
，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：， ，
，
，
，
， ， ，
，解得 ；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
， ，
答案第20页，共2页，
，
，解得 ；
，
，
，
，
， ，
，
，
，解得 ；
；
[应用拓展] 如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
由题意得： ， ，
，
，，
即 ，
， ，
，
，
即 ，
，
，
，
由题意得： ，
，
， ，
设 ， ，则 ， ，
，
，
解得： （负值已舍去），
， ，
，
，
同【问题背景】得： ，
，
，
解得： ，
答案第22页，共2页，
答：信号塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、
勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决
问题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在 中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、 的长为半径画弧，与以点F为圆心、 的长为半径的弧交于点
，连接 得出门 的位置；
（3）当 最大时， 的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大
时， 最大，即当垂线段为OM即垂足为M时， 最大，故 的最大值
为 ．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．
∴ ．
（2）门的位置 如图1中 或 所示．（画出其中一条即可）
（3）如图2，连接 ，过点O作 ，交 的延长线于点H．∵在门的开合过程中， 在不断变化，
∴当 最大时， 的值最大．
由图2可知，当 与 重合时， 取得最大值，此时 最大，
∴ 的最大值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题
的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明
，利用相似三角形的性质即可求证；
（2）先利用勾股定理求出 ，再利用 和正弦值即可求出 ．
【详解】（1）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答案第24页，共2页（2）如图，连接 ，
∵ 的平分线交 于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理
等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角
是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点 作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
；
（2）解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
在 中，
又 ，
即 ，
，
答案第26页，共2页．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数
的定义是解决问题的前提．
26．(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）把 代入 即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设 ，由
，解得 ，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为 ，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为 ，根据原抛物线 ，求得原抛物
线的顶点 ，对称轴为x=1，进而得 ，再根据勾股定理构造方程即
可得解．【详解】（1）解：把 代入 得，
，
解得 ，
故答案为 ；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵ ，
∴二次函数的解析式为
设 ，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ，
∴ ，
解得m= 或m=8（舍去），
当m= 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为 ，
把 代入 得 ，
答案第28页，共2页解得a=3或a= （舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在 的对称轴x= 的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x
的增大而减小，
∴ ；
（3）解：由 ，设平移后的抛物线为 ，则顶点为 ，
∵顶点为 在 上，
∴ ，
∴平移后的抛物线为 ，顶点为 ，
∵原抛物线 ，
∴原抛物线的顶点 ，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴ ，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的
交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵ 是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴ ，∴ 化
简得 ，
∴p=1（舍去），或p=3或p= ，
当p=3时， ，
当p= 时， ，
∴点P坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求
二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
答案第30页，共2页
