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模块二 知识全整合
专题 2 方程与不等式
第 5 讲 一元一次不等式（组）及其应用
一、不等式的性质
1.若a>b，则 ；
2.若a>b，c>0，则 ；
3.若a>b，c<0，则 ；
4.若a>b，则bb，b>c，则a>c；
二、解集及数轴表示
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；
2.不等式的解集：不等式的所有解组成的集合；
3.数轴表示：含等于就用实心圆，不含等于就用空心圆；
三、解不等式（组）
1.一元一次不等式的解法
（1）解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1；
（2）数轴表示：大于向右，小于向左；
2.一元一次不等式组的解法
（1）解题步骤：分别求出每个不等式的解集，再结合数轴或口诀确定不等式组的解集；
（2）解集的确定：口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找；
四、不等式的应用
1.找不等关系：至少，至多，不高于，不低于，大于，小于，超过，不超过，等；
2.建立不等式或不等式组，求出解集后，有时需要求出具体的解。
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；
2.能用不等式的基本性质对不等式进行变形；
3.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；
4.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；
5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。
6.建立不等式模型观念；
【例1】（2023·四川德阳·统考中考真题）
1．如果 ，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2023·北京·统考中考真题）
2．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
3．如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解
集是（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2023·广东广州·统考中考真题）
试卷第2页，共2页4．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C．
D．
【例1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）
5．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【变1】（2023·湖南·统考中考真题）
6．解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【例1】（2023·四川遂宁·统考中考真题）
7．若关于x的不等式组 的解集为 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2022·湖南邵阳·统考中考真题）
8．关于 的不等式组 有且只有三个整数解，则 的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【例1】（2023·辽宁·统考中考真题）
9．某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，
收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入
76元．
(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可
购买甲种驱蚊手环多少个？
【变1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）
10．某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为
奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔
记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面
笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔
记本的单价售出．班长小华打算购买 本硬面笔记本（ 为正整数），他发现再多购
买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
一、选择题
（2023·山东济南·统考中考真题）
11．实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江·统考中考真题）
12．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
试卷第4页，共2页13．将不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）
14．端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当
粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
15．关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则 的值为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（2023·湖北鄂州·统考中考真题）
16．已知不等式组 的解集是 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2023
（2022·山东济宁·统考中考真题）
17．若关于x的不等式组 仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2
二、填空题
（2023·广东·统考中考真题）
18．某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于 ，
则最多可打 折．
（2023·四川泸州·统考中考真题）19．关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，写出 的一个
整数值 ．
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
20．若实数 使关于 的不等式组 的解集为 ，则实数 的取值
范围为 ．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
21．若不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是 ．
（2023·四川宜宾·统考中考真题）
22．若关于x的不等式组 所有整数解的和为 ，则整数 的值为
．
（2022·四川绵阳·统考中考真题）
23．已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
（2023·重庆·统考中考真题）
24．若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数解，且关于y的分式方
程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
三、解答题
（2023·江苏·统考中考真题）
25．解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
试卷第6页，共2页（2023·山东济南·统考中考真题）
26．解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
（2023·宁夏·统考中考真题）
27．解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①
的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
（2023·山东淄博·统考中考真题）
28．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五
一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
购票人数
（人）
每人门票价（元） 60 50 40
*题中的团队人数均不少于10人
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不
足50人，乙团队多于50人．
(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用
不少于1200元，问甲团队最少多少人？（2023·湖南常德·统考中考真题）
29．“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200
元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的
进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩
具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
（2023·河南·统考中考真题）
30．某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80
元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额
相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择
活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
31．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多
100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．
请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67
件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从
这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，
请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
试卷第8页，共2页参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个
含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．B
【分析】由 可得 ，则 ，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解： 得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的
符号需要改变．
3．D
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【详解】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不
等式组的解集是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等
式组解集的方法是正确解答的前提．
4．B
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心
点，无等号则为空心点．
5． ，数轴见详解
【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可．
【详解】
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1： ．
在数轴上可表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等
式的解集是解此题的关键，难度适中．
6．不等式组的解集为： ．画图见解析
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答
案．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
在数轴上表示其解集如下：
答案第2页，共2页∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不
等式组的解法与步骤是解本题的关键．
7．D
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是 求出a的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵关于 的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间
找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为 ，根据不等式组有
且只有三个整数解的条件计算出 的最大值．
【详解】解不等式 ，
，
∴ ，
∴ ，
解不等式 ，
得 ，∴ ，
∴ 的解集为 ，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴ ,
∴ 的最大值应为5
故选：C．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
9．(1)36；20
(2)31
【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据
“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个
乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论;
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环 个，利用总价=单价×数量，
结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，
再取其中的最大整数值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得， ，解得: ，
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环 个，
根据题意得： ，
解得 ，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31.
答案第4页，共2页答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式.
10．(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，由再多购买5
本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得 ，再根据 且m，
均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为 元，根据题
意得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
根据题意得 ，
解得 ，
为正整数，， ， ， ， ，分别代入 ，
可得 ， ， ， ， ，
由单价均为整数可得 ，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关
系，正确列出相应方程．
11．D
【分析】根据题意可得 ，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质
进行判断即可.
【详解】解：由题意可得： ，所以 ，
∴ ，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出
是解题的关键.
12．D
【分析】根据 对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得： ， ，
故选项A不符合题意；
∵ ，∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ， ，∴ ，故选项C不符合题意；
∵ ， ，∴ ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题
的关键．
答案第6页，共2页13．B
【分析】先解不等式 ，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．
【详解】解： ，
由② 得： ，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
，
∴不等式组的解集为： ；
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练
的使用数轴工具是解本题的关键．
14．A
【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价
列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且 ）元，设降价幅度为x，
则 ，
解得 ，
即为了不亏本，降价幅度最多为 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
15．B
【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．
【详解】解： 解得 ，
由数轴得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
16．B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得 ，再结合已知可得， ，然后进行计算可求出 ， 的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： ，
∵不等式组的解集是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
17．D
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：
由①得，
由②得，
因不等式组有3个整数解
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解
题关键．
18．8.8
【分析】设打x折，由题意可得 ，然后求解即可．
答案第8页，共2页【详解】解：设打x折，由题意得 ，
解得： ；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的
关键．
19．7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将 代入，然后解关于a的
不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是
解答本题的亮点．
20． ##
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．
【详解】解： ，
由①得， ；由②得， ；
∵解集为 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的
取值方法等知识是解题的关键．
21． ##
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握
解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）
是解题的关键．
22． 或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即
可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
答案第10页，共2页．
综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的
解法，理解参数的意义是解题的关键．
23．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解
集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，
解得 ，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
∴a可以取：1，3，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题
关键．
25． ，整数解为：0，1，2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．
【详解】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
故不等式组的解集为： ，
在解集在数轴上表示出来为：
它的整数解为0，1，2．
答案第12页，共2页【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出
不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．
26． ，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是 ，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式
组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小找不到”．
27．任务一：4，不等号的方向没有发生改变， ；任务二： ，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集
即可．
【详解】解：任务一：∵ ，
∴ ；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式
①的正确解集是 ；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变， ；
任务二： ，
，
，
；
又 ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一
个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．28．(1)甲团队有48人，乙团队有54人
(2)18
【分析】（1）设甲团队有 人，则乙团队有 人，依题意得，
，计算求解，然后作答即可；
（2）设甲团队有 人，则乙团队有 人，依题意得，
，计算求解即可．
【详解】（1）解：设甲团队有 人，则乙团队有 人，
依题意得， ，
解得， ，
∴ （人），
∴甲团队有48人，乙团队有54人；
（2）解：设甲团队有 人，则乙团队有 人，
依题意得， ，
解得， ，
∴甲团队最少18人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据
题意正确的列等式和不等式．
29．(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个
(2)最多可购进A型玩具25个
【分析】（1）设 型玩具的单价为 元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设 型玩具的单价为 元/件．
答案第14页，共2页由题意得： ，
解得：
经检验， 是原方程的解
B型玩具的单价为 元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）设购进A型玩具 个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出
相应的方程或不等式．
30．(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当 或 时，活动二更合算
【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；
（2）设这种健身器材的原价是 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列
方程求解即可；
（3）由题意得活动一所需付款为 元，活动二当 时，所需付款为 元，当
时，所需付款为 元，当 时，所需付款为 元，然后根
据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款： 元，活动二需付款： 元，
∴活动一更合算；
（2）设这种健身器材的原价是 元，
则 ，
解得 ，
答：这种健身器材的原价是400元，
（3）这种健身器材的原价为a元，则活动一所需付款为： 元，
活动二当 时，所需付款为： 元，
当 时，所需付款为： 元，
当 时，所需付款为： 元，
①当 时， ，此时无论 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当 时， ，解得 ，
即：当 时，活动二更合算，
③当 时， ，解得 ，
即：当 时，活动二更合算，
综上：当 或 时，活动二更合算．
【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，
注意分类讨论的应用．
31．(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
(2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种
家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件
(3)这10件家电中B种家电的件数4件
【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为 元，建
立分式方程求解即可；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电 件，建立不等式，求解不等式，选择符
合实际的解即可；
（3）设A种家电拿出 件，则B种家电拿出 件，根据题意，建立一元一次方程求解
即可．
【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为 元．
根据题意，得
．
解得 ．
答案第16页，共2页经检验 是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电 件．
根据题意，得 ．
解得 ．
， ．
为正整数， ，则 ，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出 件，则B种家电拿出 件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得： ，
解得： ，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得： ，
解得： ，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得： ，
解得： ，符合实际；则B种家电拿出 件．【点睛】本题考查分式方程的实际问题，一元一次方程的实际问题与一元一次不等的实际
问题，正确理解题意，建立正确的等量关系与不等式是解题的关键，注意结果要符合实际
及分式方程的检验．
答案第18页，共2页
