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九校联考九年级（下）月考数学试卷
一、选择题（每题3分， 共24分）
1．﹣8的绝对值是( )
A．﹣8 B． 8 C．±8 D．
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的
一面的点数为偶数的概率是( )
A． B． C． D．
4．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩
形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的
底面半径r之间的函数关系为( )
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
5．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是(
)
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
7．（1997•吉林）函数y=ax2﹣2与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )A． B． C． D．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；
③b=﹣2a；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（每题3分，共24分）
9．分解因式：ax2﹣4ax+4a=__________．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠C=20°，则∠ABD的度数等于
__________．
[来源:学.科.网]
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若
∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为__________度．12．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等
边扇形”的面积为__________．
13．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利
5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为__________元．
14．如图，已知AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则
∠DBC=__________．
15．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在
AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的
点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在
∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为__________．
16．如图，M为双曲线y= 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于
D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为
__________．三.解答题（共102分）
17．计算： （cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）0+（ ）﹣1．
18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．
19．为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年
人、青少年各年龄段实际人口的比例3：5：2，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下
统计图：
（1）上面所用的调查方法是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；A：__________；B：__________；
（3）求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数．20．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想
测量A、B之间的距离，他从湖边的C
处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100
米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（精确到1米，参考数据：
sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）
21．某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张
是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸
就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是__________．
（2）小明获得两次翻牌机会，他同时翻开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，
你赞同他的观点吗？请用树形图或列表法进行分析说明．[来源:学科网ZXXK]
22．如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线y=﹣x+b经过该反比例
函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接
0P、OQ，求△OPQ的面积．
23．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过
点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE= ，求AD的长．24．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家
电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50
元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数
表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降
价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
25．把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），
且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点
逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠
部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明
你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ？若存
在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
26．（14分）如图，抛物线y=﹣2x2+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上
一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，
交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，△OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，
并写出自变量m的取值范围；（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰
三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说
明理由．九校联考九年级（下）月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．﹣8的绝对值是( )
A．﹣8 B．8C．±8 D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对
值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|=8．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一
个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【考点】正方形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进
行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；
B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四
边形是正方形这一性质，故B选项正确；
C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等
的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确；[来源:学科网
ZXXK]
故选D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．
3．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的
一面的点数为偶数的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，
向上的一面的点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰
子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的概率是： = ．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之
比．
4．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个
圆柱的底面半径r之间的函数关系为( )
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【考点】反比例函数的 定义．
【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×母线长，列式整理即可得解．
【解答】解：根据题意，2πr•l=10，
所以l= ．
故l与r的函数关系为反比例函数．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式
是解题的关键．
5．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，
注意三角形的三边关系．
【解答】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论
思想的应用．
6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是(
)A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看
得到的图形是俯视图，根据图形的比
较，可得答案．
【解答】解：主视图是三个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故俯视图的面积做大，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图
形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．
7．（1997•吉林）函数y=ax2﹣2与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a＞0和a＜0分类讨论．也可以采用“特值
法”，逐一排除．
【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2﹣2的图象开口向上，但当x=0时，y=﹣2＜0，故A、C不可
能；
当a＜0时，函数y=ax2﹣2的图象开口向下，反比例函数的图象位于二四象限，故C不可能．
可能的是D．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，解决此类题目时分当a＞0时和a
＜0时的两种情况讨论，用了分类讨论的思想．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；
③b=﹣2a；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与x轴交点情况确定b2﹣4ac的符号，由抛物线的开口方向判断的符号，
由抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线的对称性确定9a+3b+c的符号．
【解答】解：图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，①正确；
图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣ ＞0，b＜0，
∴abc＞0，②正确；
对称轴为x=﹣ =1，则b=﹣2a，③正确；
∵x=﹣1时，y＜0，对称轴是x =1，
∴x=3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定b2﹣4ac与0的
关系．
二.填空题（每题3分，共24分）
9．分解因式：ax2﹣4ax+4a= a （ x﹣2 ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
=a（x2﹣4x+4），
=a（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次
分解，注意要分解彻底．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠C=20°，则∠ABD的度数等于70°．[来
源:Z_xx_k.Com]【考点】圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB及∠A的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答 】解：∵AB是⊙O的直径，点C、
D都在⊙O上，∠C=20°，
∴∠ADB=90°，∠A=∠C=20°，
∴∠ADB=90°﹣20°=70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解
答此题的关键．
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若
∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为125 度．
【考点】翻折变换（折叠问题） ．
【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，
欲求∠EFC′的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的
度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．[来源:学&科&网]
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°；
由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF；
而∠BED=180°﹣∠AEB=110°，∴∠BEF=55°；
易知∠EBC=∠D=∠BC′F=∠C=90°，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′=180°﹣∠BEF=125°．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
12．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等
边扇形”的面积为2．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】新定义．【分析】根据扇形的面积公式S= lr，其中l=r，求解即可．
【解答】解：∵S= lr，∴S= ×2×2=2，
故答案为2．
【点评】本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与
半径乘积的一半．
13．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利
5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为120 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】依据题意建立等量关系商品标价=进价×（1+5%）÷70%
【解答】解：设售货员应标在标签上的价格为x元，
依据题意70%x=80×（1+5%）
可求得：x=120，
故价格应为120元．
【点评】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再
求解．
14．如图，已知AB=AC，∠A=44°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=24°．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角求出∠ABD，然后求解即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=44°，[来源:学科网ZXXK]
∴∠ABC= （180°﹣∠A）= ×（180°﹣44°）=68°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=44°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=68°﹣44°=24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的
性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在
AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在
∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ： 1．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
[来源:学科网]
【分析】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在
∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD
为等腰直角三角形，得到AD= DG= CD．
【解答】解：连接DE，如图，
∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，[来源:学科网]
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD=45°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE，
∴DC=DG，
又∵△AGD为等腰直角三角形，
∴AD= DG= CD，
∴矩形ABCD长与宽的比值= ：1．
故答案为： ：1．
【点评】本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的
性质以及等腰直角三角形的性质．
16．如图，M为双曲线y= 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于
D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD•BC的值为2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】先设M点的坐标为（a， ），则把y= 代入直线y=﹣x+m即可求出C点的横坐标，同
理可用a表示出D点坐标，再根据直线y=﹣x+m的解析式可用m表示出A、B两点的坐标，
再根据两点间的距离公式即可求出AD•BC的值．
【解答】解：设M点的坐标为（a， ），则C（m﹣ ， ）、D（a，m﹣a），
∵直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，
∴A（0，m）、B（m，0），
∴AD•BC= • = a• =2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示
出C、D两点的坐标是解答此题的关键．
三.解答题（共102分）
17．计算： （cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）0+（ ）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 ．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项
利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ×（ ﹣ ）+1+
=1﹣ +1+
=2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．【考点】弧长的计算；作图-旋转变换．
【专题】作图题；数形结合．
【分析】本题的关键是正确读取点的坐标、会根据要求画出旋转后的图形并会根据旋转的性
质正确计算，第（3）小问要注意点A的旋转轨迹是一段圆弧．
【解答】解：（1）A（0，4）、C（3，1）；
（2）如图；
（3）
= ．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，
掌握基本概念是解题关键．
本题考查坐标系中点的坐标、图形的旋转、勾股定理及弧长公式的应用．题目虽简单，但综合
性较强．
19．为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，根据老年人、成年
人、青少年各年龄段实际人口的比例3：5：2，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下
统计图：[来源:学#科#网]（1）上面所用的调查方法是抽样调查（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；A：20；B：40；
（3）求该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数．
【考点】折线统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图 ．
【专题】图表型．
【分析】（1）这次调查是随机抽取一定数量的观众进行调查因而是抽样调查；
（2）结合折线统计图说出A、B的值；
（3）根据样本估计总体，首先求出喜欢娱乐节目的成年人的比例，然后乘以总人数即可求得．
【解答】解：（1）抽样调查；
（2）A=20，B=40；
（3）成年人有：300000× =150000（人），
×100%=30%，
喜爱娱乐类节目的成年人有：150000×30%=45000（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计
图表示的是事物的变化情况．
20．如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的
距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C
之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（精确
到1米，参考数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】应用题．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角
形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长．【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D，
∵B点在A点的正东方向上，
∴∠ACD=45°，∠DCB=32°，
在Rt△BCD中，BC=100，
∴DB=BCsin32°≈1000.5299=52.99（米），
CD=BCcos32°≈1000.8480=84.80（米），
在Rt△ACD中，AD=CD，
∴AB=AD+DB≈84.80+52.99=137.79（米）≈138（米）．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角
形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公
共边一般是解题的常用方法．
21．某联欢会上有一个有奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张
是笑脸，其余3张是哭脸．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有笑脸
就有奖，没有笑脸就没有奖．
（1）小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是 （ 或填 0. 4 ） ．
（2）小明获得两次翻牌机会， 他同时翻
开两张纸牌．小明认为这样得奖的概率是小芳的两倍，你赞同他的观点吗？请用树形图或列
表法进行分析说明．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】压轴题．
【分析】（1）让有笑脸的张数除以总张数即可；
（2）列举出所有情况，看有笑脸的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1） （或填0.4）；
（2）不赞同他的观点．
用A 、A 分别代表两张笑脸，B 、B 、B 分别代表三张哭脸，根据题意列表如下：
1 2 1 2 3
第一张 第二 A A B B B
1 2 1 2 3
张
A A ，A A ，B A ，B A ，B
1 1 2 1 1 1 2 1 3
A A ，A A ，B A ，B A ，B
2 2 1 2 1 2 2 2 3
B B ，A B ，A B ，B B ，B
1 1 1 1 2 1 2 1 3
B B ，A B ，A B ，B B ，B
2 2 1 2 2 2 1 2 3
B B ，A B ，A B ，B B ，B
3 3 1 3 2 3 1 3 2由表格可以看出，可能的结果有20种，其中得奖的结果有14种，因此小明得奖的概率
，
因为 ＜ ，所以小明得奖的概率不是小芳的两倍．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
那么事件A的概率P（A）= ．注意翻2张牌的时候的实验可看作是不放回实验．
22．如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线y=﹣x+b经过该反比例
函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接
0P、OQ，求△OPQ的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，确定反比例函数的解析式为y= ；
再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=﹣
x+b，即可确定b的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=﹣x+5，令y=0，
求出A点坐标，然后根据S =S ﹣S ﹣S 进行计算即可．
△OPQ △AOB △OBP △OAQ
【解答】解：（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，得k= ×8=4，
∴反比例函数的解析式为y= ；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），
∴1=﹣4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）联立 ，
解得 或 ，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S =S ﹣S ﹣S
△OPQ △AOB △OBP △OAQ
= ×5×5﹣ ×5×1﹣ ×5×1
= ．
【点评】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方
法（转化为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．
23．如图，AB为半圆O的直径，点C 在
半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE= ，求AD的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；
（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到△DOA∽△ABC，据相似三角形的对应边成
比例可得到AD的长．
【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圆O的切线．（2）解：∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴ = = ，又CE= ，
∴AC=2CE= ．
在Rt△ABC中，
AB= = ，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴ 即 ．
∴ ．
【点评】此题考查学生对切线的判定及相似三角形的判定方法的掌握情况．
24．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家
电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50
元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数
表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降
价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值．
（3）利用x=﹣ 求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得y=（2400﹣2000﹣x）（8+4× ），
即y=﹣ x2+24x+3200；
（2）由题意，得﹣ x2+24x+3200=4800．整理，得x2﹣300x+20000=0．
解这个方程，得x =100，x =200．
1 2
要使百姓得到实惠，取x=200元．
∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y=﹣ x2+24x+3200=﹣ （x﹣150）2+5000，
当x=150时，
y =5000（元）．
最大值
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出
，第二种是配方法，第三种是公式法，
常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．
25．把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），
且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点
逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠
部分 （如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明
你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ？若存
在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质 ．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）可将四边形CHGK分成两部分，然后通过证三角形全等，将四边形的面积进行
转换来求解．连接CG，可通过证明三
角形CGK与三角形BGH全等来得出他们的面积相等，进而将四边形CHGK的面积转换成
三角形CGB的面积也就是三角形ABC面积的一半，由此可得出四边形CHGK的面积是4，
所以不会改变；（2）连接HK后，根据（1）中得出的四边形CHGK的面积为4，可根据三角形GHK的面积=四
边形CHGK的面积﹣三角形CHK的面积来求，如果BH=x，那么根据（1）的结果CK=x，有
BC的长，那么CH=4﹣x，由此可得出关于x，y的函数关系式．x的取值范围应该大于零小于
4；
（3）只需将y= ×8代入（2）的函数式中，可得出x的值．然后判断x是否符合要求即可．
【解答】解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．
证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S =S ．
△BGH △CGK
∴S =S +S =S +S = S = × ×4×4=4，
四边形CHGK △CHG △CGK △CHG △BGH △ABC
即：S 的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；
四边形CHGK
（2）∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4﹣x，CK=x．
由S =S ﹣S ，
△GHK 四边形CHGK △CHK
得y=4﹣ x（4﹣x），
∴y= x2﹣2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；
（3）存在．
根据题意，得 x2﹣2x+4= ×8，
解这个方程，得x =1，x =3，
1 2
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的 ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定等知识点，通过构建
全等三角形将面积进行转换是解题的关键．
26．（14分）如图，抛物线y=﹣2x2+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上
一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，
交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，△OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，
并写出自变量m的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰
三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说
明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长．
（2）首先根据A、B的坐标，求出直线AB的解析式，设出点P的横坐标，利用直线AB的解析
式，即可表示出P点的纵坐标，由此可得到MP、OM、PN的长，从而证得OM=PN，而
∠OPC=90°，则∠OPM、∠PCN同为∠CPN的余角，再加上一组直角，即可由AAS判定
△OPM≌△PCN，由此得证．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表达式，OB的长易求得，根据三角形
的面积公式即可得到S、m的函数关系式．（需注意的是，自变量的取值范围会影响到PM的
表达式，因此要分类讨论）
（4）此题应分三种情况讨论：①P为等腰三角形的顶角顶点，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，显然不符合题意；
②C为等腰三角形的顶角顶点，此时PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合
时，△PCB也是等腰直角三角形，故A点符合点P的要求；
③B为等腰三角形的顶角顶点，此时PB=BC；当C点在第一象限时，显然不存在这样的P点，
故此时C点必在第四象限，首先设出点P的坐标，表示出AP、PB、BC的长，根据所得等量关
系，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣2x2+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=﹣ ，x=1；
故A（0，1），B（1，0）；
∴AB= ．
（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直线AB：y=﹣x+1；
设P（a，﹣a+1），则有：
PM=a，OM=1﹣a，PN=MN﹣PM=1﹣a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，则∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
又∵∠OMP=∠CPN=90°，OM=PN，
∴△OPM≌△PCN，
∴OP=CP．
（3）易知OA=OB=1，则∠OBA=∠OAB=45°；
若AP=m，则PM=AM=CN= m，OM=BN=1﹣ m，
①当0＜m＜ 时，BC=BN﹣NC=1﹣ ﹣ =1﹣ m，
故S= ；
②当 ＜m＜ 时，BC=CN﹣BN= ﹣（1﹣ ）= m﹣1，
故S=﹣ ．
（4）假设存在符合条件的P点；
①△PCB以P为顶角顶点，此时点C位于第一象限；
由于∠PBN=45°，若PC=PB，则∠CPB=90°，显然不合题意；
②△PCB以C为顶角顶点；
由于△OAB是等腰直角三角形，当P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，
故A点符合P点的要求，即P（0，1）；
③△PBC以B为顶角顶点；当C点在第一象限时，PB＞BC，若PB=BC，则C点必在第四象限；
设P（a，1﹣a），则AP= a，PB= （1﹣a），BC=CN﹣BN=a﹣（1﹣a）=2a﹣1；
若PB=BC，则2a﹣1= ﹣ a，
解得a= ，
故P（ ，1﹣ ）；
综上所述，存在符合条件的P点，且坐标为P（0，1）或（ ，1﹣ ）．
【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法、全等三角形的判定、等腰直角三角
形的性质、等腰三角形的构成条件等知识．（4）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定
要分类讨论，以免漏解．
